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湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题（4）九校联盟第一次联考数学试卷
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这是一份湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题（4）九校联盟第一次联考数学试卷，文件包含精品解析2024届湖南省高三九校联盟第一次联考数学试卷原卷版docx、精品解析2024届湖南省高三九校联盟第一次联考数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则满足条件实数的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A. 且B.
C. D. 或
3 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年
5. 设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B. 数据的第60百分位数为9
C. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
D. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
10. 已知，则（ ）
A. 与均有公共点的直线斜率最大为
B. 与均有公共点的圆的半径最大为4
C. 向引切线，切线长相等点的轨迹是圆
D. 向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆
11. 已知函数，则（ ）
A. 图象关于直线轴对称
B. 的图象关于点中心对称
C. 所有零点为
D. 是以为周期的函数
12. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是递减数列
C. 数列是等比数列D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数是偶函数，则_________．
14. 已知第一象限内的点在直线上，则的最大值是______.
15. 把个位､十位､百位上的数依次成等差数列（公差小于0）的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有__________个.
16. 如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求的大小；
（2）若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.
18. 如图，四棱柱的底面是正方形，平面.
（1）求点到平面的距离；
（2）若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值.
19. 已知数列的前项积为，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和.
20. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率；
（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.
21. 已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.
（1）若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
（2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围.
22. 已知，，直线是在处的切线，直线是在处的切线，若两直线、夹角的正切值为，且当时，直线恒在函数图象的下方.
（1）求的值；
（2）设，若是在上的一个极值点，求证：是函数在上的唯一极大值点，且.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则满足条件实数的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A. 且B.
C. D. 或
3 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年
5. 设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B. 数据的第60百分位数为9
C. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
D. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
10. 已知，则（ ）
A. 与均有公共点的直线斜率最大为
B. 与均有公共点的圆的半径最大为4
C. 向引切线，切线长相等点的轨迹是圆
D. 向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆
11. 已知函数，则（ ）
A. 图象关于直线轴对称
B. 的图象关于点中心对称
C. 所有零点为
D. 是以为周期的函数
12. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是递减数列
C. 数列是等比数列D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数是偶函数，则_________．
14. 已知第一象限内的点在直线上，则的最大值是______.
15. 把个位､十位､百位上的数依次成等差数列（公差小于0）的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有__________个.
16. 如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求的大小；
（2）若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.
18. 如图，四棱柱的底面是正方形，平面.
（1）求点到平面的距离；
（2）若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值.
19. 已知数列的前项积为，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和.
20. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率；
（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.
21. 已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.
（1）若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
（2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围.
22. 已知，，直线是在处的切线，直线是在处的切线，若两直线、夹角的正切值为，且当时，直线恒在函数图象的下方.
（1）求的值；
（2）设，若是在上的一个极值点，求证：是函数在上的唯一极大值点，且.
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