新高考数学三轮冲刺卷：直线与圆锥曲线（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：直线与圆锥曲线（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 抛物线 的准线方程为
A. B. C. D.

2. 抛物线方程为 ，则其焦点坐标为
A. B. C. D.

3. 已知对 ，直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.

4. 已知过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有且只有一条，则点 可以是
A. B. C. D.

5. 过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有
A. 条B. 条C. 条D. 条

6. 从抛物线 在第一象限内的一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设抛物线的焦点为 ，则直线 的斜率为
A. B. C. D.

7. 过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，点 是坐标原点，若 ，则 的面积为
A. B. C. D.

8. 已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为
A. B. C. D.

9. 过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，如果 ，那么
A. B. C. D.

10. 抛物线 的焦点为 ，点 为该抛物线上的动点，若点 ，则 的最小值是
A. B. C. D.

11. 已知抛物线 ，直线 与 相交于 ， 两点，与双曲线 的渐近线相交于 ， 两点，若线段 与 的中点相同，则双曲线 离心率为
A. B. C. D.

12. 已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
A. B. C. D.

13. 设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于
A. B. C. D.

14. 过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，与双曲线的渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范围为
A. B. C. D.

15. 过双曲线 上任意一点 作它的一条渐近线的垂线段，垂足为 ， 为坐标原点，则 的面积是
A. B. C. D. 不确定

16. 已知抛物线 的焦点弦 的两端点 ，，则
A. B. C. D.

17. 已知抛物线 ，直线 （ 为常数）与抛物线交于 两个不同点，若在抛物线上存在一点 （不与 重合），满足 ，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.

18. 已知 是抛物线 的焦点， 是 轴上一点，线段 与抛物线 相交于点 ，若 ，则
A. B. C. D.

19. 点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 ， 两点，且 ，则称点 为“ 点”，那么下列结论中正确的是
A. 直线 上的所有点都是“ 点”
B. 直线 上仅有有限个点是“ 点”
C. 直线 上的所有点都不是“ 点”
D. 直线 上有无穷多个点（不是所有的点）是“ 点”

20. 在平面直角坐标系中，， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点．若 ，则 ．

22. 直线 与双曲线 没有公共点，则实数 的取值范围是 ．

23. 已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ，则直线 截抛物线所得的弦长等于 ．

24. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，则 的坐标为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 的重心恰为点 ，则直线 斜率为 ．

25. 如图，过抛物线 的焦点 作直线，与抛物线及其准线分别交于 ，， 三点，若 ，则 ．

三、解答题（共5小题；）
26. （1）已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是 和 ，求椭圆的离心率；
（2）设 是椭圆的一个焦点， 是短轴，，求椭圆的离心率．

27. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）求 ， 的值；
（2）过点 作 垂直于 轴， 为垂足，直线 与抛物线的另一交点为 ，点 在直线 上，若 ，， 的斜率分别为 ，，，且 ，求点 的坐标．

28. 椭圆 与直线 相交于两点 ，，且 （ 为原点）．
（1）求 的值；
（2）当椭圆离心率在 上变化时，求椭圆长轴长的取值范围．

29. 已知椭圆 的左右焦点为 ，，离心率为 ，直线 与 轴、 轴分别交于 ，，点 是直线 与椭圆 的一个公共点，设 ．
（1）证明：；
（2）若 ， 的周长为 ，写出椭圆 的方程．

30. 如图，椭圆 ： 经过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，（均异于点 ），证明：直线 与 的斜率之和为 ．
答案
1. D【解析】已知抛物线的方程为 ，焦点在 轴正半轴上，且 ，
所以抛物线的准线方程为 ．
2. B【解析】将已知抛物线的方程化为 ，焦点在 轴非正半轴上，且 ，所以抛物线的焦点坐标为 ．
3. C【解析】直线 过定点 ，于是只要点 不在椭圆 的外部即可，故 ．
又因为椭圆 中 ，所以 的取值范围是 ．
4. A
5. C
6. C【解析】设 ，由抛物线 ，可知其焦点 的坐标为 ，
故 ，解得 ，故 点坐标为 ，
所以 ．
7. B
8. A【解析】
如图，因为点 在抛物线的内部，由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离．过 作 的垂线 交抛物线于点 ，则点 为取最小值时的所求点．当 时，由 得 ．所以点 的坐标为 ．
9. B【解析】由题意，，故抛物线的准线方程是 ，
因为抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点
所以 ，
又
所以
10. B
【解析】抛物线 的准线方程为 ，如图，过 作 垂直直线 于 ，由抛物线的定义可知 ，连接 ，
在 中，，
当 最小时， 最小，
即 最小，即 最大，
此时， 为抛物线的切线，设 的方程为 ，
联立 得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，．
11. C
12. C【解析】过点 作准线的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义知 ，
所以 ．
13. C【解析】，， ，
因为 ，所以设 ，则 ，
由双曲线的性质知 ，解得 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 .
14. B【解析】将 代入 得 ，
不妨取 ，，
所以 ．
将 代入双曲线的渐近线方程 ，得 ，
不妨取 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
即 ，
则 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
所以 ．
15. A
16. A【解析】设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，则 ．
17. B【解析】满足 的 点都在圆 上，只需 与圆有除 、 外的交点即满足题意，联立两式有 ．当 时交点为 、 ．故另一根 必须大于或等于零．解得 ．
18. A【解析】由题意得点 坐标为 ，设点 的坐标 ，点 的坐标 ，
所以向量：，，
由向量线性关系可得：，，解得：，
代入抛物线方程可得：，则 ，
由两点之间的距离公式可得：．
19. A【解析】如图，设点 ， 的坐标分别为 ，，
则点 的坐标为 ．
因为 ， 在 上，
所以
消去 ，整理，得关于 的方程
因为 恒成立，
所以方程 恒有实数解，所以应选A．
20. A
【解析】设直线 ，
因为 ，其中 为点 到直线 的距离，
所以圆心 的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线．
圆 半径最小值为 ，其中 为点 到直线 的距离，圆 的面积的最小值为 ．
21.
22. 或
23.
【解析】由题设知 ，
所以 ．
抛物线方程为 ，焦点为 ，准线为 ．
联立 消去 ，整理得 ，
所以 ，
因为直线过焦点 ，
所以所得弦 ．
24. ，
【解析】空 ：因为 右焦点为 ，
所以有 且 ，，，
而 ，所以 ，
因此椭圆上顶点的坐标为：；
空 ：设直线 的方程为：，
由（）可知：椭圆的标准方程为：，
直线方程与椭圆方程联立：
化简得：，
设 ，，线段 的中点为 ，
于是有：，，
所以 点坐标为：，
因为 的重心恰为点 ，所以有 ，
即 ，
因此有：
① ②得：，所以直线 斜率为 ．
25.
【解析】分别过 ， 作准线的垂线，垂足分别为 ，，
则 ，由抛物线的定义可知 ，，
因为 ，所以 ，
所以 ．
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
26. （1） 依题意得
解得 ，，
则离心率 ．
（2） ．
27. （1） 将点 代入 ，得 ．
将点 代入 ，得 ．
因为 ，
所以 ．
（2） 由题意知，点 的坐标为 ，直线 的方程为 ．
联立
解得 ，
所以 ，，代入 ，得 ，故直线 的方程为 ，联立
解得 ．
28. （1） 由 消去 得 .
设 ，，则
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
， .
所以 ，即 .
（2） 因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．又由（1）知 ， 得 ．
29. （1） 因为 ， 分别是直线 与 轴、 轴的交点，
所以 ，，
由 解得 ，这里 ．
所以 的坐标为 ，
由 ，
得 ，
即 解得 ．
（2） 当 时，，
所以 ，
由 的周长为 ，得 ，
所以 ，，，
所以所求椭圆方程为 ．
30. （1） 由题设知 ，，结合 ，解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2） 由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，得
由已知 ，设 ，，，则
从而直线 ， 的斜率之和为