云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

这是一份云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入300元记作元，则支出200元记作（ ）
A. 元B. 0元C. 元D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．理解具有相反意义的量是解题的关键．
【详解】∵收入300元记作元，
∴支出200元记作元．
故选：D．
2. 在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【详解】解：因为点P（-1，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数，
所以点P在平面直角坐标系的第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标的符号特征，解题的关键是掌握第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）．
3. 为推动我省天然橡胶一二三产业融合发展，全面提升天然橡胶产业发展规模和质量效益，加快构建现代产业体系，云南省工业和信息化厅等五部门发布《关于印发云南省天然橡胶一二三产业融合发展实施意见的通知》，明确到2025年，综合产值达到60000000000元，用科学记数法表示60000000000，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】用科学记数法表示60000000000为．
故选：C．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是合并同类项、去括号、同底数相乘、多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握整式的相关运算．
根据合并同类项、去括号、同底数相乘、多项式乘多项式对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：选项，，计算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，计算错误，不符合题意，选项错误 ；
选项，，计算正确，符合题意，选项正确；
选项，，计算错误，不符合题意，选项错误．
故选：．
6. 正十二边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和定理即可求解，熟记多边形外角和为是解题的关键．
【详解】解：正十二边形的外角和的度数为，
故选：A．
7. 下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A. 三棱柱B. 圆锥C. 圆柱D. 正方体
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是解题的关键．
根据简单几何体的三视图作出判断即可．
【详解】解：在圆锥、圆柱、长方体和正方体中，三视图完全一样的是正方体．
故选：D．
8. 如图，，与相交于点．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求出，从而确定答案．解题的关键是由平行线的性质推出．
【详解】解：，
，
，是的一个外角，
，
故选：C．
9. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（低于6分为不合格），绘制的条形统计图如下，若该校八年级有800名学生，请估计该校八年级学生成绩不合格有（ ）
A. 80人B. 100人C. 110人D. 120人
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了样本估计总体，用总人数乘以成绩不合格的人数所占的百分比即可求解．
【详解】根据题意得，（人）．
∴估计该校八年级学生成绩不合格有120人．
故选：D．
10. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、当时，无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
11. 已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
12. 按一定规律排列的单项式：、、、、、……，第个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查找规律，对于题中所给的单项式，按照符号、系数、字母部分来分别寻找规律即可得到答案，准确发现规律是解决问题的关键．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：、、、、、……，
奇数项符号为负、偶数项符号为正，则符号满足的规律是；
除符号外，系数是正整数，则除符号外系数规律是；
字母是，指数为正整数，则字母规律是；
综上所述，第个单项式是，
故选：B．
13. 如图，是上的不同的四个点，是的直径，弦、相交于点．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理、特殊角的三角函数值，先根据圆周角定理求出，再根据特殊角的三角函数值计算即可得到答案．熟记：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．
【详解】解：
由圆周角定理得，
，
故选：C．
14. 的结果应在（ ）
A. 和0之间B. 0和1之间C. 1和2之间D. 2和3之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可．
详解】解：原式=
∵
∴
故选B．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键．
15. 如图，是坐标原点，点在轴上，在中，，，点在反比例函数图象上，则的值（ ）

A. 12B. 15C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的性质，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，过点作，利用等腰三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求解即可解决问题．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质及反比例函数图象与性质．
【详解】解：过点作，如图所示：

，，，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
点在反比例函数图象上，
把代入，可得，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 函数中，自变量x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
17. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据如下表，该组数据的中位数是____________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了中位数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的概念是解题的关键．
根据中位数的概念求解即可．
【详解】解：将表中的数据从小到大排列为3，3.5，4，4，4.5
∴排在中间的数是4
∴该组数据的中位数是4．
故答案为：4．
18. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式，再利用完全平方公式计算即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：
19. 在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理．
先利用弧长公式得到圆心角为，半径为6的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【详解】解：圆心角为，半径为的扇形的弧长，
圆锥的底面圆的周长为，
圆锥的底面圆的半径为2，
圆锥的高为．
故答案：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，然后计算加减．
此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
【详解】
．
21. 如图，，求证：平分．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理和性质、以及角平分线的定义，由三角形全等的判定定理可知，再由三角形全等的性质得即可．
【详解】证明：在 和 中，
，
，
，
平分．
22. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠2000米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米．乙施工队修建160米后，通过技术更新，每天比原来多修建．灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】乙施工队原来每天修建灌溉水渠米．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用．
设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，
两施工队修建的长度为（米），
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠米．
23. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀，中秋节前，某校举行“传经典·庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项，并且选择哪个项目不受任何因素影响，且每个项目被选到的可能性相等．
（1）甲、乙是该校的两位学生，请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出甲和乙选到活动项目所有可能出现的结果；
（2）求甲和乙选到相同活动项目的概率．
【答案】（1）画树状图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查列举法求两步概率问题，涉及列表法与树状图法、简单概率公式等知识，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
（1）根据题意，画出相应的树状图即可得到甲和乙选到活动项目所有可能出现的结果；
（2）根据（1）中的树状图，利用简单概率公式即可求出相应的概率．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
由树状图知，甲和乙选到活动项目所有可能出现的结果共有16种等可能情况；
【小问2详解】
解：由（1）知甲和乙选到相同活动项目的结果有4种，
甲和乙选到相同活动项目的概率为．
24. 如图，四边形中，，，点M在线段上，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，由得，而，所以，则，则四边形是矩形；
（2）由，，，根据勾股定理求得，再证明，则，求得．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
交的延长线于点，
，
，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：，，，
，
，，
，
，
，
的长是．
【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
25. 某运输公司安排甲、乙两种货车18辆恰好一次性将256吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆？
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】（1）甲种货车用了10辆，乙种货车用了8辆
（2）当为4时，最小，最小值是18200元
【解析】
【分析】（1）设甲种货车用了辆，则乙种货车用了辆，根据18辆货车恰好一次性运输256吨物资，可列出关于的一元一次方程，解之可得出使用甲种货车的数量，再将其代入中，即可求出使用乙种货车的数量；
（2）利用总运输成本每辆甲种货车运往地的成本前往地的甲种货车的数量每辆乙种货车运往地的成本前往地的乙种货车的数量每辆甲种货车运往地的成本前往地的甲种货车的数量每辆乙种货车运往地的成本前往地的乙种货车的数量，可得出关于的函数关系式，由运往地的物资不少于160吨，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出，结合（1）的结论，可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
设甲种货车用了辆，则乙种货车用了辆，
根据题意得：，
解得：，
（辆．
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了8辆；
【小问2详解】
前往地的甲、乙两种货车共12辆，且前往地的甲种货车为辆，
前往地的乙种货车为辆，前往地的甲种货车为辆，乙种货车为辆．
根据题意得：，
即．
前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
，
解得：，
又甲种货车共用了10辆，
．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值（元．
答：当为4时，最小，最小值是18200元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
26. 已知抛物线经过定点．
（1）求n的值；
（2）该抛物线与x轴的正半轴有两个不同的公共点，并且公共点的横坐标均为整数，求该抛物线的顶点．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将定点坐标代入抛物线表达式得：，即可求解；
（2）由，，得到或，即可求解．
【小问1详解】
将定点坐标代入抛物线表达式得：，
解得：；
【小问2详解】
当时，，
抛物线与轴的正半轴有两个不同的公共点，
则，，
解得：或，
当时，，符合题设条件，
则抛物线的表达式的对称轴为直线，
当时，，
则顶点坐标为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
27. 如图，在半径为5的半圆中，是它的直径，点是半圆上异于点，过点作且，点是半径的中点，的延长线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：平分；
（2）求证：是的切线；
（3）若，半圆内（包含边界）存在点，使，求取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据可得，由得出，通过等量代换可证得；
（2）连接，首先证，得出，再证明四边形是平行四边形，根据勾股定理得判定定理可证明，证明，进而证明是的切线；
（3）首先证明是等边三角形，再确定点的运动轨迹，进而确定，，利用菱形的性质和勾股定理求线段的长度即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
平分；
【小问2详解】
证明：连接，如图所示：
．
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问3详解】
解：由（1）可知，
设，则，
，
，
，
在中，，即，解得，
，
是等边三角形，
由（2）可知，
，
，
的运动轨迹是以的长为直径，以的中点为圆心的圆，
在半圆内（包含边界），
，，
四边形是菱形，
，
，
连接，，如图所示：
．
是等边三角形，
，
在中，，则，
，则由勾股定理可得，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及平行线的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质等知识，综合性比较强，解题的关键是理解题意，整合条件，灵活运用所学相关几何知识求解．
劳动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
货车
类型
载重量
（吨/辆）
运往A地的成本
（元/辆）
运往B地的成本
（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750