2023-2024学年北京市海淀区建华实验学校4-6班八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区建华实验学校4-6班八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）一元二次方程x2＝3x﹣4的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0，3，﹣4B．1，3，﹣4C．1，﹣3，4D．0，﹣3，4
2．（2分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+1
3．（2分）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．0D．2
4．（2分）如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ）
A．8cm2B．16cm2C．24cm2D．32cm2
5．（2分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
6．（2分）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝10B．x（x﹣1）＝10
C．x（x+1）＝10D．2x（x﹣1）＝10
7．（2分）甲、乙两同学解方程x2+px+q＝0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和﹣10，则原方程为（ ）
A．x2﹣9x+14＝0B．x2+9x﹣14＝0
C．x2﹣9x+10＝0D．x2+9x+14＝0
8．（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，5），当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是 ．（任写一个即可）
10．（2分）关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
11．（2分）将抛物线y＝x2向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，﹣4），则b的值为 ．
12．（2分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ．
13．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 （填序号）．
14．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有，B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系 ．（按照从小到大的顺序排列）
15．（2分）若m、n（m＜n）是关于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：①点A可能在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18～19，每小题8分；第20、23题，每小题8分；第21、22题，每小题8分，第24～26题，每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
20．（6分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：
（1）求y2的表达式；
（2）当﹣1≤x≤0时，求y2的取值范围．
（3）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ．
21．（7分）已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
22．（7分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．
23．（6分）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为y＝﹣x2+．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．
24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
25．（8分）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P与点Q为α﹣关联点．
（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是 ；
（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；
（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．
2023-2024学年北京市海淀区建华实验学校4-6班八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）一元二次方程x2＝3x﹣4的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0，3，﹣4B．1，3，﹣4C．1，﹣3，4D．0，﹣3，4
【分析】将方程转化为一般形式，进行作答即可．
【解答】解：x2＝3x﹣4，
∴x2﹣3x+4＝0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣3，4．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键．
2．（2分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+1
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
3．（2分）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．0D．2
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值．
【解答】解：x2+6x+3＝0，
x2+6x＝﹣3，
x2+6x+9＝6，
（x+3）2＝6，
所以m＝3，n＝6，
所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．（2分）如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ）
A．8cm2B．16cm2C．24cm2D．32cm2
【分析】设经过ts运动停止，列出面积与t之间的函数关系式．
【解答】解：根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP＝2t，AQ＝t，
S△APQ＝t2，
∵0＜t≤4，
∴三角形APQ的最大面积是16．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．
5．（2分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【分析】根据方程的解，得到9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2，整体代入代数式求值即可．
【解答】解：把x＝3代入方程，得：9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2，
∴2023﹣6a+2b＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣2×2＝2019；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
6．（2分）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝10B．x（x﹣1）＝10
C．x（x+1）＝10D．2x（x﹣1）＝10
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）；
依题意，可列方程为：＝10．
故选：A．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
7．（2分）甲、乙两同学解方程x2+px+q＝0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和﹣10，则原方程为（ ）
A．x2﹣9x+14＝0B．x2+9x﹣14＝0
C．x2﹣9x+10＝0D．x2+9x+14＝0
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由于甲看错了一次项，得根2和7，
q＝2×7＝14，
由于乙看错了常数项，得根1和﹣10，
∴﹣p＝1﹣10＝﹣9，
∴p＝9，
∴该方程为：x2+9x+14＝0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．
8．（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8，0）代入解析式求解．
②由图象开口向下，对称轴为直线x＝2，求出点A，B距离对称轴的距离求解．
③由图象的对称性可得，抛物线与x轴两交点关于直线x＝2对称，由中点坐标公式求解．
④由图象中（0，8），（2，9），（8，0）可得y的取值范围．
【解答】解：①由图象顶点（2，9）可得y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+9得0＝36a+9，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝y＝﹣x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5﹣2＞2﹣（﹣1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2﹣8＝﹣4，
故③正确．
④由图象可得当x＝0时y＝8，x＝5.5时y＝m，x＝2时y＝9，
∴0＜x＜5.5时，m＜y≤9．
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，5），当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是 y＝（x﹣1）2+5（答案不唯一） ．（任写一个即可）
【分析】根据顶点坐标，写出顶点式，再根据二次函数的性质，得到a＞0，即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点是（1，5），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∴抛物线的解析式可以是：y＝（x﹣1）2+5；
故答案为：y＝（x﹣1）2+5（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
10．（2分）关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是 a≤且a≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到Δ＝12﹣4a≥0且a≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4a≥0且a≠0，
解得a≤且a≠0．
故答案为a≤且a≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（2分）将抛物线y＝x2向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，﹣4），则b的值为 5 ．
【分析】根据平移规则得到新的解析式为：y＝x2﹣b，把（1，﹣4）代入求解即可．
【解答】解：由题意，得：平移后的解析式为：y＝x2﹣b，
∵新抛物线经过点（1，﹣4），
∴﹣4＝1﹣b，
∴b＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规则，求出新的函数解析式是解题的关键．
12．（2分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 168（1﹣x）2＝128 ．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得：168（1﹣x）2＝128．
故答案为：168（1﹣x）2＝128．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系，根据价格变化前后的找出等量关系，列出方程即可．
13．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 ①② （填序号）．
【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；
②根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；
③根据矩形的面积公式判断即可得到答案．
【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故①符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，矩形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的是二次函数，故③不符合题意；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题过程即可解决问题．
14．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有，B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系 y1＜y3＜y2 ．（按照从小到大的顺序排列）
【分析】根据解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵﹣1＜0，
∴二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），
∵，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键．
15．（2分）若m、n（m＜n）是关于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是 m＜a＜b＜n ．
【分析】根据题意，将m、n可看作抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝2的两交点的横坐标，作出图形即可求得答案．
【解答】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，
∴（x﹣a）（x﹣b）＝2，
∴m、n可看作抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝2的两交点的横坐标，
∵抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），
如图，
∴m＜a＜b＜n．
故答案为：m＜a＜b＜n．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知利用图象法解方程，将方程转化为函数图象的交点是解题的关键．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：①点A可能在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是 ② ．
【分析】由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．
【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），
①∵点A（2，0），
∴点A在对称轴上，
∵m≠0，
∴点A一定不在W上；故①错误；
②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），
∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，
∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；
③∵E（7，0），
∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），
∵C（﹣2，4），
∴三点不在一条直线上，
∴点C，E可能同时在W上，故③错误；
故正确结论的序号是②，
故答案为：②．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．
三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18～19，每小题8分；第20、23题，每小题8分；第21、22题，每小题8分，第24～26题，每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）因式分解法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12，
∴，
∴，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
【分析】将x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整体代人即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1
＝2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×1+3
＝5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m）
＝m2﹣4m+4﹣4+4m＝m2．
∵m2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝m﹣1．
∵m＜0，
∴﹣1＞m﹣1．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴﹣1﹣（m﹣1）＝3．
∴m＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
20．（6分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：
（1）求y2的表达式；
（2）当﹣1≤x≤0时，求y2的取值范围．
（3）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 x＜﹣2或x＞1 ．
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）二次函数的性质，求出范围即可；
（3）根据表格确定两个函数的交点的横坐标，即可．
【解答】解：（1）由表格可知，x＝﹣2和x＝0的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴顶点坐标为：（﹣1，﹣1），
∴设函数解析式为：y＝a（x+1）2﹣1，
把x＝0，y＝0，代入，得：0＝a﹣1，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣1＝x2+2x；
（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，a＝1＞0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴﹣1≤x≤0时，x＝﹣1，y有最小值：﹣1；x＝0y有最大值：0，
∴﹣1≤y2≤0；
（3）由表格可知：当x＝﹣2和x＝1时，y1＝y2，
即：两个函数图象的交点为：（﹣2，0），（1，3），
由表格可知：当﹣2＜x＜1时，y1＞y2，
∴当x＜﹣2或x＞1时，y1＜y2，
∴不等式的解集为：x＜﹣2或x＞1；
故答案为：x＜﹣2或x＞1．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点问题．从表格中有效的获取信息，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
21．（7分）已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；
（2）画出函数图象；
（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；
（2）如图：
（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，
∴2＜|m+2|，
∴m＞0或m＜﹣4．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
22．（7分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设出AD的长，表示出AB的长，利用长方形面积公式列方程解答，再根据墙的最大可用长度为12米得出AB≤12解答案即可；
（2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判别式判定方程有没有根即可得答案．
【解答】解：（1）设AD的长为x 米，则AB＝27﹣3x，根据题意，得x（27﹣3x）＝54，
整理，得x2﹣9x+18＝0，
解得x1＝3，x2＝6
∵墙的最大可用长度为12米，
∴27﹣3x≤12，
∴x≥5，
∴x＝6，即AD的长为6米；
（2）不能围成面积为90平方米的花圃．
理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，
于是有（27﹣3y）•y＝90，
整理得y2﹣9y+30＝0，
∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×30＝﹣39＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为90平方米的花圃．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，利用长方形的面积计算公式列方程是解题关键．
23．（6分）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为y＝﹣x2+．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的解析式可以得出抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，）建立坐标系即可；
（2）根据坐标系和抛物线解析式，把x＝3代入解析式求出相应的函数值与2.24比较即可．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+，
∴对称轴为y轴，顶点为（0，），
∴小石建立的坐标系如图所示：
（2）排球能过球网．
理由：∵当x＝3时，y＝﹣×9+＝2.375＞2.24，
∴排球能过球网．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键根据抛物线建立适当的坐标系．
24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx求得b的值，即可根据对称轴公式求得答案；
（2）①分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x＝与直线x＝1之间；②根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【解答】解：（1）若m＝0，则点（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx上，
∴0＝﹣1+b，解得b＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝；
（2）①∵y＝﹣x2+bx，
∴抛物线开口向下且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而减小，0＞m＞n不满足题意，
当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，0＞n＞m不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＞0，x＝2时n＜0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和2之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝1之间，
即＜t＜1；
②∵点（﹣1，y1）与对称轴距离＜t﹣（﹣1）＜2，
点（，y2）与对称轴距离＜﹣t＜1，
点（3，y3）与对称轴距离2＜3﹣t＜
∴y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
25．（8分）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 AC＝DE ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；
（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，
∵点E恰好与点C重合，
∴AC＝DE，
故答案为：AC＝DE；
（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，
∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P与点Q为α﹣关联点．
（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是 Q1 ；
（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；
（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，由P点的坐标得出△APP'和△P'Q'O都是等腰直角三角形，得出△Q'BQ是等腰直角三角形，则可得出答案；
（2）由点P与点Q为45°﹣关联可知点P'为（0，8﹣m），Q'为（8﹣m，0），求出关联点所在直线表达式，将y＝4代入求出横坐标，根据点Q在线段MN上可表示出横坐标的取值范围，即可得出答案；
（3）由题意画出图形，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，
∵P（1，3），α＝45°，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠PP'Q'＝90°，∠P'Q'O＝45°，
∴△APP'和△P'Q'O都是等腰直角三角形，
∴AP'＝AP＝1，
∴OQ'＝OP'＝AO﹣AP'＝3﹣1＝2，
∵PP'∥QQ'，
∴∠P'Q'Q＝90°，
∴∠QQ'B＝45°，
∴△Q'BQ是等腰直角三角形，
∴当Q'B＝BQ＝1时，点Q的坐标为（3，1），
∴与（1，3）为45°﹣关联点的是Q1（3，1）．
故答案为Q1；
（2）如图所示，
对点P（m，8）（m＞1）而言，依定义，要使∠1＝∠2＝α＝45°，
则有：P'为（0，8﹣m），Q'为（8﹣m，0），
于是函数y＝x﹣（8﹣m）（x＞8﹣m）上的点Q即为点P的45°﹣关联点．
若当点Q在线段MN上时，yQ＝4，则有xQ＝12﹣m．
由6≤xQ≤8，得6≤12﹣m≤8，
解得4≤m≤6．
（3）．
∵点Q和点P在线段AB上，
当点P离B越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合时，点P'，点Q'和点O重合，
过点P作PM⊥y轴于点M，
∵α＝30°，
∴∠BOM＝30°，
∵B（n，6），
∴OM＝6，
∴n＝BM＝OM•tan30°＝6×，
∴当线段AB上至少存在一对30°﹣关联点时，n＞2．
∴n的取值范围是n＞2．
【点评】本题考查一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，点P与点Q为α﹣关联点的新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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