黑龙江省佳木斯市立人高级中学2024-2025学年高二上学期开学验收数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省佳木斯市立人高级中学2024-2025学年高二上学期开学验收数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

分值150分
一、单选题（每题5分，40分）
1. 在容量为50的样本中，某组的频率为，则该组样本的频数为（ ）．
A. 9B. 10C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根据频数、样本容量、频率的关系，结合题设数据，即得解
【详解】由题意，频数＝样本容量×频率．
故选：A
【点睛】本题考查了频数、样本容量、频率的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题
2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】可求出集合，然后进行并集的运算求出，从而可得出中元素的个数.
【详解】解：∵，，
∴，
∴中元素的个数为：5.
故选：B.
3. 已知函数，则（ ）
A. f(x)的最小正周期为B. 曲线关于对称C. f(x)的最大值为D. 曲线关于对称
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为
所以
所以函数的最小正周期，最大值为
又，所以函数关于对称，
故正确的为D；
故选：D
【点睛】本题考查三角恒等变换及正弦函数的性质的应用，属于基础题.
4. 已知向量，，若向量，的夹角为，则有( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．
【详解】解：因为，，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
5. 已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，则符合条件的的对应值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，对应系数相等即可求出，结合选项即可求出结果.
【详解】因为的图象与的图象关于y轴对称，
所以，
即，所以
，即，
所以，所以选项D符合.
故选：D.
6. 不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将不等式组化简，进而根据不等式组的解集求得答案.
【详解】由题意，，因为不等式组的解集为，则，所以.
故选：D.
7. 设全集，集合，集合
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法以及集合的并集、补集运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：B
8. 函数的零点个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可转化为函数的图象和函数的图象的交点个数，数形结合即可得出结论
【详解】函数的零点个数，
即函数的图象和函数的图象的交点个数，
由于，
在同一坐标系作出函数图象：
由图象可知，交点个数有3个.
故选：C
二、多选题（每题6分，18分）
9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ）
A. 的虚部为B. 在复平面内对应的点位于第一象限
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简，然后再逐项进行分析即可.
【详解】，
对于A. 的虚部为，所以A错误；
对于B . 在复平面内对应的点为，位于第一象限，所以B 正确；
对于C . ，所以，所以C 正确；
对于D . ，所以D 错误；
故答案为：BC.
10. 下列各结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充要条件
B. 的最小值为2
C. 命题“，有”的否定是“，有”
D. 若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义，对勾函数，命题的否定，作差法证明不等式分别判断各个选项即可.
【详解】对于选项，“”“”，可知，“”是“”的充要条件，则选项正确；
对于选项，令 ，其中，则，在上单调递增，故最小值为， 则选项不正确；
对于选项，命题“，有”的否定为“，有”，则选项不正确；
对于选项， ，即，则选项正确.
故选：.
11. 如图，在正三棱台中，，M，N分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线平面
B.
C. 该棱台的高是
D. 该棱台的表面积是
【答案】AD
【解析】
【分析】将棱台补全为棱锥，求出棱锥的高，即可判断C，根据面面平行证明A，根据异面直线所成角判断B，根据棱台的表面积公式判断D；
【详解】解：如图将棱台补全为棱锥，依题意可得，取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则为的一个三等分点，
则，所以，
所以棱台的高是，故C错误；
取的中点，连接、，所以，平面，平面，所以平面，同理可证平面，
，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；
取的中点，连接、，所以，则为异面直线与所成的角（或补角），
因为，
，
，
显然，即，故B错误；
如图棱台的一个侧面中，，过点作，
则，
所以，，
，
所以棱台的表面积是，故D正确；
故选：AD
三、填空题（每题5分，15分）
12. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为____________ ；面积为____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出扇形圆心角弧度数，利用扇形的弧长和面积公式可求得结果.
【详解】扇形的弧度数为，设扇形的弧长为，则，
则扇形的弧长为，扇形的面积为.
故答案为：；.
13. 已知向量，满足，且，，则与的夹角为____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为，且，，
所以，即，解得，
所以，又，所以.
故答案为：
14. 若，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【详解】对，等号两边同时取对数，得，即，利用换元法，令，则，代入，由二次函数的配方，，即的最大值是，故答案为．
四、解答题（77分）
15. 求下列各值．
（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
；
小问5详解】
；
【小问6详解】
.
16. 已知函数．
（1）求；
（2）求的解集．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将自变量的值代入函数解析式即可得解；
（2）根据分式不等式的解法计算即可.
【小问1详解】
由，
得，；
【小问2详解】
，即，
所以，解得或，
所以的解集为．
17. 如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行．
（1）问应当怎样画线，并说明理由；
（2）求所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，，则平面平面，，，即为应画的线．证明，平面．连接，则平行等于，证明四边形是平行四边形，然后证明平面，即可得证．
（2）设棱柱底面积为，高为．通过．然后转化求解所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比．
【小问1详解】
解：在三棱柱中，点是的中点，取的中点，
连接，，，则平面平面，，，即为应画的线．
理由如下：因为为的中点，为的中点，所以．
又因为，所以四边形为平行四边形，所以．
平面，平面．平面．
连接，则且，又且
所以且，
所以四边形是平行四边形，从而．
又平面，平面．
平面．又因为，平面，平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
解：设棱柱的底面积为，高为．
则．
所以三棱柱夹在平面与平面间的体积为
所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比为．
18. 在中，角，，所对边分别是，，，满足.
（1）求的值；
（2）若，，求和的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）根据数量积的定义求出，再由余弦定理得，即可求出、.
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理可得，
所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
解：因为，所以，所以，
由余弦定理及，可得，
所以，所以，代入可得.
19. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校为了打造“书香校园”，使学生养成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200名学生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的课外阅读情况，收集了他们阅读时间（单位：小时）等数据，并将样本数据分成0,2，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求值及200名学生一周课外阅读时间的平均数；
（2）为进一步了解这200名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，选取其中两人组成小组，现求其中两名组员全在内的概率.
【答案】（1），小时；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，结合各小矩形面积和为1求出，再估计一周课外阅读时间的平均数.
（2）求出指定的两组内各抽取的人数，利用列举法、结合古典概率求解即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图得：，解得，
平均数
（小时），
所以，200名学生一周课外阅读时间的平均数为小时.
【小问2详解】
在这两组采用分层抽样的方法抽取6人，
则从课外阅读时间在内的学生中抽取5人，记为，
课外阅读时间在内的学生中抽取1人，记为，
于是有，
共15种，且每种结果的发生是等可能的，
而满足两名组员都在内的情况有，共10种，
所以两名组员全在内的概率为.