2024年中考数学易错模型02 相似模型（十大易错分析+变式训练+易错题通关）（解析版）

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易错模型一：A字型相似模型
【模型解读】
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；

③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
【易错点】
善于寻找A字型的相似；
【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（ ）

A．24B．12C．6D．10
【答案】B
【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，

∴四边形与四边形都为平行四边形，
∴，，
∴，，
∵为的中位线，
∴，，
∴，且相似比为1：2，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
练习1．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
【答案】2
【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．
【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴在等腰直角三角形中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
练习2．（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝，
∴BD＝BC－CD＝，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴＝．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴＝，＝．
∴＝．
∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，
∴．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
练习3．（2022春·全国·九年级专题练习）王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
【答案】(1)18m
(2)3.6m
【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，即得BQ＝AB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；
（2）如图2，他在路灯AC下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出BN即可．
【详解】（1）如图1，
∵PMBD，
∴△APM∽△ABD，
，即，
∴AP＝AB，
∵QB=AP，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯AC下的影子为BN，
∵BMAC，
∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是3.6m．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．
1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先证明△BCE≌△ACF，再证明△CDG∽△CAF，进而即可求解．
【详解】解：如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．
在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，
∴△BCE≌△CAF（ASA）．
∴CF=BE=3，CE=AF=4．
在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，
∴，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF．
∴，解得．
在Rt△BCD中，∵，BC=5，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，列出比例式是关键．
2．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】过点A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长．
【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，
∵△ABC的BC边上的高是3，
∴AM=3，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，
∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，
∴，．
∴．
∴GF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键．
3．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论；
（2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC，PB，求得AP
【详解】解：（1）连接OC，
∵AC平分∠EAP，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AE∥OC，
∴∠E＝∠OCP＝90°，
∵OC是圆O的半径
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵PB：PC＝1：2，
∴设PB＝x，PC＝2x，
∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2，
∴x，
∴PC，PB，
∴AP，
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟记切线的判定是解题的关键．
4．如图，中，中线，交于点，交于点．
（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
【答案】（1）3；（2），证明见解析
【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解；
（2）根据题意分别证明，问题可证．
【详解】解：（1）是的中点，是的中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）当，时，
由（1）可得
，，，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
易错模型二：8字型相似模型
【模型解读】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．

③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
练习1．（2021秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为 cm．
【答案】
【分析】如图，过F作于I点，连接FE和FA，得到 设求出FE，AH，AG，证明 得到 最后求值即可．
【详解】如图，过F作于I点，连接FE和FA，
，四边形为正方形，




为BC的三等分点，

为 BC的三等分点，
设

为等腰直角三角形，


为AE的中点，


四边形ABCD为正方形，



故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE= 2BE，BF=2DF的利用以及这些性质的熟记．
练习2．（2023·江苏南通·统考一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．
(1)当时，求的度数用含的式子表示；
(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，是定值
(3)
【分析】根据翻变换的性质可以得到，加上对顶角相等得到的，从而得到，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，加上对顶角相等得到的证明出： ，最终得到对应角相等得出结果．
如图中，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论；
证明是等边三角形，可得结论．
【详解】（1）如图中，设交于点．

四边形是正方形，
，，
，
由翻折变换的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），是定值．
理由：如图中，连接，．

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
同法可证，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图中，当时，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，点D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是( )
A．1.5B．1.8C．2D．2.4
【答案】C
【分析】根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，求得CD的长，根据中位线的性质，得到DE∥AC，求得△AOC∽EOD，根据三角形相似的性质求出OD和OC的关系，进而得出OD和CD的关系，然后即可求解．
【详解】解： ∵△ABC为直角三角形，
D点为AB的中点，
∴CD=AB=6
∵D和E点分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，
∴△AOC∽△EOD，
．
故选C．
【点睛】本题考查了中位线性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握中位线的性质，能够利用平行线判定两三角形相似．
2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
3．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中

∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．
（1）当时，的长为________，________；
（2）已知．
①若，求此时的长；
②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）；；（2）①；②存在，有8个．
【分析】解：（1）由四边形ABCD为正方形，得到△ACD为等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的长，由MN=CD，可以求出MN的长，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.
（2）①过点E作EG⊥AD于点G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到对应边成比例，由勾股定理求出GM的长，再由AM=AG+GM可求出．
②画出图形，过点F作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，根据点M与点F关于BC对称，计算出PE+PF的最小值，与PE+PF=9比较．得出BC上存在两个点，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．
【详解】解：（1），
∵四边形ABCD为正方形
∴△ACD为等腰直角三角形，
则，在Rt△ACD中有AD=AC，
AD2+DC2=AC2，
∵AC=12，
解得：AD=CD=6，
又∵MN⊥BC，CD⊥BC
∴MN∥CD，且MN=CD，
即MN=DC=6，
又∵AD∥BC
∴△AEM∽△CEN.
（2）①如图，过点E作于点G．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
②存在，这样的点有8个．
如图，过点F作点F关于的对称点M，连接交于点N，连接，
∵点E，F将对角线三等分，且，
∴，．
∵点M与点F关于对称，
∴，．
∴．
∴．
则在线段上存在点N到点E和点F的距离之和最小为．
∴在线段上，点N的左右两边各有一个点P使．
同理在线段，，上都存在两个点使．
即共有8个点P满足．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质、线段和的最值问题等，体现了逻辑推理、直观想象核心素养.
易错模型三：AX型相似模型
【模型解读】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【例1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
练习1、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，交于点．
①若，求的长；
②作，垂足为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【详解】（1）∵是等边三角形
∴，
在中，
∴
∵点是线段的中点
∴
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
∴
∴四边形为平行四边形；
（2）①如图，连接，交于点
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴；
②如图，作，垂足为
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴．
练习2、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
【答案】； ．
【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，
∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
练习3、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．
【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，

因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，
∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
AD＝B1D，

综上：这两个等式都成立；
（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：
如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
线段AD为其内角角平分线
∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴，
即对任意三角形结论仍然成立；
（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，
∵AD为△ABC的内角角平分线，
∴
∵DE∥AC，


∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
2．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，从而求出NG和MG，可得MN的长.
【详解】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，
由题意可知：EH∥BC，
∴△BEG∽△BAF，
∴，
∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，
∴BE=2，AF=3，
∴，
∴EG=，
∵EH∥BC，
∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴，,
∴，，
即，，
∴，，
∵E为AB中点，EH∥BC，
∴G为BF中点，
∴BG=GF=BF=，
∴NG==，MG=BG=，
∴MN=NG+MG=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH，得到相似三角形.
3．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；
（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】证明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）点为的中点，
，
由（1）已证：，
，
设，则，，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又，
，
即；
（3）由（2）已证：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，设，则，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
则在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
4．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．
求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根据相似三角形对应变成比例即可．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴△AOB∽△COE
∴
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两组对应边的比例相等是解决本题的关键．
易错模型四：母子型相似模型
【模型解读】
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（ ）
A．27B．26C．25D．24
【答案】A
【分析】过作于，在上截取，连结，；先证明，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到；再根据图形得到，即当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．
【详解】解：如图：过作于，在上截取，连结，，
是等边三角形，，，
，，
，．
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
∴当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值，
∴的最大值为，的最小值为，
∴的最大值与最小值之积为．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
练习1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
练习2．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)为的理想点,理由见解析
(2)或
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
（1）
解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）
①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
1．如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（ ）
A．27B．26C．25D．24
【答案】A
【分析】过作于，在上截取，连结，；先证明，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到；再根据图形得到，即当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．
【详解】解：如图：过作于，在上截取，连结，，
是等边三角形，，，
，，
，．
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
∴当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值，
∴的最大值为，的最小值为，
∴的最大值与最小值之积为．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
2．如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为
【答案】
【分析】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，证出，即可得出结果；
【详解】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，如图所示：
∵AB=AC，
∴，
∵AC=4，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，解得，
根据勾股定理得，
∴，
根据题意可得，
即可得到,
线段BD绕点D顺时针旋转至ED
∴，
∴ME=DN=CN-CD=，
∴，
∴面积最大时，，
此时．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，做出辅助线是解题的关键．
3．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cs∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【分析】（1）证明△EAB∽△ECD，根据相似三角形的性质即可得结论；
（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△CDG中利用已知条件求得DG、OG的长，再根据△CDE的面积为6，可求得DE的长，在△ABH中求得BH、AH的长，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的长，由S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四边形ABCD的面积．
【详解】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴∠ABE＝∠CDE.
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∴．
（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H，
∵CD＝5，cs∠ADC＝，
∴DG＝3，CG＝4.
∵S△CED＝6，
∴ED＝3，
∴EG＝6.
∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，
∴BH＝6，AH＝，
由（1）得△ECG∽△EAH，
∴，
∴EH＝，
∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．
【点睛】本题考查的主要是解直角三角形知识和三角形相似问题，解直角三角形可以为我们提供三角形中边的条件和角的条件，利用三角形相似可以建立方程，表达出变量之间的关系；这种类型的题目给出的条件中有三角函数和边长，在解题时就应该利用三角函数和已知的边长求出另外的边长，继而进行解题；三角函数的计算要在直角三角形中进行，因此借助辅助线构造直角三角形就是解决这种类型题目的关键．
4．已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．

（1）如图，求证：
①
②
（2）连接并延长交于点，
①若点为的中点（如图），求的长．

②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）①；②
【分析】（1）①由正方形的性质得出AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出结论；
②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，证出∠AGB=90°，即可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质得出CF=BE=BC=2，由勾股定理得出BF=2，由（1）得：AE⊥BF，则∠BGE=∠ABE=90°，证明△BEG∽△AEB，得出，设GE=x，则BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG=2×，由平行线得出，即可得出BH的长；
②由（1）得：∠AGB=90°，得出点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，求出GM=AB=BM=2，由平行线得出=1，证出CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；
②由①得：△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：①如图2所示：

∵E为BC的中点，
∴CF=BE=BC=2，
∴BF=，
由（1）得：AE⊥BF，
∴∠BGE=∠ABE=90°，
∵∠BEG=∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴，
设GE=x，则BG=2x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22，
解得：x=，
∴BG=2×=，
∵AB∥CD，
∴，即，
解得：BH=；
②由（1）得：∠AGB=90°，
∴点G在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M，
由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：

∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴GM=AB=BM=2，
∵AB∥CD，
∴=1，
∴CF=CG，
∵CF=BE，
∴CF=CG=BE，
设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，
解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．
易错模型五：三角形内接矩形相似模型
【模型解读】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。

结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【例1】（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，中，，点E在上，于点F，，已知的面积为a，的面积为b，则矩形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先证明四边形是矩形，得到，进而证明，得到，再根据三角形面积公式得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为a，的面积为b，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形面积，证明，得到是解题的关键．
练习1．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．

（1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ；
（2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ．
【答案】
【分析】（1）根据，判定，根据矩形的性质，相似三角形的相似比等于对应高之比计算即可．
（2）设，根据，判定，用x表示，构造面积的二次函数，根据二次函数的最值判定计算即可．
【详解】解：（1）如图，过作于，交于，

∵正方形，
∴，， ，
∴，
∴，
∵，，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
（2）如图，过作于，交于，
∵矩形，
∴，， ，，
∴，
∴，

设，则，
同理：，
∴，则，
设矩形的面积为y， 则．
∴当时，面积最大，此时，，
故当矩形的面积最大时，这个矩形的边长．
故答案为：，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键．
练习2．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在中，，高．矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．

(1)若矩形为正方形，求该正方形的边长．
(2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值．
【答案】(1)
(2)当时,矩形的面积有最大值
【分析】根据正方形的性质可知，利用相似三角形的性质可得，可得的值；
根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于的长的函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设该正方形的边长为，
∵矩形为正方形，
∴，
∴，
，
，
，
答：该正方形的边长为．
（2）由(1)中的得 ，
，
，
，
，
当时,矩形的面积有最大值．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
1．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．
通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N，
则，
设米，由得，，
∵四边形是矩形，
，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
故选：B．
2．如图，矩形中，点在上，，点为延长线上一点，满足，连接交于点，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出是解题的关键．首先可得是的中位线，再说明，可得的长，从而得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
3．如图，矩形的边在的边上，顶点D、G分别在边上、已知，，设，．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)连接，当为等腰三角形时，求y的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）易证得，则，进而可得，过A作于M，根据等腰三角形的三线合一得，的长，再根据进而可求解．
（2）在和中，根据勾股定理得，，分类讨论：①当时；②当时；③当时，根据不同情况求得的值即可求解 ．
【详解】（1）解：过A作于M，
在中，
，
，
由勾股定理，得，
，
，
∵四边形是矩形，
，
；
，
易知，则，
∴，即，
．
（2）在中，
，，则 ，
在中，易知，即，
，
，
①当时，，即，；
此时；
②当时，，即，
解得：（舍去），；
此时；
③当时，，即，
解得：，（舍去）；
此时．
故当是等腰三角形时，y的值为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
4．在锐角中，，矩形的两个顶点，分别在上，另两个顶点均在上，高交于点，设的长为，矩形的面积为．
(1)求的长，并用含的式子表示线段的长；
(2)请求出关于的函数解析式；
(3)试求的最大值．
【答案】(1)；
(2)
(3)的最大值为6
【分析】（1）根据三角形的面积求出，证明，得出，即：，求出结果即可；
（2）先求出，证明四边形为矩形，得出，求出即可；
（3）根据二次函数的性质求出y的最大值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵为的高，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴．
（3）解：∵，
又∵，
∴当时，y有最大值，且最大值为6．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，求二次函数的最值，矩形的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
易错模型六：射影定理相似模型
【模型解读】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．

【例1】】（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADF＋∠FCB＝180°.
根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，
∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，
∠DFE＝∠EFC＝90°，
∴∠FDE＝∠FEC，
∴△DEF∽△ECF，
∴eq \f(EF,CF)＝eq \f(DF,EF)，
∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，
∴EF＝eq \r(15).故选A.
练习1、（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，
∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
故选：A．
练习2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
练习3、（2022秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【详解】证明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）点为的中点，
，
由（1）已证：，
，
设，则，，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又，
，
即；
（3）由（2）已证：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，设，则，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
则在中，．
1．如图，在中，于点，给出下面三个条件：
；
；
．
添加上述条件中的一个，即可证明是直角三角形的条件序号是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的判定方法依次判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】若，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故添加可以；
若，
∵，
∴，
则无法证明是直角三角形，故添加不一定可以；
若，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故添加可以；
综上可知，添加可证明是直角三角形，
故选：．
2．如图，是直角三角形，，且，，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，余角的性质．证明，得出，把，，代入计算即可求解．
【详解】解：∵是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：9．
3．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：① ② ③ ④

(1)自主探究：请证明结论③
己知：在中，是斜边上的高，求证：
(2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用三角形相似证明结论；
（2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设长为x，则，
根据射影定理可知，
即，
解得：，（舍去），
∴，
又∵，
∴．
4．如图，D是边上点，已知，，．

(1)求边的长；
(2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点．
（1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可．
（2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，即
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
易错模型七：旋转相似模型
【模型解读】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．

总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
【例1】】（2021秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（ ）
A．3B．2C．5D．
【答案】D
【分析】由“HL”可证Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性质可得∠IAH=∠AID，可证IH=AH，通过证明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解．
【详解】解：如图，连接AI，AC，
∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，
∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
在Rt△AGI和Rt△ADI中，
，
∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），
∴∠GAI＝∠DAI，
∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，
∴∠IAH＝∠AID，
∴IH＝AH，
又∵IH＝HC，
∴IH＝HC＝AH，
∴∠IAC＝90°，
∴∠DAI+∠DAC＝90°，
又∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAI＝∠DCA，
又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，
∴△ADI∽△CDA，
∴，
∴，
∴DI＝1，
∴CI＝ID+CD＝5，
∴IH＝IC＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
练习1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转90°，得到，连接，交于点，则的长为 ．

【答案】
【分析】过点作于点，利用勾股定理求得根据旋转的性质可证是等腰直角三角形，可得，再由，证明，可得即，再由，求得从而求得即可求解．
【详解】过点D作DF⊥AB于点F，
∵，
，

∵将绕点A逆时针方向旋转得到
是等腰直角三角形，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，即
∵，，
∴，
，
即，
又∵
，
，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
练习2．（2022秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1．

转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边于点E，F，连接，如图2．
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．
(1)______，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；
(2)线段之间的数量关系为______；
(3)连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点G、点H．如图3，求的值．
【答案】(1)（选取两个即可）．
(2)．
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得都是等腰三角形．由折叠可得，，即可得到，证明，则．又由得到，则都是等腰三角形．
（2）延长到T，使得，连接．证明，则．得到，证明，则．得到，即可得到结论．
（3）由四边形是正方形得到，．证明，则．
【详解】（1）如图1中，

图1
∵四边形是正方形，
∴，
∴都是等腰三角形．
由折叠可得：
，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴都是等腰三角形．
故答案为： （选取两个即可）．
（2）结论：．
理由：如图2中，延长到T，使得，连接．

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（3）如图3中，

∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
练习3．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图1，在中，，，过点A作直线，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点E，D．

操作探究：
（1）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A旋转，请探究线段的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转，与线段BC相交于点G，请再探究线段的数量关系并说明理由；
尝试应用：
（3）在图3中，延长线段交线段AC于点F，若，，求．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）；根据题意，利用“”证明，得出，即可得出结论；
（2）；根据题意，利用“”证明，得出，即可得出结论；
（3）在中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出，根据，算出，即可求出三角形的面积．
【详解】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：根据解析（2）可知，，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，平行线分线段成比例，根据题意证明，是解题的关键
1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得：＝，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．
2．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为 .
【答案】
【分析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANG∽ADM，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的长.
【详解】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，
∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，
∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，
∴△ANG∽ADM，
∴，
∵，
∴DF=EG=2,
∴DN=NG=1，
∵AD=AB=3，
∴，
解得：DM=，
∴MC=，AM=，
∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，
∴∠ADG=∠EDC，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠AMD=∠CMH，
∴∠ADM=∠CHM=90°，
∴△ADM∽△CHM，
∴，
即，
解得：CH=.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.
3．如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），或，．
【分析】（1）由题意：，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得，由此即可解决问题．
（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．
（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
，
，，
平分，平分的，
，，
，，
，
．
（2）解：延长交于点．
，
，
又∵，
，
，
，，
，
．
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，，
，
，
，
，
如图，过B点作BH⊥AE，
∵，AD平分∠BAC，
∴∠BAH=45°，
∴AH=BH，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②当时，即时，，
，
，
如解图（3）-2；过B点作BH⊥AE，
，分别是的内角的平分线，
∴，
∴BD=AD，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∴
综上所述，，或，．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果；
（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，
∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM=45°，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴AC=AB，
同理可得AF=，
∴，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴；
（3）∵DM=1，CM=2，
∴AD=CD=1+2=3，
∴AM=，
∵△MFC∽△MCA，
∴，即，
∴FM=，
∴AF=AM﹣FM=，
∴AF=，
即正方形AEFG的边长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．
易错模型八：k字型相似模型
【模型解读】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

【例1】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】看到点想位置，用角度刻画F在上的位置，再利用建立等量关系解得半径
【详解】解：连接OF，作FG⊥ OB于点G，过F作于H，
设半径为r，，
在中，，
∵，，
∴ ，
又，
∴ ，
∴ ，
由，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，，
在中，
因为解方程复杂，代入检验得：
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，首先要明确的一点是：△EDF的形状是确定的．D点在OB上的位置也是确定的，所以点F在弧AB上的位置以及点E在OA上的位置也是确定的，应当思考利用什么样的数量关系去刻画这两点的位置关系，而这恰恰是解题的关键．
练习1．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ．
【答案】2.4
【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即，
∵等边△ABC的边长为6 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：2.4
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
练习2．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）发生变化，．
证明：由（1）得，，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．
1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6B．－12C．－18D．－24
【答案】B
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，得出，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．
【详解】如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO，
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB，
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵，
∴，
∴CF＝2AE，OF＝2OE，
又∵AE•OE＝3，
∴CF•OF＝|k|＝4×3＝12，
∴k＝±12，
∵点C在第二象限，
∴k＝−12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF＝12．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
2．已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，同时平分和，
，，
在与中，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
3．如图，在正方形中，点在上，交于点．
（1）求证：；
（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）点E为AD的中点．理由见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出，即可得出DE=AE．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△ABE和△DEF中，
∴△ABE∽△DEF ；
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵△ABE∽△EBF，
∴，
∴，
∴DE=AE，
∴点E为AD的中点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．
4．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．
【分析】（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】解：（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
易错模型九：折叠相似模型
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
【例1】（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，

，
，
，
，
，
设，则，
由折叠可知，，，，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键．
练习1．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形中，，点P为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点A的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 ．

【答案】或
【分析】分两种情况：当点落在图①的位置时，当点若在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵点P在射线上运动，故分两种情况；
情况一：当点落在图①的位置时，由正方形可知，，因为点落在的垂直平分线上，故，由折叠可知，，
在中，由勾股定理可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故，
∴；

情况二：当点若在图②的位置时，由正方形可知，，
∵点落在的垂直平分线上，
∴，
由折叠可知，，
在中，由勾股定理可知，，
∴，
由折叠可知，，设，则，
在中，由勾股定理可得，，
即，
解得：，
即，
∴．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了一线三垂直模型、三角形相似应用、勾股定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，注意分类讨论．
练习2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线内错角相等和翻折前后对应角相等，等量代换即可证明；
（2）利用相似列出关系式，利用边的关系代入到关系式可求出．
【详解】（1）证明：点、关于线段对称，由翻折的性质可知：
，
是正方形，
，
，
（等量代换）．
（2）解：设，则，设，则．
在中，，
，
．即．
，
，
又，
，，
．
，，
整理得：，
．
．
【点睛】本题考查了翻折的性质以及相似三角的判定，勾股定理的应用，解题的关键是掌握一线三垂直的相似是本题突破口．
1．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，首先根据正方形的性质和勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后求出，然后证明出，得到，代数求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵边长为2的正方形的对角线相交于点，
∴
∴
∵将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，即
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质，解题的关键是正确作出辅助线．
2．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则 cm．
【答案】
【分析】由，可得，由菱形的性质与折叠可得，，过点E作于点G，设，则，，易证，得到，代入即可求出x的值，从而得到的长，进而在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】∵，，
∴，
由翻折可得：，
∴在菱形中，，
∵，
∴
∴在中，，
∵在菱形中，，
∴，
又由折叠有，且，
∴
过点E作于点G，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵在菱形中，，
又，
∴，
∴，即
解得：，
∴，，
∴在中，．
故答案为：
【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键．
3．如图1，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连接、、．
(1)求证：
(2)如图2，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点、不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．探究：当点、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)．理由见解析
【分析】（1）结合矩形与折叠性质，得两个对应角相等，证明；
（2）因为折叠性质，得则，证明，再进行线段的和差关系运算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
由折叠可得
∴
∴
（2）解：．
理由：如图，过点M作，交PB于点Q，
∴
由折叠可知
∴
∴
∴
又∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
4．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：．
应用拓展：
（2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长．

【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证；
（2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处，
∴，，
由（1）可知，，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键．
易错模型十：动态相似模型
动态相似问题，主要在于要学会根据点的位置进行分类讨论；动点问题都可以当作定点来考虑，即动点定点化，对动点进行逐点运动分析；
【例1】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是在以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在上截取，连接，，，证明，可得，则，当、、三点共线时，的值最小，求出即为所求．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，，
∵点、分别是边、的中点，点是在以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴的最小值等于．
故选：C．
【点睛】本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
练习1．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．

【答案】
【分析】如图，设交于点Q，设，.利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出（用k表示），可得结论．
【详解】解：如图，设交于点Q，设，

，
∴可以假设，，
点是的中点，
，
∵四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
，
，，
由翻折的性质可知，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
练习2．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）（1）特殊发现：
如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：
①______；
②直线与直线所夹的锐角等于______度；
（2）理解运用
将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

【答案】（1）①；②；（2）①成立，见解析；②；（3）是定值，3，见解析
【分析】（1）①连接，，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）①连接，，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
②连接，，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；
（3）过点作于点，连接，，，与交于点，利用折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：（1）①连接，，如图，
∵四边形和四边形为正方形，
∴，
∴B，F，D三点在一条直线上．
∵，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵B，F，D三点在一条直线上，，
∴直线与直线所夹的锐角等于45°．
故答案为：；
（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：
连接、，如图，
∵四边形和四边形为正方形，
∴，，
∴和为等腰直角三角形，
，，，
∴，，
∴，
∴；
延长，交于点，交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即直线与直线所夹的锐角等于，
∴（1）中的结论仍然成立；
②连接，，如图，

∵四边形为正方形，
∴．
由①知：，
∴．
∵边的中点为O，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）的值是定值，定值为3，理由：
过点作于点，连接，，，与交于点，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，，．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，

∴，，，
∴．
由（2）①的结论可得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
即：的值是定值，定值为3．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
1．如图，在中，，E是边上的动点，连接，过点E作交边交于点F、连接，当，，则的最小值是（ ）
A．9B．C．10D．
【答案】D
【分析】取中点O，连接，过点O作于点G，在中，，可知当点E与点G重合时，此时最小，即最小，由平行线分线段成比例定理知点G为中点，再由求出，最后在中，运用勾股定理即可．
【详解】解：如图，取中点O，连接，过点O作于点G，
∵，点O为中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点G为中点，
∵在中，，
∴当点E与点G重合时，此时最小，即最小，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∴最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用垂线段最短求最值，还考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及勾股定理的运用．正确添加辅助线，利用转化思想是解决本题的关键．
2．如图，等边中，，为的中点，点为射线上一动点，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则 ．
【答案】3或5
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质．分两种情况，当点在线段上时，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出；当点在线段的延长线上时，证明，得出比例线段，可求出，则可得出．
【详解】解：当点在线段上时，如图1，
，
，
为的中点，
∴，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图2，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
．
综合以上可得的长为3或5．
故答案为：3或5．
3．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．
(1)当动点运动时间 秒时，与相似．
(2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
【答案】(1)或
(2)当时，秒．理由见解析．
【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间．
（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间．
【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
1）当，即时，

；
，即，
．
２）当，即时，

，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
（2）如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；


，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
4．已知：矩形中，动点在边上（不与点重合），交于点，连接．
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若，动点在移动过程中，设的长为的长为，
①则与之间的函数关系式为______；
②线段的最大值为______．
【答案】(1)见详解
(2)①②
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、二次函数的最值性
（1）先根据证明，再证明即可；
（2）①证明，得即可，②根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①设的长为的长为，则，
由（1）得，，
，
，
，
；
故答案为：；
②当时，有最大值，最大值为．
即线段的最大值为．
故答案为：．