湖北省恩施州中考数学试卷（含解析版）

这是一份湖北省恩施州中考数学试卷（含解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．C．﹣D．﹣3
2．（3分）目前全球海洋面积约为36100万平方公里，用科学记数法将数36100万表示为（ ）
A．3.61×108B．361×106C．3.61×104D．361×102
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a（a+1）=a2+1B．（a2）3=a6
C．a3+4a3=5a6D．a6÷a2=a3
4．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点E、F、EG平分∠BEF，交CD于点G．若∠1=40°，则∠EGF=（ ）
A．20°B．40°C．70°D．110°
5．（3分）把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是（ ）
A．a（x2﹣4xy+4y2）B．a（x﹣4y）2
C．a（2x﹣y）2D．a（x﹣2y）2
6．（3分）函数y=+的自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣4≤x＜2B．x＞2C．x≠2D．x≥﹣4且x≠2
7．（3分）正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同的放置方式，与数字“6”相对的面上的数字是（ ）
A．1B．5C．4D．3
8．（3分）关于x的不等式﹣x+a≥1的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（ ）
A．B．2C．D．3
10．（3分）“六一”期间，某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获利30%，该书包每个的进价是（ ）
A．65元B．80元C．100元D．104元
11．（3分）如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（ ）
A．B．15C．3D．
12．（3分）如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：
①当x＜0时，M=y1；
②当x＞0时，M随x的增大而增大；
③使得M大于1的x值不存在；
④使得M=的值是﹣或，
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
13．（3分）16的算术平方根是 ．
14．（3分）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为 ．
15．（3分）一个圆锥形漏斗，某同学用三角波测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 ．
16．（3分）观察下列一组数：，，，，，，，，，，，，，，，…它们是按分子，分母和的递增顺序排列的（和相等的分数，分子小的排在前面），那么这一组数的第108个数是 ．

三、解答题（本大题共8个小题，请72分，请在答案指定区域内做答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=2+1．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点M，N分别在AB、AD上，且BM=DN．过点M作ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G．
求证：四边形CEGF是菱形．
19．（8分）在结束了380课时初中阶段数学内容的学习后，陈老师安排数学兴趣小组自制一份满分120分的检测试卷，要求“数与代数”、“图形与几何”、“统计和概率”、“综合与实践”各部分内容所占的分值与其所用的课时比保持一致，陈老师根据数学内容所用课时比例绘制了如图的统计表，请根据图标提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，a= ；
（2）扇形统计图中，“统计和概率”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（3）在数学兴趣小组自制的检测试卷中，“图形与几何”应设计多少分？
20．（8分）热气球探测器显示，热气球在点A处看到某小山底部点C的俯角为30°，后垂直上升一定高度至点B，看到点C的俯角为60°，热气球与小山的水平距离为1800米，如图，求热气球垂直上升的高度AB（结果精确到1米，参考数据≈1.732）．
21．（8分）反比例函数y=和y=（k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交y=的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点．
（1）求m和k的值；
（2）求四边形OAPB的面积．
22．（10分）某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一段时间内，该种绿茶的销售量y（千克）与销售价x（元）满足一次函数关系，其变化与下表所示．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，该绿茶的销售利润最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶每千克销售单价不高于95元，若超市计划在这段时间内获得高种绿茶的销售利润为1600元，其销售单价应定为多少？
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC、AD，延长AB交过点C的直线于点P，且∠DCP=∠DAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=5，CD=6，求PC的长．
24．（12分）已知一个矩形纸片OABC，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图，点A（5，0），C（0，），把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点O落在点D，AD、BC相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求直线AC的函数解析式及点D的坐标；
（3）求经过点C、D、B抛物线的解析式；
（4）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点F，点P是抛物线上的任意一点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点Q在抛物线上是否存在点P，使以点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

湖北省恩施州中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号填在答卷相应位置上）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．C．﹣D．﹣3
【考点】17：倒数．
【专题】1：常规题型．
【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．
【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是负数的倒数还是负数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）目前全球海洋面积约为36100万平方公里，用科学记数法将数36100万表示为（ ）
A．3.61×108B．361×106C．3.61×104D．361×102
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将36100万用科学记数法表示为：3.61×108．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a（a+1）=a2+1B．（a2）3=a6
C．a3+4a3=5a6D．a6÷a2=a3
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4A：单项式乘多项式．
【分析】根据单项式成多项式，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解：A、用单项式乘多项式的每一项，并把所得的积相加，故A错误；
B、底数不变指数相乘，故B正确；
C、系数相加字母部分不变，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，根据法则计算是解题关键．
4．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点E、F、EG平分∠BEF，交CD于点G．若∠1=40°，则∠EGF=（ ）
A．20°B．40°C．70°D．110°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】首先根据邻补角的性质可得∠BEF=140°，再根据角平分线的性质可得∠BEG=BEF=70°，然后利用平行线的性质可得∠EGF=∠BEG=70°．
【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=BEF=70°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠BEG=70°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
5．（3分）把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是（ ）
A．a（x2﹣4xy+4y2）B．a（x﹣4y）2
C．a（2x﹣y）2D．a（x﹣2y）2
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】11：计算题．
【分析】原式提取a后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=a（x﹣2y）2．
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）函数y=+的自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣4≤x＜2B．x＞2C．x≠2D．x≥﹣4且x≠2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+4≥0且x﹣2≠0，
解得x≥﹣4且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（3分）正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同的放置方式，与数字“6”相对的面上的数字是（ ）
A．1B．5C．4D．3
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，这六个数字一一对应，通过三个图形可看出与3相邻的数字有2，4，5，6，所以与3相对的数是1，然后由第二个图和第三个图可看出与6相邻的数有1，2，3，4，所以与6相对的数是5．
【解答】解：由三个图形可看出与3相邻的数字有2，4，5，6，
所以与3相对的数是1，
由第二个图和第三个图可看出与6相邻的数有1，2，3，4，
所以与6相对的数是5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，利用三个数相邻的两个图形进行判断即可．
8．（3分）关于x的不等式﹣x+a≥1的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先用a表示出不等式的解集，再根据数轴上x的取值范围即可得出结论．
【解答】解：解关于x的不等式﹣x+a≥1得，x≤a﹣1，
∵数轴上1处是实心原点，且折线向左，
∵x≤1，
∴a﹣1=1，
解得a=2．
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（ ）
A．B．2C．D．3
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理．
【分析】设BD=x，先根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD=x，则CD=4﹣x，然后在△BCD中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得BD的长．
【解答】解：设BD=x，
∵AB垂直平分线交AC于D，
∴BD=AD=x，
∵AC=4，
∴CD=AC﹣AD=4﹣x，
在△BCD中，根据勾股定理得x2=22+（4﹣x）2，
解得x=．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，同时考查了勾股定理．
10．（3分）“六一”期间，某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获利30%，该书包每个的进价是（ ）
A．65元B．80元C．100元D．104元
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】设书包每个的进价是x元，等量关系是：售价﹣进价=利润，依此列出方程，解方程即可．
【解答】解：设书包每个的进价是x元，根据题意得
130×0.8﹣x=30%x，
解得x=80．
答：书包每个的进价是80元．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
11．（3分）如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（ ）
A．B．15C．3D．
【考点】Q2：平移的性质；R2：旋转的性质．
【专题】24：网格型．
【分析】首先作出线段A1B1和A2B2，确定线段AB，A1B1，A2B2的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：三角形的面积是：×3×5=．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的旋转以及平移作图，以及三角形的面积公式，正确作出线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形是关键．
12．（3分）如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：
①当x＜0时，M=y1；
②当x＞0时，M随x的增大而增大；
③使得M大于1的x值不存在；
④使得M=的值是﹣或，
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】利用函数图象，进而结合一次函数与二次函数增减性以及函数值的意义分别分析得出即可．
【解答】解：∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．
∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M=y1；故此选项正确；
②当1＞x＞0时，y1＞y2，M=y2，直线y2=﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误；
③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；
④当﹣1＜x＜0，M=时，即y1=﹣x2+1=，
解得：x1=﹣，x2=（不合题意舍去），
当0＜x＜1，M=时，即y2=﹣x+1=，
解得：x=，
故使得M=的值是﹣或，此选项正确．
故正确的有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键．

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
13．（3分）16的算术平方根是 4 ．
【考点】22：算术平方根．
【专题】11：计算题．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42=16，
∴=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
14．（3分）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为 ．
【考点】G3：反比例函数图象的对称性；X5：几何概率．
【专题】11：计算题．
【分析】根据反比例函数的对称性得到阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇形面积，然后面积的比求针头落在阴影区域内的概率．
【解答】解：因为阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇形面积，
所以针头落在阴影区域内的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=﹣x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．也考查了几何概率．
15．（3分）一个圆锥形漏斗，某同学用三角波测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 15π ．
【考点】MP：圆锥的计算．
【专题】11：计算题．
【分析】根据图中数据得到圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则根据勾股定理计算出母线长为5，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的母线长==5，
所以该圆锥形漏斗的侧面积=•2π•3•5=15π．
故答案为15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（3分）观察下列一组数：，，，，，，，，，，，，，，，…它们是按分子，分母和的递增顺序排列的（和相等的分数，分子小的排在前面），那么这一组数的第108个数是 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】根据观察数列，可发现规律：，（，），（，，），（，，，），（，，，，），，…和相等的数分别是1个，2个、3个4个…，可得答案．
【解答】解：1+2+3+4+…+14==105，
即第105个数是，
第106个数是，
第107个数是，
第108个数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了数字的变化类，发现规律：和相等的数分别是1个，2个，3个，4个是解题关键．

三、解答题（本大题共8个小题，请72分，请在答案指定区域内做答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=2+1．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】先把分子分母因式分解和除法化为乘法，再约分得到原式=﹣，然后进行同分母的减法运算，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=•﹣
=﹣
=
=，
当x=2+1时，原式=
=．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点M，N分别在AB、AD上，且BM=DN．过点M作ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G．
求证：四边形CEGF是菱形．
【考点】L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定．
【专题】14：证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ADEM、ABNF、GECF，求出GE=DN=GF=BM，根据菱形的判定得出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵NF∥AB，ME∥AD，
∴NF∥CD，ME∥BC，
∴四边形DNGE和四边形BMGF是平行四边形，
∴DN=EG，BM=GF，
∵BM=DN，
∴GF=GE，
∵GF∥CD，BC∥ME，
∴四边CEGF是平行四边形，
∴四边形CEGF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，解题的关键是能求出平行四边形CEGF和推出GF=GE，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
19．（8分）在结束了380课时初中阶段数学内容的学习后，陈老师安排数学兴趣小组自制一份满分120分的检测试卷，要求“数与代数”、“图形与几何”、“统计和概率”、“综合与实践”各部分内容所占的分值与其所用的课时比保持一致，陈老师根据数学内容所用课时比例绘制了如图的统计表，请根据图标提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，a= 44 ；
（2）扇形统计图中，“统计和概率”所在扇形的圆心角的度数为 36° ；
（3）在数学兴趣小组自制的检测试卷中，“图形与几何”应设计多少分？
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）用总课时数乘以数与代数所占的百分比，再减去数与式和方程组与不等式组的数，即可求出a的值；
（2）用360°乘以统计与概率所占的百分比即可；
（3）用120分乘以图形与几何所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
条形统计图中a=380×45%﹣67﹣60=44；
故答案为：44；
（2）“统计和概率”所在扇形的圆心角的度数为360×（1﹣45%﹣5%﹣40%）=36°；
故答案为：36°；
（3）根据题意得：
120×40%=48（分），
答：“图形与几何”应设计48分．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）热气球探测器显示，热气球在点A处看到某小山底部点C的俯角为30°，后垂直上升一定高度至点B，看到点C的俯角为60°，热气球与小山的水平距离为1800米，如图，求热气球垂直上升的高度AB（结果精确到1米，参考数据≈1.732）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据锐角三角函数关系分别得出AD，BD的长，进而求出AB的长．
【解答】解：过点C作CD⊥BA延长线于点D，
∵热气球与小山的水平距离为1800米，
∴DC=1800m，
∵热气球在点A处看到某小山底部点C的俯角为30°，从点B，看到点C的俯角为60°，
∴∠DBC=30°，∠DAC=60°，
∴tan60°===，
∴解得：AD=600（m），
tan30°===，
解得：BD=1800（m），
故AB=1800﹣600≈2078（m），
答：热气球垂直上升的高度AB为2078m．
【点评】本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
21．（8分）反比例函数y=和y=（k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交y=的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点．
（1）求m和k的值；
（2）求四边形OAPB的面积．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）把A（m，1）代入y=得到m的值，从而求出A点坐标，再根据点A（m，1）为线段PC的中点，求出P点坐标，即可求出k值；
（2）易得△ODP的面积为，△OAC的面积为，用四边形OCPD的面积减去△ODB的面积和△OAC的面积即可．
【解答】解：（1）把A（m，1）代入y=得，m=1，A点坐标为（1，1）．
∵点A（m，1）为线段PC的中点，
∴点P坐标为（1，2），
把（1，2）代入y=得k=1×2=2，
（2）∵点P坐标为（1，2），
∴四边形OCPD的面积为1×2=2，
△ODB的面积为，△OAC的面积为，
∴四边形OAPB的面积为2﹣﹣=1．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
22．（10分）某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一段时间内，该种绿茶的销售量y（千克）与销售价x（元）满足一次函数关系，其变化与下表所示．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，该绿茶的销售利润最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶每千克销售单价不高于95元，若超市计划在这段时间内获得高种绿茶的销售利润为1600元，其销售单价应定为多少？
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）易求得该函数式为一次函数，可得斜率为﹣2，即可求得y与x的函数解析式；
（2）根据销售利润=每千克利润×总销量，即可求得w关于x的解析式，求得w的最值即可解题；
（3）令w=1600时，求出x的解即可解题．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
将点（65，110）和（70，100）代入y=kx+b得：
k=﹣2，b=240，
∴y关于x解析式为：y=﹣2x+240；
（2）销售利润w=（x﹣60）y=（x﹣60）（﹣2x+240）=﹣2x2+360x﹣14400，
∴x=﹣=90时，销售利润有最大值；
（3）当w=1600时，可得方程﹣2x2+360x﹣14400=1600，
解这个方程，得x1=80，x2=100，
∵销售单价不得高于95元/kg，
∴当销售单价为80可获得销售利润1600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC、AD，延长AB交过点C的直线于点P，且∠DCP=∠DAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=5，CD=6，求PC的长．
【考点】MD：切线的判定．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）连结OC，根据垂径定理由AB⊥CD得BC弧=BD弧，再根据圆周角定理得∠BOC=∠DAC，而∠DCP=∠DAC，则∠BOC=∠DCP，由于∠ECO+∠EOC=90°，所以∠ECO+∠DCP=90°，于是可根据切线的判定定理得到PC是⊙O的切线；
（2）由AB⊥CD，根据垂径定理得到CE=CD=3，在Rt△ACE中利用勾股定理计算出AE=4，设⊙O的半径为R，在Rt△OCE中，则OC=R，OE=AE﹣OA=4﹣R，
则利用勾股定理得到（4﹣R）2+32=R2，解得R=，所以OC=，OE=4﹣=，然后证明Rt△PCE∽Rt△COE，再利用相似比可计算出PC．
【解答】（1）证明：连结OC，
∵AB⊥CD，
∴BC弧=BD弧，
∴∠BOC=∠DAC，
∵∠DCP=∠DAC，
∴∠BOC=∠DCP，
∵∠ECO+∠EOC=90°，
∴∠ECO+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵AB⊥CD，
∴CE=DE=CD=×6=3，
在Rt△ACE中，AC=5，CE=3，
∴AE==4，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=AE﹣OA=4﹣R，
∵OE2+CE2=OC2，
∴（4﹣R）2+32=R2，解得R=，
∴OC=，OE=4﹣=，
∵∠EOC=∠DCP，
∴Rt△PCE∽Rt△COE，
∴=，即=，
∴PC=．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
24．（12分）已知一个矩形纸片OABC，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图，点A（5，0），C（0，），把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点O落在点D，AD、BC相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求直线AC的函数解析式及点D的坐标；
（3）求经过点C、D、B抛物线的解析式；
（4）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点F，点P是抛物线上的任意一点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点Q在抛物线上是否存在点P，使以点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；HF：二次函数综合题；KJ：等腰三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；LB：矩形的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由题可得BC=5，AB=，易证EC=EA，设EC=x，则EA=x，EB=5﹣x，在Rt△ABE中运用勾股定理就可求出CE的长；
（2）只需运用待定系数法就可求出直线AC的解析式，在Rt△CDE中运用面积法可求出DG，再运用勾股定理可求出CG，就可得到点D的坐标；
（3）只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（4）根据点D的坐标可求出DF的长，设点P的横坐标为p，则点P、Q的纵坐标就可用p的代数式表示，易证DF∥PQ，所以DF与PQ是平行四边形的对边，则有PQ=DF，然后分点P在点Q的上方和下方两种情况讨论，利用PQ=DF建立关于p的方程，然后解方程，就可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，A（5，0），C（0，），
∴∠ABC=90°，AB=OC=，BC=OA=5，BC∥OA，
∴∠BCA=∠OAC．
由折叠可得：DC=OC=，AD=OA=5，∠CDA=∠COA=90°，∠OAC=∠DAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴EC=EA．
设EC=x，则EA=x，EB=BC﹣EC=5﹣x．
在Rt△ABE中，
（5﹣x）2+（）2=x2，
解得：x=．
则CE的长为；
（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+；
在Rt△CDE中，
∵DC=，CE=，DE=DA﹣AE=5﹣=，
∴DG===，
∴CG===2，
∴点D的坐标为（2，+）即（2，4）．
（3）设经过点C、D、B抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵C（0，）、D（2，4）、B（5，），
∴，
解得：，
∴经过点C、D、B抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；
（4）∵DF⊥x轴，∴xF=xD=2，
∵点F在直线AC上，∴yF=﹣×2+=，
∴DF=yD﹣yF=4﹣=．
设点P的横坐标为p，
∵PQ⊥x轴，∴xP=xQ=p，
∵点P在抛物线y=﹣x2+x+上，点Q在直线y=﹣x+上，
∴yP=﹣p2+p+，yQ=﹣p+．
若点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵DF⊥x轴，PQ⊥x轴，
∴DF∥PQ，
∴DF与PQ是平行四边形的对边，
∴PQ=DF=．
①若点P在点Q的上方，
则有PQ=（﹣p2+p+）﹣（﹣p+）=﹣p2+p=，
解得：p1=2，p2=5，
当p=2时，yP=﹣×22+×2+=4，
此时点P与点D重合，故舍去，
当p=5时，yP=﹣×52+×5+=，
∴点P的坐标为（5，）；
②若点P在点Q的下方，
则有PQ=（﹣p+）﹣（﹣p2+p+）=p2﹣p=，
解得：p3=，p4=，
当p=时，yP=﹣×（）2+×（）+=﹣，
当p=时，yP=﹣×（）2+×（）+=，
∴点P的坐标为（，﹣）或（，）．
综上所述：当点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（5，）或（，﹣）或（，）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求直线及抛物线的解析式、矩形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、解方程、勾股定理等知识，综合性比较强，运用分类讨论并利用PQ=DF建立方程是解决第（4）小题的关键．
销售单价x（元）
65
70
75
80
销售量y（千克）
110
100
90
80
销售单价x（元）
65
70
75
80
销售量y（千克）
110
100
90
80