重庆市巴蜀中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市巴蜀中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了75B，4B， 设，则等内容，欢迎下载使用。
（命题人：吴子轩，审题人：韩武红）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟.
一､单选题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数在区间上连续可导，则“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的（ ）条件.
A 必要不充分B. 充分不必要
C. 充要D. 既不充分也不必要
4. 对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为，则这个班级的平均身高估计为（ ）.
A. 168.75B. 169C. 171D. 171.25
5. 甲､乙是同班同学，他们家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单独回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ）
A. 0.4B. 0.5C. 0.54D. 0.6
6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.
A. 6B. 7C. 8D. 9
二､多选题
9. 为考察某种药物预防疾病效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）
附：；
A. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025
B. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01
C. 该药物的预防有效率超过
D. 若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005
10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 函数有三个零点
C. 函数的对称中心为
D. 过可以作两条直线与的图象相切
11. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题
12. 函数的值域为__________.
13. 设函数，则不等式的解集为__________.
14. 小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字，假设每次转动转盘后箭头指向数字的概率相等，游戏要转动转盘次，如果这次箭头指向的数字和不大于，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________.
四､解答题
15. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，已知数列为常数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列前项和.
16. 随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
（1）若该地区新能源汽车车主年龄（单位：岁）近似服从正态分布，其中年龄的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数）
（2）已知变量与之间的相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量.
参考公式与数据：
①若随机变量，则；；
②；
③.
17. 已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为.
（1）求拋物线的标准方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率.
18. 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为.
（1）求；
（2）求；
（3）记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求.
参考资料：若为个随机变量，则.
19. 请阅读下列2段材料：
材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数成为的二阶导数，记为；若仍是可导函数，则的导数成为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义阶倒数：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即.
材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是阶多项式，分母是阶多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近.
一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足（其中为自然对数的底数）.
请根据以上材料回答下列问题：
（1）求函数在处的阶帕德逼近函数；
（2）求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小；
（3）求证：当时，恒成立.
患病
未患病
服用药
10
45
没服用药
20
30
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
新能源汽车年
销量万辆
重庆巴蜀中学高2025级高二（下）期末考试
数学试题
（命题人：吴子轩，审题人：韩武红）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟.
一､单选题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的交集的运算得到，再由集合的并集运算得到.
【详解】因为，
所以，又，
所以.
故选：B.
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用整体替换方法解出函数定义域；
【详解】因为函数定义域为，所以，
则函数可知，解得或
函数的定义域为.
故选：D.
3. 已知函数在区间上连续可导，则“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的（ ）条件.
A. 必要不充分B. 充分不必要
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据导函数与函数单调性的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，，
此时不是增函数，
若在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
所以“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的必要不充分条件.
故选：A.
4. 对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为，则这个班级的平均身高估计为（ ）.
A. 168.75B. 169C. 171D. 171.25
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出男、女生所占的比例，然后由均值的计算公式求解即可.
【详解】设总体身高的平均值为
男生在全部学生中所占的比例为
女生在全部学生中所占的比例为
所以
所以总体身高均值为.
故选：C.
5. 甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单独回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ）
A. 0.4B. 0.5C. 0.54D. 0.6
【答案】D
【解析】
【分析】设第一天他俩结伴回家的概率为,则由全概率公式可得,解出即可.
【详解】设第一天他俩结伴回家的概率为,则由全概率公式可得,
即,解得.
故选：D.
6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知动点在线段的延长线上，根据椭圆定义可得为定值，即可判断其轨迹为圆，写出方程即可得解.
【详解】由椭圆得，
故，
由题意，动点在射线的延长线上，且，
故，
故动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
其方程为.
故选：D
7. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据对数函数的性质确定再作商比较与的大小关系即可.
【详解】由对数函数的性质得，
所以，同理，，
而，
所以，
，
而，
所以，即，综上，
故选：B.
8. 某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.
A 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可.
【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学，
由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率，
则，
设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大，
则，
即，
即，
解得，
又，所以，
所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，表达出，是解决本题的关键.
二､多选题
9. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）
附：；
A. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025
B. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01
C. 该药物的预防有效率超过
D. 若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意计算出的值，逐项分析即可.
【详解】根据列联表
计算，
对于A，因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025，A正确；
对于B，因为根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是无效的，此推断犯错误的概率不超过0.01，B错误；
对于C，通过选项A可推断该药物的预防有效率超过，C正确；
对于D，若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，则根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005，D正确；
故选：ACD.
10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 函数有三个零点
C. 函数的对称中心为
D. 过可以作两条直线与的图象相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D.
【详解】，
因为函数有极小值点，
所以，解得，
所以，，
当或时，，当时，，
所以函数上单调递增，在上单调递减，
所以，
又
所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；
对于C，由，
得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
对于D，设切点为，则，
故切线方程为，
又过点，所以，
整理得，即，
解得或，
所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D.
【详解】设，代入得，
化简得，所以，解得，
，选项A正确；
当时，由，得，
, 解得，当且仅当时成立，选项B正确；
由，得时，，
，解得，选项C错误；
由，得，
,
解得，当且仅当时取等号， 选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立.
三､填空题
12. 函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出的定义域，令，根据在的单调性可得答案.
【详解】有得，
所以函数的定义域，
令，则在都是单调递增函数，
所以在是单调递增函数，
所以，
所以函数值域为.
故答案为：.
13. 设函数，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案.
【详解】当，即时，
则，解得；
当，即时，
则，
即，解得；
当时，恒成立；
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
14. 小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字，假设每次转动转盘后箭头指向数字的概率相等，游戏要转动转盘次，如果这次箭头指向的数字和不大于，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，用列举法结合古典概型的概率公式可解.
【详解】小明参加游戏2胜利，则转动转盘2次，总情况为种.
这2次箭头指向的数字和不大于6的情况数为：
考虑方程正整数解个数，
满足题意的有15种，分别为：
.
故小明参加游戏2胜利的概率为：.
故答案为：.
四､解答题
15. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，已知数列为常数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一阶差分数列概念，知道数列为等差数列，再用等差数列的知识解题即可．
（2）先求出的通项公式，再运用裂项相消即可解题．
【小问1详解】
由于数列为常数列，且，可知为等差数列.
又．知道，解得．
故数列的通项公式为.
【小问2详解】
,则
16. 随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
（1）若该地区新能源汽车车主年龄（单位：岁）近似服从正态分布，其中年龄的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数）
（2）已知变量与之间的相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量.
参考公式与数据：
①若随机变量，则；；
②；
③.
【答案】（1）234万人
（2）39万辆
【解析】
【分析】（1）由题意，可得，又，所以，可得，则可估计该地区新能源汽车车主共有万人；
（2）由题意，求出，进而求出，则由公式可得，则求出，进而求出，，则得到关于的线性回归方程，又2025年对应的年份代码，所以，则可估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量.
【小问1详解】
由题意，该地区新能源汽车车主的年龄（单位：岁）近似服从正态分布，
则,所以,
，
所以估计该地区新能源汽车车主共有万人.
【小问2详解】
由题意，，
所以，
由已知，，
所以，
所以，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
2025年对应的年份代码，所以当时，，
估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆.
17. 已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为.
（1）求拋物线的标准方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程；
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率.
【小问1详解】
设，
则，解得，即，
将代入抛物线，解得，
拋物线的标准方程为：.
【小问2详解】
由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为，
则直线的方程为，
则直线的方程为，
设点，
联立，得，
由韦达定理，，
即，同理，
故，
所以，
故，
综上所述，直线的斜率为.
18. 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为.
（1）求；
（2）求；
（3）记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求.
参考资料：若为个随机变量，则.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）第一次由随机事件分析即可，第二次分析参加比赛的情况，进而可得结果；
（2）分析第场与第次参加比赛的关系，整理可得，利用构造法结合等比数列分析求解；
（3）记甲参加第次比赛的次数为，根据两点分布可知，根据题意结合等比数列求和运算求解.
【小问1详解】
因为第一场比赛由简单随机抽样中的抽签法决定，所以；
对于第二场可知：
若第一次甲参加比赛，则第一次甲胜即可参加第二场比赛；
若第一次甲未参加比赛，则第二次甲必参加比赛；
所以.
【小问2详解】
对于第场可知：
若第次甲参加比赛，则第次甲胜即可参加第场比赛；
若第次甲未参加比赛，则第次甲必参加比赛；
则，可得，
且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，所以.
【小问3详解】
记甲参加第次比赛的次数为，可知满足两点分布，则，
可得，
所以.
【点睛】方法点睛：根据切比雪夫链的问题，要分析第次与前一次或前几次之间的关系，结合概率知识运算求解，往往结合数列知识分析整理.
19. 请阅读下列2段材料：
材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数成为的二阶导数，记为；若仍是可导函数，则的导数成为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义阶倒数：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即.
材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是阶多项式，分母是阶多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近.
一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足（其中为自然对数的底数）.
请根据以上材料回答下列问题：
（1）求函数在处的阶帕德逼近函数；
（2）求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小；
（3）求证：当时，恒成立.
【答案】（1）
（2）答案见详解 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意设，然后由可求出，从而可求出；
（2）根据题意设，然后由可求出，从而可求出，再与作差比较大小；
（3）给不等式两边取对数后，转化为证，令，然后利用导数求出其最小值，再次转化为证，然后利用（2）的结论证明即可.
【小问1详解】
由题意设，
因为，所以，
所以，则，
所以
因为，所以，，
所以，
所以，所以，
所以由，得，解得，
所以；
【小问2详解】
由题意设，
因为，所以，所以，得，
由，得，
由，得，
因为，所以，
所以，所以，
由，得，
由，得，
因为，所以，
所以，所以，得，
所以得，
所以，
令，则
，
所以在上递减，
因为，
所以当时，，即，
当时，，
当时，，即；
【小问3详解】
证明：当时，要证，
只要证，即证，
令，则，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以只需证，即，
所以只需证，
由（2）可知当时，，即，
所以，
所以原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
患病
未患病
服用药
10
45
没服用药
20
30
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
患病
未患病
合计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
合计
30
75
105
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
新能源汽车年
销量万辆