艺术生高考数学专题讲义：考点10 函数的图象及其变换

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点10 函数的图象及其变换，共10页。试卷主要包含了函数图象的作法，描点法作函数图象，基本初等函数的图象，函数图象的变换等内容，欢迎下载使用。


1．函数图象的作法
(1)直接法
(2)图象变换法
(3)描点法
2．描点法作函数图象
(1)基本步骤：列表、描点、连线．
(2)注意事项：
①列表前应先确定函数的定义域，并化简函数解析式，根据作图需要讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性) ．
②列表时注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点．
③连线时应根据函数特征，用平滑的曲线(或直线)连接各点．
3．基本初等函数的图象
(1) 一次函数y＝ax＋b(a≠0)
(2) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(3) 反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)
(4) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)
(5) 对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)
4．函数图象的变换
(1)平移变换：
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\d5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\d5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.
口诀：左加右减，上加下减．
(2)伸缩变换：
y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(0<ω<1，伸长为原来的eq \f(1,ω)倍,ω>1，缩短为原来的eq \f(1,ω))) y＝f(ωx)；
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(A>1，伸为原来的A倍),\s\d5(0(3)对称变换：
y＝f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于x轴对称),\s\d5( ))y＝－f(x)；
y＝f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于y轴对称),\s\d5( ))y＝f(－x)；
y＝f(x)eq \(―――――――→,\s\up7(关于原点对称),\s\d5( ))y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)eq \(―――――――――――――――――→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\d5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；
y＝f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(留下x轴上方图),\s\d5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|
口诀：绝对值作用在x上，右翻左；作用在y上，下翻上．
典例剖析
题型一 函数的图像识别
例1 下列所给图象是函数图象的个数为________．
答案 2
解析：选 ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.
变式训练 函数y＝xsin x在[－π，π]上的图像是________．
② ③ ④
答案 ①
解析 容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除④.当00，当x＝π时，y＝0，可排除②、③，故选①.
解题要点 函数图像的识别要点：
(1)对于函数的图像，一个x只有一个y值与之对应；
(2)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(6)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
题型二 作函数的图象
例2 画出下列函数的图象．
(1) y＝2x－1，x∈Z，|x|≤2；
(2) y＝2x2－4x－3(0≤x<3)；
答案：(1) (2)
变式训练 作出下列函数图象
(1) y＝x2－2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))>1))；
(2) y＝x|2－x|.
解析 (1) ∵ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))>1，∴ x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图.
(2) ∵ y＝x|2－x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x（x≥2）,－x2＋2x（x<2）))，∴ 图象由两部分组成，如图.
题型三 函数图象的变换
例3 作出下列函数图象：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2) y＝|－x2＋2x＋1|
解析 (1)由于y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x＜0，))
即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x＜0.))
画出函数图象如图所示，
(2) 函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．
变式训练 作出下列函数图象
(1)y＝2x＋2；(2) y＝eq \f(x＋2,x－1).
解析 (1) 将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如下左图

(2)因y＝eq \f(x＋2,x－1)＝1＋eq \f(3,x－1)，先作出y＝eq \f(3,x)的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝eq \f(x＋2,x－1)的图象，如上右图.
题型四 函数图象的应用
例4 方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．
答案 (1，eq \f(5,4))
解析 方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，如图：
易知－eq \f(1,4)<1－a<0，∴1变式训练：已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
答案 (eq \f(1,2)，1)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq \f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(eq \f(1,2)，1)．
解题要点 借助函数图象求解方程解的个数、参数范围时利用的是数形结合的思想，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．
当堂练习
1．设函数f(x)＝2x，则如图所示的图象对应的函数是________．
答案 y＝－f(－|x|)
解析 该图象是函数y＝－2－|x|即y＝－f(－|x|)的图象．.
2．若函数y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点________．
答案 (4,4)
解析 法一 函数y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．
故y＝f(x)的图象经过点(4,4)．
法二 由题意得f(4)＝4成立，故函数y＝f(x)的图象必经过点(4,4)．
3. 函数y＝lgeq \f(1,|x＋1|)的大致图象为____________．
② ③ ④
答案 ④
解析 因为y＝lgeq \f(1,|x|)是单调递减的偶函数，关于y轴对称，则y＝lgeq \f(1,|x＋1|)的图象是由y＝lgeq \f(1,|x|)的图象向左平移一个单位长度得到的．故选④.
4．为了得到函数y＝lg(x＋3)－1的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点____________．
①向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
②向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
③向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
④向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 ③
解析 由y＝lgx图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．
5．方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内____________．
①没有根 ②有且仅有一个根 ③有且仅有两个根 ④有无穷多个根
答案 ③
解析 如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根．
课后作业
填空题
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是____________．
② ③ ④
答案 ③
解析 出发时距学校最远，先排除①，中途堵塞停留，距离没变，再排除④，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除②，故选③.
2．函数y＝lg2|x|的图象大致是____________．
① ② ③ ④
答案 ③
解析 函数y＝lg2|x|为偶函数，作出x>0时y＝lg2x的图象，图象关于y轴对称，应选③.
3．(2013·福建文)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是____________．
② ③ ④
答案 ①
解析 依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除③.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除②，④，故选①.
4．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点____________．
①向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
②向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
④向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案 ①
解析 y＝2x先向右平移3个单位长度，得到y＝2x－3，再向下平移1个单位长度，得到y＝2x－3－1.故选①.
5．函数y＝1－eq \f(1,x－1)的图象是____________．
② ③ ④
答案 ②
解析 将y＝－eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－eq \f(1,x－1)的图象．
6．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是____________．
答案 (0，＋∞)
解析 由题意a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,0，x＜0，))图象如图所示，
故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0.
若lga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝lga(x＋1)的图象大致是____________．
① ② ③ ④
答案 ②
解析 ∵lga2<0，∴0由f(x)＝lga(x＋1)单调性可知①、④错误，再由定义域知②选项正确．
8．(2015山东文)要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向____平移____个单位．.
答案 右，eq \f(π,12)
解析 ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))，
∴要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位．
9．(2015新课标II文)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
答案 －2
解析 由函数f(x)＝ax3－2x过点(－1,4)，
得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.
10．函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x－1)图象的对称中心的坐标是________．
答案 (1，2)
解析 f(x)＝2＋eq \f(3,x－1).
11．为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向________平移________个单位长度．
答案 右 3
二、解答题
12．分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2) y＝x2－2|x|－1
解析 (1) y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x， x≥1，,－lg x， 0(2) y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1， x≥0，,x2＋2x－1， x<0.))图象如图
13．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．
解析 当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a＜1，即0＜a＜eq \f(1,2).
当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，
由已知可得0＜2a＜1，即0＜a＜eq \f(1,2)，但a＞1，故a∈．
综上可知，a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).