太原市第五中学校2024届高三下学期一模数学试卷(含答案)

这是一份太原市第五中学校2024届高三下学期一模数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集为R，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．复数的共轭复数为( )
A.B.C.D.
3．设，条件p：，条件q：，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为( )
A.B.C.D.
5．设双曲线（a、b均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则( )
A.B.C.D.
6．在中，，，，设点D为的中点，E在上，且，则( )
A.16B.12C.8D.
7．已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为( )
A.1B.C.D.
8．设数列的前n项之积为，满足（），则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，，则( )
A.的图象不关于直线对称
B.的最小正周期为
C.的图像关于原点对称
D.在单调递减
10．已知函数的定义域为R，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.
C.
D.函数与函数的图象有8个不同的公共点
11．外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是( )
A.B.
C.的面积是D.的周长是
三、填空题
12．化简________.
13．已知椭圆，O为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是________.
四、双空题
14．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，那么________，设边的中点为D，若，且的面积为，则的长是________.
五、解答题
15．目前，某校采用“翻转课堂”的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容.某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学习时间的相关关系，针对本校49名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于12小时的有21位学生，余下的人中，在物理考试中平均成绩不足120分的学生占总人数的，统计后得到以下表格:
(1)请完成上面的列联表，能否有的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”?
(2)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数的期望和方差.
附：
16．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，.
(1)点E在侧棱上，且平面，确定E在侧棱上的位置；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
17．已知函数的图象在处的切线过点.
(1)求在上的最小值;
(2)判断在内零点的个数，并说明理由.
18．设点A、B的坐标分别为,,直线,相交于点M,且它们的斜率之积是.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)直线与曲线C相交于D,E两点，若是否存在实数k，使得的面积为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
19．给定数列，若满足且，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列".
(1)已知数列满足,，判断数列是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;
(2)若数列是“指数型数列”，且，证明:数列中任意三项都不能构成等
参考答案
1．答案：D
解析：，，
.
故选：D
2．答案：C
解析：，共轭复数为，
故选：C
3．答案：A
解析：当，，，，
而得或，或，则正向可以推出，反向无法推出；
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
4．答案：D
解析：两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种，
科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题意易得，在双曲线中，即，
由于椭圆离心率为，且由两曲线的离心率之积为1得.
，，，，又，
或，
故选：C.
6．答案：A
解析：因为在中，，，，以B为原点，建立如图坐标系，
则，，，，设，则，，
由题意可知.即，即，所以.
所以，.所以.
故选：A.
7．答案：B
解析：棱长为a的正四面体如图所示，
则正方体的棱长为，体对角线长为，
所以棱长为a的正四面体的外接球半径为.
如图，在圆锥中，设圆锥母线长为l，底面圆半径为r，
因为侧面积为，所以，即.
因为，所以，所以.
取轴截面，设内切圆的半径为r，
则，解得，
即圆锥的内切球半径为.
因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即，
所以正四面体的最大棱长为.
故选：B
8．答案：C
解析：因为，
所以，即，所以，
所以，显然，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由题可，，，则，
有，
，，
把代入上式，得，解得（负值舍去），
，，由，解得，
解得，，
对A，，故A正确；
对B：的最小正周期为，故B错误；
对C：，为奇函数，故C正确；
对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：由得函数关于对称，A正确；
由得函数关于对称，
所以，，
所以，即，
所以，故函数的周期为4，
由知，，
又时，，所以，解得，
所以时，，
所以，B正确；
，C错误；
画出函数和函数的图象，如图：
，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：对于A，，
即，
（其中，，）
所以，，故A正确；
对于B，，
因为，所以，所以，
而，故B错误；
对于C，取的中点D，连接，
由A，B的解析知,，故外接圆圆心O点在的延长线上，
连接,,，
因为的外接圆半径，所以，
所以，
所以，
，
，
，
，故C正确；
的周长，故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：
.
故答案为：.
13．答案：5
解析：因为，故A,B不关于x轴对称且A,B的横纵坐标不为0，
所以直线方程斜率一定存在，
设直线的方程为，
联立方程，消去y可得，
则，设，，
则，，
可得
，
且，，由，可得，
即，解得，
下面证明椭圆在处的切线方程为，
理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
可知：椭圆在点的切线方程为，
椭圆在点的切线方程为，
由于点为与的交点，
故，，
所以直线为，
因为直线的方程为，对照系数可得，，
又，故，整理得，
又在第一象限，
故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分，
，同理可得，
则，
又由于，，，故，
设，则，
则两式联立得，
由得，，
检验，当时，，又，
解得，满足要求.
故的最小值为4
故的最小值是5
故答案为：5.
14．答案：，
解析：在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以
由，得，
由，得，所以.
又因为边的中点为D，所以，
所以
故答案为：，.
15．答案：(1)表格见解析，能；
(2)，
解析：（1）依题意，周学时不足12小时有人，
则周学时不足12小时且平均成绩不足120分的有人，
所以周学时不足12小时且平均成绩大于等于120分的有人，
所以列联表如下：
，
所以能有的把握认为“成绩与自主学习时间有关”；
（2）由（1）中知大于等于120分的学生中周自主学习时间不少于12小时的频率是，
设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，
这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数为随机变量Y，则，
，.
16．答案：(1)E为侧棱上靠近B处的三等分点；
(2)
解析：（1）连接，设，连接，则平面平面，
平面，面，
底面是直角梯形，，且，
，则，
E为侧棱上靠近B处的三等分点；
（2）平面平面，且，
，平面平面，平面，
平面，（O为中点）
如图所示建立空间直角坐标系，
依题意有，，，
，则，
，，显然是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
取得，
，
二面角的大小的余弦值为.
17．答案：(1)；
(2)有2个零点，理由见解析
解析：（1）法一：，，
又，所以切线方程为，
又切线过点，
得，所以.
所以，，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为.
法二:，，
所以切线方程为，
因此切点为，
得，所以，
所以，，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为；
（2）法一：判断在内零点的个数，等价于判断方程根的个数，
等价于判断方程根的个数.
令，
，令，则，得.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.，，，
（或）
所以时，方程有2根，
所以在有2个零点.
法二：由（1）得，，
令，则在上为减函数
，，
所以在上必有一个零点，使得，
从而当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减..
又，，，
所以在上必有一个零点，使得.
当时，，即，此时单调递增;
当时，，即，此时单调递减..
又因为，，，，
所以在上有一个零点，在上有一个零点，
综上，在有2个零点.
18．答案：(1)；
(2)不存在.理由见解析.
解析：（1）设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以直线的斜率
同理，直线的斜率
所以化简得点M的轨迹方程C为
（2）设,，联立，化为：，
，,，
点Q到直线l的距离,
，
解得：，解得，因为当时直线l过点，当时直线l过点，因此不存在实数k，使得的面积为.
19．答案：(1)不是，理由见解析；
(2)证明见解析
解析：（1）数列不是指数型数列；
证明：由，
所以数列是等比数列，且，
，
所以数列不是指数型数列，
（2）因为数列是指数型数列，故对于任意的，
有，，
适合该式；
假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当a为偶数时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故不能成立；
当a为奇数时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故也不能成立.
所以，对任意，不能成立，
即数列的任意三项都不成构成等差数列.
大于等于120分
不足120分
合计
学时不少于12小时
8
21
学时不足12小时
合计
49
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
大于等于120分
不足120分
合计
学时不少于12小时
13
8
21
学时不足12小时
8
20
28
合计
21
28
49