福建省建瓯市芝华中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份福建省建瓯市芝华中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
2. 下列函数中是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在-∞,0为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
3. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得，解之即得.
【详解】∵在上单调递增，
∴，解得.
故选：B.
6. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积.
【详解】由，则，
，所以在处切线的方程为，即，
令，得；令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：A.
7. 在中，内角所对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理得，利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数是偶函数
B. 是函数的一个零点
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；计算的值，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误；代入检验可判断D选项的正误.
详解】对于A选项，令，
则，，故函数不是偶函数，A错；
对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间上单调递增，C对；
对于D选项，因为， D对.
故选：BCD.
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，f'x<0，当或时，f'x>0
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在0,1上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数3在上的最大值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先用半角公式，降幂公式及辅助角公式进行化简，然后再结合正弦函数的图象求最大值.
【详解】，
因为，所以，
所以，
所以，
所以在上的最大值为2.
故答案为：2.
13. 在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化，结合余弦定理解得，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】由正弦定理边角互化可得①，
又由余弦定理可得②，
①②联立解得，
所以，又因为，所以，
所以，
故答案为：
14. 设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.若关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数及可以推出的周期，在坐标平面中画出两个函数的图象，依据它们有三个不同的交点得到f(2)>lga⁡(2+2)f(6)【详解】因为为偶函数，故
所以，
故是函数且周期为4，
因时，，
故在上的图象如图所示：
因为有3个不同的解，
所以的图象与的图象有3个不同的交点,
故f(2)>lga⁡(2+2)f(6)lga⁡43故实数a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）12
【解析】
【详解】试题分析：
(1)利用题意可知 ，结合两角和差正余弦公式可得 ．
(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.
试题解析：
（1）由
所以．
则
（2）因为，．
所以．
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【小问1详解】
方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
【小问2详解】
由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
17. 如图，在平面四边形中，.
(1)若,求；
(2)若,求.

【答案】（1）（2）3
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理直接可得；（2）设，根据得，由余弦定理可得，在直角三角形中求得，最后解方程得.
【详解】(1)由正弦定理得，，即,
解得.
(2)设，在中，,
在中,由余弦定理得，.
又所以，即.
整理得，解得或（舍去），即
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解法一：因为定义域为R，且，
若，则对任意x∈R恒成立，
可知在R上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞；
解法二：因为的定义域为R，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在0,+∞内单调递增，
可知在0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞.
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若a=2时，证明：当时，恒成立．
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，然后对参数进行讨论，进而得到的单调区间；
（2）构造函数，通过讨论单调性，证明即可.
【小问1详解】
的定义域为.
当时，，故在0,+∞上单调递减；
当a>0时，令，得，令，得，
所以在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时的减区间为0,+∞，无增区间；
a>0时，fx的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
当a=2时，,
令，则gx=ex-1-2x+lnx+1(x>1)，则，
令，则，显然在(1,+∞)上单调递增，则h'(x)>h'(1)=e0-1=0，
即在(1,+∞)上单调递增，故g'(x)>g'(1)=e0-2+1=0，即在(1,+∞)上单调递增，
故，
所以，即，原不等式得证.