河北省石家庄市部分学校2024届高三上学期一调考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省石家庄市部分学校2024届高三上学期一调考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．集合( )
A.B.C.D.
2．当时，复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．若非零向量与满足，且，则为( )
A.三边均不等的三角形B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形D.等边三角形
4．“”的一个充分条件是( )
A.B.C.D.
5．如图，平行四边形中，M为中点，与相交于点P，若，则( )
A.1B.C.D.2
6．已知为第三象限角，则( )
A.B.C.D.
7．已知，不等式恒成立，则实数m取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为( )
A.0B.10C.16D.18
二、多项选择题
9．已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A.B.若，则
C.D.若，则的最小值为1
10．G是的重心，,,，P是所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A.
B.在方向上的投影向量等于
C.
D.的最小值为
11．已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是( )
A.是其中一个对称中心B.
C.在上单调递增D.
12．若，，且，则( )
A.B.
C.D.的最大值为e
三、填空题
13．已知平面向量，，若与垂直，则实数________.
14．已知则的最大值为
15．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是________.
16．已知正项数列的前n项和为，若，，数列的前n项和为，则下列结论正确的是________.
①；②是等差数列；③；④满足的n的最小正整数为10.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，且满足,.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和.
18．如图①，在中，为边上的高，，，，，求的值；
（2）如图②，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C，若D，E分别为线段，的中点，当C在圆弧上运动时，求的取值范围.
19．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为A，圆与x轴正半轴的交点是.若圆C上一动点从开始，以的角速度逆时针做圆周运动，t秒后到达点P.设.
（1）若且，求函数的单调递增区间；
（2）若，，求.
20．某城市受空气污染影响严重，现欲在该城市中心P的两侧建造A,B两个空气净化站（如图，A,P,B三点共线），A,B两站对该城市的净化度分别为a,，其中.已知对该城市总净化效果为A,B两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心P到净化站之间的距离成反比.现已知，且当时，站对该城市的净化效果为，B站对该城市的净化效果为.
（1）设,，求A,B两站对该城市的总净化效果y；
（2）无论A,B两站建在何处，若要求A,B两站对该城市的总净化效果至少达到，求a的取值范围.
21．已知平面四边形,,.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.问题：
（1）求角B；
（2）若，求的周长的取值范围；
22．已知数列满足，且.数列满足，的前n项和为.
（1）判断数列是否为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：由，可得，又，
所以集合.
故选：C
2．答案：A
解析：
因为，所以
所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A
3．答案：C
解析：，
的角平分线与BC垂直，
，
，
则是顶角为的等腰三角形，
故选：C.
4．答案：A
解析：由可知，，，，故是的而一个充分条件；
由可得到，不妨取，，推不出，故B错误；
由，比如取，，满足，推不出，故C错误；
由，比如取，，满足，推不出，故D错误；
故选：A
5．答案：B
解析：因为平行四边形中，M为中点，与相交于点P，
所以，
所以，又，
所以，.
故选：B.
6．答案：A
解析：因为，所以.又因为为第三象限角，所以.所以
.
故选：A
7．答案：D
解析：当时，即，
，
，
即，
令，
对称轴为，
当，即时，在上单调递增，
，
只要即可，
解得，
.
当时，，
只要即可，
解得，
，
当时，.
当时，，
，
解得，
只要即可，
解得.
综上：.
故选：D.
8．答案：D
解析：
，
由，可得，当时，，
故函数的图象关于点对称，
由等差中项的性质可得，
所以，数列的前9项和为.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：对于A，设，则，故A正确；
对于B，令，满足，故B错误；
对于C，设，，则
，所以，故C正确；
对于D，设，则，
即，表示以为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.
故选：ACD
10．答案：ACD
解析：对于A，当点G为的重心时，
如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.
则，A正确；
对于B，在方向上的投影为，
在方向上的投影向量为，B错误；
对于C，G是的重心，
，，
，所以，C正确；
对于D，如下图，
取的中点D，连接,，取中点M，连接，则，，
，则
，显然当P,M重合时，，取最小值，D正确.
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：因为在内单调递减，关于对称，
所以当时，取得最小值，
所以①，
且，可得，所以，
因为，所以，
且和在同一个单调递减区间，
所以②，
两式相减可得：，所以，
所以，
因为，所以，，可得，
对于A：由可得：，所以是其中一个对称中心，故选项A正确；
对于B：由计算可知：，故选项B不正确；
对于C：令，得
所以在单调递增，在上单调递减，故选项C不正确；
对于D.：，故选项D正确，
故选：AD.
12．答案：ABD
解析：对于A，因为在单调递减，在单调递增，所以，选项A正确；
对于B，因为，所以有，于是，当且仅当时，等号成立，选项B正确；
对于C，，设，所以在单调递减，在单调递增，
所以，选项C错误；
对于D，设，所以，所以，选项D正确.
13．答案：1
解析：因为与垂直，所以，即，，解得.
故答案为：1
14．答案：
解析：由柯西不等式，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；
②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即
，解得；
③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即
，解得；
由①②③可知，实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．答案：②③④
解析：对于②，因为，当时，，解得，
当时，，所以，整理得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，故②正确.
对于①，，又正项数列的前n项和为，所以，
当时，，当时，，即，
又当时，满足，所以，
又，因为，
所以，即，故①不正确；
对于③，令，，当时，恒成立，
所以在区间上单调递增，所以，即，
所以在上恒成立，
令（，），所以，又，故，故③正确；
对于④，因为，所以，
所以，
所以
，
因为，即，化简整理得，
显然数列递增，当时，；
当时，，所以满足的n的最小正整数为10，故④正确.
故答案为：②③④.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
因为,.
所以，
所以，，
所以；
（2）由题意可知，
所以①，
②，
①②得，
，
，
，
.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，所以，，
所以，
又，，，
故由余弦定理可得，则，
又，所以，所以，
所以.
（2）以O为原点，为x轴，反方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，
设，，则，，
所以，
因为，则，所以，
所以.
19．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由已知条件和三角函数的定义得，，
则
当，则
令（），解得（）
又，，的单调递增区间为.
（2）由，，得，
即，，
，
.
20．答案：（1），；
（2）
解析：（1）设A站对P城市的净化效果为，比例系数为，则，
由题意：当时，，即， ，
设B站对P城市的净化效果为，比例系数为，则，
由，，即，，
A，B两站对该城市的总净化效果，.
（2）由题意得对恒成立，只要时即可；
又
，
当且仅当即时等号成立，
则，
令，即，
则，即，
综上，无论A，B两站建在何处，若要求A，B两站对P城市的总净化效果至少达到，a的取值范围为.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）选择①：，即，
由正弦定理得，
在中，，，，
又，且，，，所以；.
选择②：
由三角形面积公式及数量积的运算知，即.
在中，，，，
又，且，，，所以；.
选择③：，即
所以.
在中，，所以.
（2）因为，，所以A，B，C，D四点共圆，为直径，
所以的外接圆直径为2.，
由正弦定理得：，所以
设，
在中，.
在中，
，，
所以三角形的周长范围为
22．答案：（1）是，；
（2）证明见解析﹒
解析：（1）因为，
所以，
则.
所以，
又，所以，
故数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
得.
（2）由（1）可得，所以.
当时，.
当时，.
所以
.