考前必刷05 圆的方程（考题猜想）-【中职专用】高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

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1. 圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】根据题意，圆心为，半径
圆的标准方程为；
故选：B．
2．已知点，，，则外接圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将A,B,C三点画在坐标系中，根据三角形外接圆圆心到各顶点距离相等，可得外接圆的圆心，进而求解.
【详解】如图所示，易得外接圆的圆心为M(-3,0),
∴半径=5,
∴圆的方程为：
3．圆的圆心、半径是（ ）
A．，4B．，2C．，4D．，2
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程的性质求解．
【详解】圆的圆心为半径
故选：D
4. 圆的半径为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】将圆方程化为标准方程，可得半径．
【详解】圆变形为，
所以圆的半径为2．
故选：C．
5 . 已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（ ）
A．，3B．，3C．，3D．，9
【答案】A
【分析】
将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.
【详解】变形为，
故圆心为，半径为3.
故选：A
6. 已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据圆关于直径对称来求.
【详解】因为圆的圆心为
又因为圆关于直线对称，即，所以
故选：B
7. 点P（0，1）与圆位置关系是（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．不确定
【答案】B
【分析】将点代入圆方程即可得出.
【详解】将点代入圆方程可得，
故点在圆上.
故选：B.
8. 圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】C
【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系
【详解】圆心为，半径
圆心到直线的距离为
所以直线与圆相离
故选：C
9. 经过圆上一点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由过切点的半径与切线垂直求出切线斜率，可得切线方程．
【详解】由题意圆心为，，所以切线斜率为，
切线方程为，即．
故选：D．
10. 直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解.
【详解】圆的标准方程为，
由此可知圆的半径为，圆心坐标为，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
故选：D.
二、填空题
11. 已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ．
【答案】
【分析】根据圆的标准方程求解即可.
【详解】已知圆心为，半径，
则圆的标准方程为：.
故答案为：.
12. 若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，求出圆的半径，写出圆的标准方程.
【详解】由已知得，圆的半径
所以，该圆的标准方程为
故答案为：.
13. 已知的三个顶点分别为，则外接圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】设出圆的标准方程，待定系数法求解即可.
【详解】设的外接圆标准方程为，
将代入得：，
解得：，故圆的标准方程为.
故答案为：
14. 圆的半径为 ．
【答案】
【分析】将圆的一般式方程化为标准式，即可得到半径.
【详解】因为圆，即
即
故答案为:.
15. 圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】先将方程化为圆的一般方程，配方后可得圆的标准方程.
【详解】将方程化为圆的一般方程：，
配方后可得：，
所以圆的标准方程为
故答案为：
16. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为点在圆的内部，
所以，解得，
故答案为：
17. 直线与圆的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”、“相离”）
【答案】相交
【分析】根据圆心到直线的距离与半径作比较，当，相离；当，相切；当，相交，由此即可判断．
【详解】由圆的方程，则圆心为，半径；
由，则，
圆心到直线的距离

所以直线与圆相交．
故答案为相交
18. 圆的过点的切线方程为 .
【答案】
【分析】因为点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.
【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上,则,则切线的斜率,则切线的方程为,变形可得;
故答案为:
19．已知圆，过点作该圆的切线，则切线的斜率为 .
【答案】
【解析】设切线方程为，利用圆心到直线的距离为半径可求的值．
【详解】切线的斜率必存在，设其斜率为，
则切线方程为即．
故圆心到切线的距离为，整理得到，
故．
故答案为：．
20．直线与圆相交于，两点，则 .
【答案】6
【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆的半径，利用弦长公式求得弦长．
【详解】由圆，可得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故弦长．
故答案为：6．
三、解答题
21．下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是
(2)答案见解析
【分析】利用圆的标准方程，需要，对（1）、（2）进行判断.
【详解】（1）圆的标准方程为，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R半径为r(r>0).
因为-5<0，所以方程不是圆的方程.
（2）圆的标准方程为，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R，半径为r(r>0).
当k>0时，方程表示圆心为(-1，1)，半径为的圆的方程；
当k=0时，方程表示点(-1，1)，不表示圆的方程；
当k<0时，方程无解，不表示圆的方程.
22．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【解析】以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为eq \f(x,7)＋eq \f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0，圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝eq \f(28,\r(42＋72))＝eq \f(28,\r(65))，因为eq \f(28,\r(65))>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．
23．求经过三点的圆的方程．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，用待定系数法求解即可.
【详解】设圆的方程为，
则，
∴圆的方程为：，即.
24. 判断下列直线与圆C：（x–1）2+（y–1）2=1的位置关系，若相交，则求出交点坐标．
（1）x–y–2=0；（2）x+2y–1=0．
【答案】（1）直线与圆相离；（2）直线与圆相交，交点坐标分别为（1，0），（，）．
【分析】(1)可得圆的圆心为圆心为（1，1），半径为r=1，利用圆心到直线的距离与半径比较可得答案.(2)直线与圆联立求出交点坐标.
【详解】已知圆的圆心为C（1，1），半径长r=1．
（1）点C到直线x–y–2=0的距离为d1=．
又r=1，所以d1>r，可知直线与圆相离．
（2）联立得方程组．
由①可知x=–2y+1．代入②，得（–2y+1–1）2+（y–1）2=1，化简得5y2–2y=0．
解此一元二次方程，得y=0或y=，所以或．
故直线与圆相交，交点坐标分别为（1，0），（，）．
25．圆的圆心坐标为，且过点
（1）求圆的方程；
（2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长．
【答案】（1）；（2）直线与圆相交；.
【解析】（1）由圆心、圆上点坐标求半径，进而写出圆的方程；
（2）由点线距求到直线距离，可知直线与圆相交，进而应用几何法求弦长即可.
【详解】（1）圆的半径．故圆的方程为．
（2）圆心到直线的距离，即，直线与圆相交，可知弦长为．
26. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.