福建省平潭第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

这是一份福建省平潭第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了 若向量，满足，，则， 若向量，，则在上的投影为， 在中，，则角等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数，则复数共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，则 B. 如果，，，，则
C. 如果，，则 D. 如果，，，则
3. 若向量，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若向量，，则在上的投影为（ ）
A B. C. D.
5. 在中，，则角（ ）
A. B. C. D.
6. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ）
A. B. C. D.
7. 在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 或
8. 在棱长为的正方体中，直线BD到平面的距离为（ ）
A. B. C. D. ᶐ
二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分）
9.如图,已知正方体,点E、F、G分别为棱BC、、CD的中点,下列结论正确的有( )
A. AE与共面 B. 平面//平面GFE
C. AE⊥EF D. BF//平面
10. 已知，则下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
11. 如图所示，已知正方体的棱长为2，线段上有两个动点，，且，则下列结论中，正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 存在点（与不重合），使得与共面
C. 当点运动时，总有
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 棱长为1的正方体的外接球的表面积为_______．
13. 已知圆锥的高为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积是___________.
14. 如图，在三棱锥木块中，VA，VB，VC两两垂直，，点P为的重心，沿过点P的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC和AB，则该截面的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16.（15分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，
△BEF,△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A’
.(1) 求证A'D⊥EF;
(2)求三棱锥A'-EFD的体积.
17.（15分）如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面 ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面 PBC;
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.
18.（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面AB CD为正方形，侧面PAD是正三角形，AB=2,侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点.
(1) 求证:AM⊥平面PCD;
(2)求C点到平面PAB的距离.
(3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面面角的余弦值.
19.（17分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2.
(1)求证：B1C//平面A1BM；
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由.
答 案
1、D 2、C 3、D 4、A 5、B 6、B 7、C 8、B 9、AB 10、CD 11、ACD
12、 13、 14、
15、【解析】（1）由题意及正弦定理知，，
，
，.-------------6分
（2），
又，
由①，②可得，
所以的周长为.-----------13分
16、(1)折叠前,AD⊥AE,CD⊥CF,折叠后 A'D⊥A'E, A'D⊥A'F,
又A'E∩A'F = A', A'E、A'F C平面 A'EF
∴.A'D⊥平面A'EF,∵EF C平面A'EF ∴.A'D⊥EF----------------6分
(2)由(1)可知,A'D⊥平面A'EF,
∴三棱锥D-A'EF的高A'D=AD =2,又△A'EF折叠前为△BEF, E,F分别为AB, BC的中点，
∴V=1/3----------------------------------------------15分
17、(1)证明:∵PA ⊥底面ABC,BC C底面 ABC，∴PA ⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC.∵PA∩AC=A,∴BC ⊥平面 PAC.
∵BC C平面 PBC,∴.平面 PAC ⊥平面 PBC.-----------------------6分
(2)解:取PC的中点D,连接AD,DM
∵AC=PA,∴AD⊥PC.由(1)知,BC ⊥平面PAC，又AD C平面 PAC,∴BC⊥AD.而PC ∩BC =C,∴AD⊥平面 PBC.
∴.DM是斜线AM在平面PBC上的射影.
∴.∠AMD 就是AM与平面PBC所成的角,且AD ⊥DM.设AC=BC=PA=2a,则由M是PB的中点，得DM=12BC=a,
AD=2a.∴tan ∠AMD =AD/ DM =2
即AM与平面PBC所成角的正切值为2------------------------15分
18、(1)证明:在正方形 ABCD中，CD⊥AD,
又侧面PAD⊥底面 ABCD，侧面PAD∩底面ABCD =AD,CD C平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又AM C平面PAD，所以CD⊥AM，
因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，则AM⊥PD，
又CD∩PD=D,CD,PD C平面PCD
所以AM⊥平面PCD;-----------------------------5分
(2)C点到平面PAB的距离3-----------------10分
(2)取AD,BC的中点分别为E，F，连接 EF,PE,PF，
则EF=CD,EF//CD，所以EF⊥AD，在正△PAD中，PE⊥AD,
因为EF∩PE=E,EF,PE C平面 PEF,
则AD⊥平面PEF,
在正方形ABCD中,AD// BC，故BC⊥平面PEF，
所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
由CD⊥平面PAD,EF// CD，
则EF⊥平面PEF，又PE C平面PAD.所以EF⊥PE，
正方形ABCD的边长AD= 2，则 EF = 2,PE=3,
所以PF = 7,则cs∠PFE=EF/PF=277
故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值277------------------17分
19、【解析】（1）
连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，
在△B1AC中M，O分别为AC，AB1的中点，
所以OM//B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，
所以B1C//平面A1BM.------------3分
（2）
因为AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.
又M为棱AC的中点，AB=BC，所以BM⊥AC.
因为AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，
所以BM⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.
因为AC=2，所以AM=1.又AA1=2，
在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C=tan∠A1MA=2，
所以∠AC1C=∠A1MA，即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90∘，
所以A1M⊥AC1，又BM∩A1M=M，BM，A1M⊂平面A1BM，
所以AC1⊥平面A1BM.--------------------------10分
（3）
当点N为BB1的中点，即BNBB1=12时，平面AC1N⊥平面AA1C1C.
证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN，
因为D，M分别为AC1，AC的中点，
所以DM//CC1且DM=12CC1，又N为BB1的中点，
所以DM//BN且DM=BN，
所以四边形BNDM为平行四边形，故BM//DN，
由（2）知：BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1，又DN⊂平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面ACC1A1--------------------------------17分