新高考数学二轮复习核心考点讲与练重难点11九种直线和圆的方程的解题方法（2份打包，原卷版+解析版）

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题型一：直接法求直线方程
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.
【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点的直线与圆相切，则该直线在y轴上的截距为( )
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】判断P点在圆上，圆心为原点O，则切线斜率为，根据直线方程的点斜式写出切线方程，令x＝0即可求出它在y轴上的截距.
【详解】∵，∴P在圆上，
设圆心为O，则，则过P的切线斜率，
∴切线方程为：，
令得.
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆、在第一象限，且与轴，直线均相切，则圆心、所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为，则为锐角，由已知可得出，求出的值，即可得出直线的方程.
【详解】设直线的倾斜角为，则为锐角，由已知可得，
整理可得，因为，解得.
因此，直线的方程为.
故选：B.
4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线交圆于、两点，且弦的中点为，则方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由垂径定理可知，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，
因为弦的中点为，由垂径定理可知，，
，故，因此，直线的方程为，即.
故选：A.
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，
当截距不为0时，设直线方程为，可得，
∴，所以直线方程为,
故选：AC.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．直线与线段有公共点
B．直线的倾斜角大于
C．的边上的中线所在直线的方程为
D．的边上的高所在直线的方程为
【答案】BCD
【分析】因为，，所以可以判断A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为求出直线方程可判断C、D.
【详解】
、
因为，，所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；
因为线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，C正确；
因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.
故选：BCD
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点P（－1，1），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为D．原点到直线l的距离为
【答案】ACD
【分析】由题直线l与直线的倾斜角互补，可求直线l方程，即可判断.
【详解】由题意可知直线l与直线的倾斜角互补，
所以直线l的斜率为－2，故A正确；
直线l过点P（－1，1），
∴直线方程l为：,
所以所围成的等腰三角形面积为，故B错误；
所以直线l关于原点的对称直线方程为，故C正确；
所以原点到直线l的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称B．点的坐标为
C．点的坐标为D．的面积为
【答案】BCD
【分析】先确定和对应的图象，然后对进行分类讨论，分别研究点的轨迹，然后对各个选项进行逐一分析判断即可.
【详解】为线段，
：为线段，
又，
①当时，由题意可得，点在轴上；
②当时，，，此时点在轴上；
③当时，为点到的距离，，
此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，
所以，故抛物线的标准方程为；
④当时，，，
此时点在的中垂线上，而，，中点坐标为，
所以，所以点在直线上，故选项A错误；
又，所以，解得，
故点A的坐标为，故选项B正确；
因为，又点在上，
联立方程组，可得，
所以点B的坐标为，故选项C正确；
，故直线AB的方程为，
则直线与的交点坐标为，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了动点轨迹的综合应用，考查了抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解，直线与直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.
题型二：待定系数法求直线方程
一、单选题
1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线：的焦点的坐标为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．=+2D．
【答案】C
【分析】过M作MP与准线垂直，垂足为P，分析得到取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程根据即得解.
【详解】解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，
因为抛物线：的焦点的坐标为，所以.
设切线方程为y＝k（x+2），则，ky2﹣8y+16k＝0，
Δ＝64﹣64k2＝0，k2＝1，则k=±1，
因为点在第一象限且在抛物线上，所以.
则直线方程y＝x+2.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程
【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以直线的方程为，
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1
【答案】D
【分析】对a分类讨论，由截距相等解出的值.
【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据“两坐标轴上截距的绝对值相等”条件进行分类讨论：一是截距相等且不为，二是截距互为相反数且不为，三是截距为
【详解】若截距相等且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距互为相反数且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：.
故选：C
二、多选题
5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线：，则
C．点到直线的距离是
D．过与直线平行的直线方程是
【答案】ACD
【分析】求出给定直线的斜率经计算可判断A，B；求点到直线距离判断C；由平行直线求方程判断D作答.
【详解】直线：的斜率，则其倾斜角为，A正确；
直线：的斜率，显然，，即与不垂直，B不正确；
点到直线的距离，C正确；
设过与直线平行的直线方程是，则有，解得，
所以过与直线平行的直线方程是，D正确.
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知点，，若直线与线段有交点，则或
B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件
C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为
D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.
【答案】ABD
【分析】利用数形结合可判断A，利用两条直线垂直的条件及充分条件必要条件的定义可判断B，可求出过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程判断C，利用条件可得两直线垂直，再利用基本不等式可求最值判断D.
【详解】对于A，∵直线过定点，又点，，
∴，
如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；
对于B，由直线：与直线：垂直得，
，解得或，
故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当直线过原点时，直线为，
当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，
所以直线方程为，
故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；
对于D，∵直线，：，
又，所以两直线垂直，
∴，
∴，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．四点不在同一个圆上
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ACD
【分析】当时，两直线互相垂直，所以选项A不正确；
直线，，所以的取值范围是；所以选项B正确；
由题得,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；
截距都相等的直线方程为或，所以选项D不正确.
【详解】解：当时，直线与直线也互相垂直，所以选项A不正确；
直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围是；所以B正确；
由题得,
，所以,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，所以D不正确；
故选：ACD
8．（2021·全国·高三专题练习）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或，利用圆心到直线的距离为半径，即得解
【详解】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或
由于直线与圆相切，
故圆心到直线的距离等于半径

或
故直线的方程为：
故选：ACD
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系和直线的截距，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于中档题
三、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线C交于，两点，若，则直线AB的方程为______．
【答案】或
【分析】由题意设直线AB的方程为，其中，代入抛物线方程消去，利用根与系数的关系，再对两边平方化简变形，结合前面的式子可求出，从而可求出直线AB的方程
【详解】焦点F的坐标为，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，其中，
联方程消去y后整理为，
可得，，
则，解得．
故直线AB的方程为或，
即或，
故答案为：或
10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点的直线将圆的周长分为两部分，则直线的斜率为___________.
【答案】或
【分析】直线将圆的周长分为2:1的两部分，则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，可求出圆心到直线的距离，从而求得直线斜率.
【详解】易知直线将圆的周长分为2:1的两部分，直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，
圆心到直线的距离为，设直线方程为，
由点到直线距离公式有，
则，解得或.
故答案为：或.
四、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：.
(1)过点，作圆的切线，求切线的方程；
(2)判断直线与圆是否相交，若相交，求出直线被圆截得的弦长最短时m的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.
【答案】(1)或(2)相交，，最短弦长
【分析】（1）由直线与圆相切的关系，利用待定系数法求解即可；
（2）先判断点在圆的内部，直线与圆相交，则最短弦与过该点的直径垂直，即可求解
(1)当斜率存在时，设切线方程为
∴
解得
∴.
当斜率不存在时，方程为与圆相切满足条件..
∴切线方程为或.
(2)直线：
∴直线过的交点
又∵满足
∴点在圆的内部
∴直线与圆相交
又，
∴最短弦的斜率为-1，即，，
∴最短弦的方程为，
∴
∴最短弦长为.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由可以求出，将点代入椭圆方程可以解出与的值，即可得出答案；（2）当直线与轴垂直时，可以求出两点的坐标，即可求出的面积，经计算不符合题意；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出，利用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，进而得到的面积表达式，求得的值即可得到直线的方程．
【详解】（1）因为所以，
又点在该椭圆上，所以，
又，
解得，，
所以椭圆C的方程为.
（2）①当直线与轴垂直时，可得，
的面积为3，不符合题意．
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
代入椭圆的方程得，
显然成立，设
则，，
所以，
用点到直线距离公式可得到直线的距离，
所以的面积，
化简得解得，
因此直线的方程为或.
【点睛】处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把或看作一个整体）．
题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围
一、单选题
1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线，，且，点到直线的距离（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两直线垂直公式求得，再用点到线的距离求解即可
【详解】由可得，解得，故
故选：D
2．（2022·辽宁·二模）己知直线，直线，则的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行的充要条件即可解出．
【详解】因为直线，直线，易知时，两直线垂直，
所以的充要条件是，即．
故选：A．
二、多选题
3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．若，则“”是“：与：平行”的充要条件
B．当圆截直线：所得的弦长最短时，
C．若圆：与圆：有且仅有两条公切线，则
D．直线：的倾斜角为139°
【答案】AD
【分析】由直线平行的条件求得参数值判断A，求出直线所过定点，当直线与定和圆心连线垂直时，弦长最短计算后判断B，由两圆位置关系判断C，根据直线的斜率与倾斜角的关系判断D．
【详解】对于A：时，：，：，显然，
反之，若，则有或，
检验知时，重合，故，所以A对；
对于B：圆心，恒过，由圆性质知弦长最短时，，
所以，所以B错；
对于C：圆心，，，半径，，
由题知两圆相交，因此，即：，
解得，所以C错；
对于D：直线的斜率，所以D对．
故选：AD.
4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线过点且与圆：相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为
B．面积的最大值为10
C．当直线与直线垂直时，
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合直线与圆，点与圆的位置关系，以及垂直直线的斜率关系和正切的二倍角公式，一一判断即可.
【详解】根据题意，易知点在圆上.
因为，所以直线的斜率，因此直线的方程为，
令，得，因此点的坐标为，故A正确；
因为点是圆上的动点，所以点到直线的最大距离，
又因为，所以面积，故B正确；
因为直线：与直线垂直，所以，解得，故C错误；
当直线与圆相切时，锐角最大，即最大，此时，
因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线的一条渐近线与直线平行，则直线，间的距离为______．
【答案】
【分析】根据双曲线的方程得出双曲线的一条渐近线为，再利用两直线平行的条件，结合平行线间的距离公式即可求解
【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，直线g的方程为，
所以l，g之间的距离为.
故答案为：.
6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为___________.
【答案】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，可得直线与圆心所在的直线平行，即可求得结果
【详解】将圆，
化为标准方程为，则
圆心，半径，
令，消去，得，
所以圆心在直线上，
因为直线经过点，对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，
所以直线与圆心所在的直线平行，
所以设直线为，
将代入，得
，得，
所以直线的方程为
故答案为：
四、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．
(1)求的坐标；
(2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）设点，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答.
（2）求出直线l的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答.
(1)由求导得：，设切点，而点在第三象限，即，
依题意，，解得：，此时，，显然点不在直线上，
所以切点的坐标为.
(2)直线，而的斜率为4，则直线l的斜率为，
又l过切点，于是得直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为：.
8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，A是第一象限内的一点，其坐标为．

（1）若，求t的值；
（2）过A点作斜率为k的直线l，
①若直线l和圆，圆均相切，求k的值；
②若直线l和圆，圆分别相交于和，且，求t的最小值．
【答案】（1）；（2）①或；②．
【分析】（1），利用数量积坐标公式代入计算即可求得t的值；
（2）①设直线，由直线l和圆，圆均相切，根据点到直线的距离等于半径，计算可求k的值；
②设直线l：，由弦心距公式及，化简得，通过分离常量化简，构造函数借助基本不等式可求t的最小值．
【详解】解：（1）因为，，，所以，因为，所以，又，所以，所以A点的坐标为．
（2）①设直线，则，所以，因为，所以．
因为直线l和圆，圆均相切，所以，所以，所以或，即或，
当时，得；当时，得，总之，．
将代入得；将代入得，故k的值为或．
②直线l的方程为，即，到直线l的距离，所以，
同理，
因为，所以，
且，
将化简得，因为，所以，所以，，
设，则，
等号当且仅当即时取得，
所以，等号当且仅当时取得．
当时，成立，故t的最小值为．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了数量积在求参数中的应用，考查了基本不等式在求范围中的应用，着重考查了分析问题与运算能力，属于难题.
题型四：求解直线的定点
一、单选题
1．（2022·山东滨州·二模）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.
【详解】直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到 的取值范围
【详解】设，则，解得（舍去）或=4，
所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，
由题可知k