山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题

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数学
本试卷共4页，19题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本次考试范围：集合与常用逻辑用语；一元二次方程、函数和不等式；函数与导数；计数原理与概率统计。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，，则
A．B．C．D．
2．函数在区间上的最大值是
A．B．C．16D．9
3．若正数x，y满足，则的最小值为
A．2B．C．3D．
4．从数字1，2，3中随机取一个数字，取到的数字为n（，2，3），再从数字1，，n中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为
A．B．C．D．
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为
A．48B．32C．24D．16
6．令，则当时，a除以15所得余数为
A．4B．1C．2D．0
7．不等式恒成立，则实数a的最大值为
A．B．C．1D．2
8．已知函数（a，）没有极值点，则的最大值为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是
A．四位回文数有45个B．四位回文数有90个
C．2n（）位回文数有个D．（）位回文数有个
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．已知函数（a，b，），是的导函数，则
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为，则的极小值为
D．若，，是方程的两个不同的根，且，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
13．已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．
14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5～1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数n的值至少为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设函数，其中.
（1）若命题“，”为假命题，求实数t的取值范围；
（2）若函数在区间内恒成立，求实数t的取值范围.
16．（15分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
17．（15分）
某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人进球与否互不影响.
（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
18．（17分）
已知函数（）．
（1）在定义域内单调递减，求a的范围；
（2）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（3）若函数在处取得极值，，恒成立，求实数b的取值范围．
19．（17分）
在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，2，…，n，．
定义随机变量X的信息量，X和Y的“距离”．
（1）若，求；
（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为p（），由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q，发出信号1接收台收到信号为1的概率为q（）．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用p，q表示结果）
（ⅱ）记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：．
2025届高三一诊数学参考答案
12．
13．
14．1250
15．（13分）
（1）解：因为函数，
由命题“，”为假命题，即命题“，”为真命题，
根据二次函数的性质，可得，解得或，
所以实数t的取值范围为.
（2）解：由函数，可得，
因为函数在区间内恒成立，
即在区间内恒成立，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
所以，解得，
所以实数t的取值范围为.
16．（15分）
（1），
该函数的定义域为，
则，列表如下：
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）当时，由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，
所以，，故实数a的取值范围是.
17．（15分）
（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进i个球，
表示乙在一轮比赛中投进i（，1，2，3）个球，
则，，
，；
，，
，.
则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：
．
（2），.
设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，显然，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，
则在恒成立，
故在上单调递增，
又的最大值为，
则的最大值为，的最小值为，
而
故理论上至少要进行12轮比赛.
18．（17分）
（1）函数定义域为，
，因为在定义域内单调递减，
则在上恒成立，可得，
函数在单调递减，a的取值范围为；
（2）当时，在定义域内单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，
即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．
（3）∵函数在处取得极值，，
∴，
∴，
令，，
，则，
可得在上递减，在上递增，
∴，即．
19．（17分）
（1）因为，所以（，1，2），
所以X的分布列为：
所以.
（2）（ⅰ）记发出信号0和1分别为事件（，1），收到信号0和1分别为事件（，1），则，，，，
所以
，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，则，
则，
设，则，
所以当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，即（当且仅当时取等号），
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
C
B
A
C
D
B
B
BD
BCD
ACD
x
1
2
＋
0
－
0
＋
增
极大值
减
极小值
增
增
X
0
1
2
P