新高考数学一轮复习教案第4章第7节 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例（含解析）

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知识点一 正弦定理、余弦定理
1．正、余弦定理及变形
[提醒] 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．谨记常用结论
(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则
①sin A＝sin(B＋C)，cs A＝－cs(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．
②sin eq \f(A,2)＝cs eq \f(B＋C,2)，cs eq \f(A,2)＝sin eq \f(B＋C,2).
③sin A＝sin B⇔A＝B；
sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A(2)三角形的面积
S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
[重温经典]
1．(教材改编题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C.eq \r(3) D．eq \r(2)
答案：D
2．(教材改编题)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asin B＝eq \r(3)b，则角A等于( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(π,4)
C.eq \f(π,6) D．eq \f(π,12)
答案：A
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝eq \f(π,6)，c＝2eq \r(3)，b＝2，则C＝( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
C.eq \f(π,4) D．eq \f(π,4)或eq \f(5π,4)
答案：B
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选C ∵eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3)，∴△ABC是等边三角形．
5．(教材改编题)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cs B＝eq \f(3,5)，且S△ABC＝6，则b＝________.
解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①
由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×eq \f(3,5)＝(a＋c)2－eq \f(16,5)ac，②
由cs B＝eq \f(3,5)，得sin B＝eq \f(4,5)，故S△ABC＝eq \f(1,2)ac×eq \f(4,5)＝6，③
由①②③得，b＝4.
答案：4
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5eq \r(3)，则c＝________.
解析：由三角形面积公式，得eq \f(1,2)×4×5sin C＝5eq \r(3)，
即sin C＝eq \f(\r(3),2).又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cs 60°，解得c＝eq \r(21).
答案：eq \r(21)
知识点二 解三角形应用举例
测量中几个术语的意义及图形表示
[提醒] (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
[重温经典]
1．(教材改编题)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.
答案：50eq \r(2)
2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________n mile.
答案：5eq \r(6)
3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcs 120°，
∵x>0，∴x＝eq \r(6)－1.
答案：eq \r(6)－1
4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.
解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝eq \f(AB,cs 15°)，
所以AD＝eq \f(AEsin 45°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)AB,cs 15°)，因此CD＝ADsin 60°＝eq \f(\r(2)×10,cs45°－30°)×sin 60°＝10(3－eq \r(3))．
答案：10(3－eq \r(3))定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝a2＋c2－2accs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
形式
a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝eq \f(a,2R)；sin B＝eq \f(b,2R)；sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A；
eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
名称
意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(下)方的叫做俯角
方位角
从某点的指eq \a\vs4\al(北)方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的eq \a\vs4\al(锐)角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：