福建省泉州市2024届九年级下学期教学质量监测二模数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市2024届九年级下学期教学质量监测二模数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列式子中，化简结果为负数的是
A．B．C．D．
2．据报道，2024年春节期间，泉州文旅市场共接待旅游人数818.12万人次，实现旅游收入80.18亿元，游客接待量与旅游总收入均创历史新高. 用科学记数法可将数据表示为
A．B．C．D．
3．如图，该几何体的左视图是
C.
B.
D.
A.
主视方向
4．的展开式是
A．B．
C．D．
学生编号
分数(分)
5．为了贯彻落实《教育部办公厅关于举办第八届全国学生“学宪法 讲宪法”活动的通知》精神，某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩(单位：分)，并制作了如图所示的统计图. 根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是
A．平均数为81分
B．众数为85分
C．中位数为88分
D．方差为0
6．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：
①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；
A
P
B
Q
1
3
2
l
②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；
③作射线，连接, , , .
根据以上作图，下列结论正确的是
A．且∥B．且∥
C．且D．且
7．我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买琎，人出半，盈四；人出
少半，不足三. 问人数、琎价各几何？” 其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多
出4钱；每人出钱，又差了3钱. 问人数、琎价各是多少？ 若设人数为，则根据题意可列方程
A．B．C．D．
A
B
C
D
O
E
8．如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向，平移线段的长度得到，则四边形的周长为
A．B．
C．D．
9．在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上，原点是边的中点.若点在反比例函数的图象上，则等于
A．B．C．D．
10．如图，等边三角形和正方形均内接于⊙，若，则的长为
A
B
C
E
D
F
G
O
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．正九边形的外角和等于______度．
12．不等式组的解集是__________．
13．抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的普通正方体骰子一次，记“掷得的数字是3的倍数”为事件，则________．
14．如图，在正方形中，对角线与相交于点，以点为圆心，
以的长为半径作弧，交于点，连接，则______度．
A
B
C
D
O
E
15．已知，且，则的值为_______．
16．二次函数的图象与轴交于点(在的左侧)，将该函数图象向右平移
个单位后与轴交于点(在的左侧)，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为_______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
计算：．
18．（8分）
解方程组：
19．（8分）
先化简，再求值：，其中．
20．（8分）
A
C
E
D
B
如图，点在线段上，，，∥．
求证：．
21．（8分）
在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别. 将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验. 下表是整理得到的试验数据：
(1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为 ；
(2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由．
22．（10分）
O
C
A
B
E
D
F
如图，是⊙的直径，点在半径上，点在⊙上，，连接并延长至点，使得，与⊙的另一个交点为.
(1)求证：与⊙相切；
(2)若，，求的长．
23．（10分）
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系. 请耐心阅读以下材料：
图1
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点和，焦点到光心的距离称为焦距，记为.
【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
已知，，，，，当时， 求证：．
图2
证明：∵，，
∴∥，
∴∽，
∴，
即.
同理可得∽，
∴，即 ① ，
∴ ② ，∴，∴，即.
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是________________；
(2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；
C
A
B
D
图3
(3)如图3，在中，，平分并交边于点，设，求的值(用含的代数式表示).
24．（13分）
如图1，点分别为的边上的点，，，作关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点，使得，连接.
(1)若，求证：平分；
(2)在(1)的条件下，取的中点，求证：三点共线；
B
图2
A
C
D
E
N
M
B
图1
A
C
D
E
N
M
Q
(3)如图2，当为锐角，且时， 求的长.
25．（13分）
已知点和点在抛物线上.
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为.
①求的值；
②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值.
答案
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.A 2.B 3.C 4. C 5.B 6. D 7. D 8.B 9.A 10.D
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 360 12. 13. 14. 15. 16. 2或6
三、解答题（共86分）
17.（8分）
解：原式 6分
.8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
18.（8分）
解方程组：
解：由①+②，得，解得，4分
把代入②，得，解得，
∴.8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
19.（8分）
解：原式2分
3分
4分
5分
.6分
当时，原式7分
.8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
20.（8分）
证明：∵∥，
∴.2分
在和中， 6分
∴≌.7分
∴.8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
21.（8分）
解：（1）2；2分
（2）同意小明的意见，理由如下：
法一：记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下：
总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种，
所以；4分
记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下：
总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种，
所以；6分
所以，7分
所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．8分
法二：记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，列表如下：
总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种，
所以；4分
记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，列表如下：
总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种，
所以；6分
所以，7分
所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
22.（10分）
证明：(1)∵，
O
C
A
B
E
D
F
(第22题图)
∴，
又∵，
∴.1分
∵，
∴.2分
∵是⊙的直径，
∴.
∴，
∴，
∴，3分
∴，又是⊙的半径，
∴与⊙相切.4分
(2)∵与都是所对的圆周角，
∴.
在中，.5分
设，则，.6分
，解得，经检验，是原方程的解，7分
∴，.8分
在中，由勾股定理，得.9分
∴.10分
(其它解法，请参照以上评分标准)
23.（10分）
解：(1)相似三角形的性质；2分
(2)①，②；6分
(3)法一：如图1，作∥，交的延长线于点，作∥，交于点，
C
A
B
D
(第23题图1)
E
F
G
过点作，垂足为.
∵平分，，
∴.
又∵∥，
∴，
∴，同理可得.
∵∥，∥，
∴∥，
∴，7分
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴，.8分
∵，，
∴.9分
在中，，，，，
∴，
∴.10分
C
A
B
D
(第23题图2)
N
E
M
法二：如图2，过点作，垂足为，
过点作，垂足为，过点作，垂足为.
∵平分，，
∴，.7分
在中，，.8分
∵，
∴，9分
∴，
∴，
∴.10分
(其它解法，请参照以上评分标准)
B
(第24题图1)
A
C
D
E
N
M
Q
24.（13分）
解：(1)如图1，∵与关于对称，
∴，.1分
在和中，
∴≌.2分
∴，
∴平分.3分
(2)法一：如图2，连接.
由(1)证得，，，.4分
B
(第24题图2)
A
C
D
E
N
M
Q
设，
∵，，
∴，.
5分
在中，是的中点，
∴，
∴，
∴.7分
∵，
∴，
B
(第24题图3)
A
C
D
E
N
M
Q
∴三点共线.8分
法二：如图3，连接.
∵，为的中点，
∴，，4分
由(1)知，
∴在以为直径的圆上.5分
∴.
同理可得，6分
由(1)知，，
∴.
在中，，7分
∴，
∴三点共线.8分
(3)法一：如图4，过点B作BP⊥CE于点P，BQ⊥AC于点Q，
B
(第24题图4)
A
C
D
E
N
M
R
Q
P
同(1)可证得≌，
∴.
又∵，
∴∽.
∴，.9分
设，
∴，，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴.10分
过点作的平分线交EC于点R，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴∽.11分
∴，设，则，，
∴，解得，
∵，，，
∴，
∴.
B
(第24题图5)
A
C
D
E
N
M
Q
P
F
由，得，12分
即，解得（舍负），
∴.13分
法二：
如图5，过点B作BP⊥CE于点P，BQ⊥AC于点Q，
同(1)可证得≌，
∴.
又∵，
∴∽.
∴，.9分
过点作于点，设，则，
∵，，
∴∽.
∴，.10分
设，则，
∵，，
∴.11分
∵，，
∴，
又∵，
∴∽，，
∴，12分
即，解得（舍负），
∴.13分
(其它解法，请参照以上评分标准)
25.（13分）
解：(1)将点和点代入，得
，解得，2分
所以抛物线的表达式为.3分
(2)①法一：如图所示，依题意，(第25题图)
联立，得，
所以，.4分
设直线的表达式为，又直线过点，
所以，解得，
所以直线的表达式为，
联立，得，
5分
所以，所以，
所以，同理，.6分
联立，得，
所以，7分
所以，即.8分
法二：联立，得，
所以，.4分
同理，.5分
设直线的表达式为，
又直线过点，
所以，
联立，得，
所以，
同理.6分
故

8分
②法一：设与轴交于点，与轴交于点.
当，时，由(2)①得，解得，
(或，解得)
所以直线的表达式为.
所以.9分
记的面积为，的面积为，的面积为，，
所以.10分
又因为，
所以，，，
所以，
所以.11分
记，则，即，
因为存在，故关于的一元二次方程有实数根，
所以，12分
所以≤或≥，
解得≥ 或≤(不符合题意，舍去)，
所以当时，取得最小值，且的最小值为.13分
法二：以上同法一，
因为，
又因为，12分
所以，当且仅当时，即当时，取得等号，
所以的最小值为.13分
(其它解法，请参照以上评分标准)
摸球的次数
500
1000
2000
3000
4000
5000
6000
摸到红球的次数
372
613
1397
1961
2651
3337
3992
摸到红球的频率
0.74
0.61
0.70
0.65
0.66
0.67
0.67
白
白