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湖北省高中名校联盟2025届高三上学期8月第一次联考数学试题（Word版附解析）
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这是一份湖北省高中名校联盟2025届高三上学期8月第一次联考数学试题（Word版附解析），文件包含湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期8月第一次联合测评数学试题Word版含解析docx、湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期8月第一次联合测评数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
命题单位：宜昌市第一中学数学备课组 审题单位：圆创教育教研中心 襄阳市第四中学
本试卷共5页，19题．满分150分．考试用时120分钟． 考试时间：2024年8月21日下午15：00—17：00
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 32B. C. D.
2. 已知集合，则包含的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
4. 若 则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65 百分位数是45，那么实数 x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
7. 长方体 中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C 上的点P 作C 的切线交x轴于点M，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列
B. 若和{是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列
C. 若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项
D. 若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项
10. 如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（ ）
A. 点 在曲线 C 上
B. 曲线 C方程为(
C. 曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
D. 若点在C 上，则
11. 类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧 首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形．如图所示，分别连接球心与不在同一大圆上三点，定义球面 的三个内角分别为二面角的平面角．则下列说法正确的是（ ）
A. 若 球的半径为2，则
B. 存球面三角形，使得
C. 若球半径为2，，那么球面三角形ABC的面积为
D. 若是锐角且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量的夹角为30°，且，则______
13. 的展开式中的系数为________．
14. 已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面四边形中，
（1）若 与交于点，且，求的长；
（2）求四边形 周长的最大值．
16. 已知椭圆Γ 经过点A(1,32)，右焦点为 F(1,0)
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l与Γ 交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求 的中点 与 的最小距离．
17. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
（1）证明：MN∥平面A'BE；
（2）当三棱锥体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．
18. 为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍．抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为 但为保证抽查量，设定前2 辆车经过该路口都没有被抓拍时，第 3辆车必被抓拍．假设汽车依次通过该路口．
（1）从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为 求
（2）当任意连续有2辆车经过该路口时， 表示 2 辆车均未被抓拍的概率， 表示第1辆车未被抓拍，且第2 辆车被抓拍的概率， 表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率， 表示2 辆车均被抓拍的概率．
①试用 和 表示
②求 的值．
19. 牛顿法( Newtn's methd)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则 L与x轴的交点的横坐标记为，称为r 的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知.
（1）若给定，求r的二阶近似值；
（2）设
①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系；
②证明：.
命题单位：宜昌市第一中学数学备课组 审题单位：圆创教育教研中心 襄阳市第四中学
本试卷共5页，19题．满分150分．考试用时120分钟． 考试时间：2024年8月21日下午15：00—17：00
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 32B. C. D.
2. 已知集合，则包含的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
4. 若 则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65 百分位数是45，那么实数 x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
7. 长方体 中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C 上的点P 作C 的切线交x轴于点M，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列
B. 若和{是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列
C. 若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项
D. 若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项
10. 如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（ ）
A. 点 在曲线 C 上
B. 曲线 C方程为(
C. 曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
D. 若点在C 上，则
11. 类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧 首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形．如图所示，分别连接球心与不在同一大圆上三点，定义球面 的三个内角分别为二面角的平面角．则下列说法正确的是（ ）
A. 若 球的半径为2，则
B. 存球面三角形，使得
C. 若球半径为2，，那么球面三角形ABC的面积为
D. 若是锐角且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量的夹角为30°，且，则______
13. 的展开式中的系数为________．
14. 已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面四边形中，
（1）若 与交于点，且，求的长；
（2）求四边形 周长的最大值．
16. 已知椭圆Γ 经过点A(1,32)，右焦点为 F(1,0)
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l与Γ 交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求 的中点 与 的最小距离．
17. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
（1）证明：MN∥平面A'BE；
（2）当三棱锥体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．
18. 为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍．抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为 但为保证抽查量，设定前2 辆车经过该路口都没有被抓拍时，第 3辆车必被抓拍．假设汽车依次通过该路口．
（1）从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为 求
（2）当任意连续有2辆车经过该路口时， 表示 2 辆车均未被抓拍的概率， 表示第1辆车未被抓拍，且第2 辆车被抓拍的概率， 表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率， 表示2 辆车均被抓拍的概率．
①试用 和 表示
②求 的值．
19. 牛顿法( Newtn's methd)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则 L与x轴的交点的横坐标记为，称为r 的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知.
（1）若给定，求r的二阶近似值；
（2）设
①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系；
②证明：.
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