浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三上学期适应性测试数学试题（Word版附解析）

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本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，集合，则的子集个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由交集的概念得出交集中元素的个数即可求解.
【详解】集合，集合，则，则的子集个数是.
故选：D.
2. 公比为的等比数列满足，，则（ ）
A. B. 1C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式：，代入解关于的方程，即可得的值.
【详解】由，知，又，
则，
，解得（舍），或.
故选：C.
3. 已知存在常数项，且常数项是，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求得二项式展开式的通项公式，化简整理，由常数项是，得，．
【详解】的展开式的通项公式为，，
令，得，，
所以它的常数项为，又已知常数项是，
所以，，
故选：B．
4. 已知椭圆：的左右焦点到直线：的距离之差为2，则的焦距是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆的左右焦点分别为，结合题意可得，分和两种情况，分析求解即可.
【详解】设椭圆的左右焦点分别为，
由题意可得：，则，
若，则，即；
若，则，不合题意；
综上所述：，即的焦距是.
故选：C.
5. 在中，和是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由韦达定理，，结合诱导公式、两角和的正切即可求解.
【详解】因为和是方程的两个根，所以由韦达定理有，
所以.
故选：A.
6. 边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，
所以，则，
因为，又，
所以，即，
所以，
又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：D.
7. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 0D. 8100
【答案】A
【解析】
【分析】首先得出关于中心对称，然后即可利用这一性质求解.
【详解】，
所以，即关于中心对称，
所以.
故选：A.
8. 若正实数，，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.
【详解】，，则，则，则.
则，则，则
先比较a，b：作差，设，
求导，则在单调递减.
，，故有正负还有零.
即值有正负还有零，故不能比较大小.故A错误.
再比较a，c：作差，设，求导，则
由于，则在单调递减.
，则在单调递增.
且，则，即，即.故B正确．
最后比较b，c，由于，假设满足题意，
假设，即，即，即也满足题意，
假设，即，即，即也满足题意．
则无法比较大小，故CD错误.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知均值为的多组样本点数据，…经最小二乘法得到的回归直线.现删去样本点数据，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（ ）
参考数据：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
A. 斜率改变B. 截距不变C. 斜率不变D. 截距改变
【答案】CD
【解析】
【分析】依据题意得，接着先求出新数据的，再代入最小二乘法公式求得和a，进而得解.
【详解】由题意可得，且，
所以，
不妨将样本点数据作为第n组数据，即，
则前组数据满足，
，
所以
，
所以.
综上，新回归直线斜率不变，截距会发生变化，故选项AB错误，选项CD正确.
故选：CD.
10. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ）
A. 的面积为B.
C. 平面平面D. 三棱锥的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接求的面积可判定A，连接交于G，根据条件证平面即可判定B，判定的夹角是否为直角可判定C，利用棱锥的体积公式可判定D.
【详解】
对于A，易知，故A正确；
对于B，连接交于G，根据正方形的性质易知，
所以有，
又平面，所以平面，
平面，所以，故B正确；
对于C，由上可知为平面与平面的夹角，
易知，则不垂直，故C错误；
对于D，由题意可知两两垂直，
则，故D正确.
故选：ABD
11. 已知曲线上的点满足：到定点1,0与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（ ）
A. 若，则曲线图象为一条抛物线
B. 若，则曲线的方程为
C. 当时，对于任意的，，都有
D. 当时，对于任意的，，都有
【答案】AC
【解析】
【分析】设曲线上点Px,y，由题意求出的方程，分、化简后逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若，设曲线上的点Px,y，由题意可得，
化简得，当时，为抛物线，
当时，，因为，所以，而，显然不成立，
综上，若，则曲线的图象为一条抛物线，故A错误；
对于B，若，设曲线上的点Px,y，
由题意可得，
化简得，当时，为抛物线，
当时，为一条射线，故B错误；
对于C，若，设曲线上的点Px,y，
由题意可得，
化简得，
因为，
当时，，
为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，，
当时，，
为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，，
且与关于对称,其图象大致如下，
因为，两点的纵坐标相同，
根据对称性可得，故C正确；
对于D，若，设曲线上的点Px,y，
由题意可得，
化简得，因为，
当时，，
为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，
当时，，
为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，
且与关于对称,其图象大致如下，
因为，两点的纵坐标相同，
根据对称性可得，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线上的点Px,y，求出点的轨迹方程，数形结合求出答案.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：______（为虚数单位）.
【答案】0
【解析】
【分析】利用的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：0.
13. 三棱锥的底面是边长为2的正三角形，，则三棱锥体积的最大值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】点在以为焦点长轴长为4椭球上（去掉长轴端点），可得侧面平面时三棱锥的体积最大，求出最大值即可.
【详解】由题意可得，点在以为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），
设，，椭球的焦距为，
可得椭球的短轴长，
所以当侧面平面时三棱锥的体积最大，
此时，最大值为.
故答案为：1.
14. 已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______.
【答案】 ①. 0.24## ②. 0.36##
【解析】
【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解.
【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B，
由题意可得：，
则，
所以，即此题得满分的概率是0.24；
所以，即此题得满分的概率是0.36.
故答案为：0.24；0.36.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. .如图，底面固定在底面上的盛水容器口为正方形，侧棱，，，相互平行.
（1）证明：底面四边形是平行四边形；
（2）若已知四条侧棱垂直于面，且，.现往该容器中注水，求该容器最大盛水体积及此时侧面与底面所成角的余弦值（水面平行于底面）.
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）只需证明平面平面，再结合面面平行的性质即可得证；
（2）取的中点，说明该容器最大盛水体积就是平行六面体的体积，当时，最大，此时可以说明，结合解三角形知识以及平行六面体的体积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，平面，平面，
所以平面，
同理，平面，平面，
所以平面，
而，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，同理，
所以底面四边形是平行四边形；
【小问2详解】
取的中点，因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
而平面，平面，
所以平面，
同理，所以四边形平行四边形，所以，
而平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
所以该容器最大盛水体积就是平行六面体的体积，
由题意，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
而分别是的中点，所以，
当时，最大，
而，，所以，
所以的补角就是侧面与底面所成角，
因为，
所以，，注意到，所以，
此时，平行六面体的高为，
平行六面体的底面积为，
所以平行六面体的体积为.
16. 现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为，若抛中的是正面，则收益的手中金额；否则亏损的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为元，记为抛硬币次数，为经历次抛硬币后手中的金额.
（1）若，求的分布列；
（2）如图，横坐标表示，纵坐标表示，在图中描出所有可能取值对应的，并求出当、1、2、3时盈利的概率；
（3）综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.
【答案】（1）分布列见解析
（2）图象见解析，，，，
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件知的可能取值为，再求出相应的概率，即可求出结果；
（2）通过取一些特殊值，即可得到部分图象，再根据条件，即可求出、1、2、3时盈利的概率；
（3）根据题设条件，即可写出结果.
【小问1详解】
易知的可能取值为，
，，
，
所以的分布列为
【小问2详解】
当时，，当时，或，
当时，的可能取值为，，所以图象如下图
易知，，，.
【小问3详解】
越大，最终手中金额大于初始金额的概率会越小，则最终亏损的可能性越大，最后亏损的组数多于盈利的组数，即甲同学实验现象（答案不唯一）.
17. 已知为实数，，设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性；
（2）根据（1）的结果，转化为函数的最小值小于0，并且结合函数零点存在性定理说明存在2个零点.
【小问1详解】
，，
当时，，在单调递增，
当时，令，得，
令，得，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
综上可知，时，的增区间是；
时，的单调递减区间是，单调递增区间是；
【小问2详解】
由（1）可知，若有两个零点，则，
且当时，取得最小值，，
得，
且时，，·当，，
所以有1个零点，也有1个零点，
所以若有两个零点，则.
18. 已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2.
（1）求面积的最大值；
（2）记四边形的面积为，的面积为，若，求.
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【分析】（1）设，则，令可得的坐标，由韦达定理可表示出，从而可求得面积的表达式，结合基本不等式即可求解；
（2）设面积为， 由题意，由韦达定理以及同理思想可得，由公式可知也可以用表示，进而可以得出关于的方程，解出，结合二倍角公式、平方关系即可求解.
【小问1详解】
由题意，解得，所以抛物线：，
因为，关于轴对称，直线，关于直线对称，
所以斜率互为相反数，不妨设，
则，
设与轴交于点，而直线交轴于点，
所以，
联立与抛物线：，化简并整理得，
，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，
设面积为，
则
，等号成立当且仅当，
所以面积的最大值为16；
【小问2详解】
由（1）可知，解得，
设点的坐标为，同理可得，
所以，
设的面积为，而四边形的面积为，的面积为，
由题意，所以，
而，
而，所以，即，解得，
由题意轴，且，设，
所以，
所以.
19. 已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组.
（1）写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组；
（2）求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组；
（3）若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值.
参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有.
【答案】（1）2，2，2，2，0，4，0，4（答案不唯一）
（2）12 （3）4
【解析】
【分析】（1）根据—孪生数组的含义写出即可；
（2）由题知，进而可以求出，再结合参考公式（i）即可证明；
（3）由题知，结合（2）可得.再利用参考公式（ii）放缩，进而求解最大值.
【小问1详解】
根据—孪生数组的含义可知:构成—孪生数组，当然其答案不唯一;
【小问2详解】
若，由题知:
所以.
由参考公式（i），有，
记是数列中奇数项的和，即，
不妨设，则有
因为，解得，当且仅当时取等.
故最小的为12.
【小问3详解】
类比前问，得:.
由参考公式（ii），有
若为正偶数，.
由基本不等式，得.
当且仅当时等号成立.
所以，因为，解得;
同理，当为正奇数，解得，
由构成孪生数组，所以等号需要全部成立.
对于参考公式（ii），左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0.
若，则等号直接成立.
不妨设，则，
当为正奇数时，；
当为正偶数时，若，则，不妨使，则此时仅，其余项均为0.
故.
所以
的最大值为4
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是将表示出来，再利用参考答公式（i）进行放缩；第三问需要用到第（2）问结论，要注意对m时是正奇数和正偶数讨论.25
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