新高考数学一轮复习知识总结 空间向量与立体几何（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习知识总结 空间向量与立体几何（含解析），共16页。

空间向量与立体几何
空间向量及其运算
空间向量在立体几何中的应用
空间向量的线性运算
空间向量的基本定理
两个向量的数量积
空间向量的直角坐标运算
共线向量定理
共面向量定理
空间向量分解定理
平行与垂直的条件
直线的方向向量与直线的向量方程
平面的法向量与平面的向量表示
直线与平面的夹角
二面角及其度量
距离

要点一：空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段表示， SKIPIF 1 < 0 叫作起点， SKIPIF 1 < 0 叫作终点；
一种是用小写字母 SKIPIF 1 < 0 （印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．
向量的夹角：过空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 作向量 SKIPIF 1 < 0 的相等向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 叫作向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角，记作 SKIPIF 1 < 0 ，规定 SKIPIF 1 < 0 ．如图：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
平行于记作，此时． SKIPIF 1 < 0 =0或 SKIPIF 1 < 0 =．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量，我们把 SKIPIF 1 < 0 叫作向量的单位向量，记作 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 与同向．
（4）当 SKIPIF 1 < 0 =0或时，向量平行于，记作；当 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 时，向量 SKIPIF 1 < 0 垂直，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
要点二：空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
要点三：空间向量基本定理
共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数 SKIPIF 1 < 0 ，使．
要点诠释：
（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．
（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
如果三个向量 SKIPIF 1 < 0 不共面，那么对空间任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在一个唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点四：空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若，，则
①；
②；
③ SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
空间向量运算的的坐标运算
设，，则
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
⑥ SKIPIF 1 < 0 ．
空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，；
②．
要点诠释：
（1）空间任一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标的确定：
过 SKIPIF 1 < 0 作面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，在面 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是．
（３）与任意空间向量平行或垂直．
要点五：用向量方法讨论垂直与平行

要点诠释：
（１）直线的方向向量：若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的任意两点，则为直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．



要点六：用向量方法求角
要点诠释：
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。
②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。
要点七：用向量方法求距离
要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．
（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．
（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
要点八：立体几何中的向量方法
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）
3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）
用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤
1．建立适当的空间直角坐标系；
2．写出相关点的坐标及向量的坐标；
3．进行相关的计算；



类型1 利用空间向量证明线、面位置关系
空间中的线、面位置关系的证明问题主要包含两类，即平行与垂直．平面问题包括线线平行、线面平行、面面平行；垂直问题包括线线垂直、线面垂直和面面垂直．利用向量法解决位置关系问题，实际上是将复杂的几何问题转化为代数问题解决，突出了向量这一工具的便捷性，在高考中，若能将向量方法融入到立体几何的线、面位置关系的证明中，将会使问题的解答过程更加简捷明了．
例1 如图，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证：、
A
B
C
D
M
N
P
（1） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；（2）平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
分析：结合已知条件 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标．（1）利用向量共面的充要条件将 SKIPIF 1 < 0 用平面 SKIPIF 1 < 0 中两个不共线向量线性表示即可得证；（2）先分别求出平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，再证两法向量垂直即可．
证明：如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ．
y
z
A
B
C
D
M
N
P
x
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1），知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．解得 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．设平面的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
得 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
解后反思：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
（2）证明线面平行的方法；
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明平面内存在一个向量与已知直线的方向向量共线；
（3）证明面面平行的方法：
①转化为线线平行或线面平行处理；
②证明两个平面的法向量是共线向量．
（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．
（5）证明线面垂直的方法：
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
（6）证明面面垂直的方法：
①转化为线线垂直或线面垂直处理；
②证明两个平面的法向量互相垂直．
类型2 利用空间向量求空间角
空间角包括：异面直线所成的角（线线角）、直线与平面所成的角（线面角）、二面角（面面角）．用向量法求空间角，把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度，是近年来高考的一个方向．
例2 如图①，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的高，沿 SKIPIF 1 < 0 把 SKIPIF 1 < 0 折起，得如图3-3②所示的三棱锥，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
D
C
B
A
①
A
B
C
D
E
②
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
分析：（1）先确定图形在折起前后不变的量，如角的大小不变，线段长度不变、线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．
（1）证明：因为折起前 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的高，所以当 SKIPIF 1 < 0 折起后， SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由 SKIPIF 1 < 0 及（1），知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直．不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图3-4所示的空间直角坐标系，
x
y
z
A
B
C
D
E
图3-4
易得 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ．
解后反思：求一对异面直线所成的角的方法：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种方法，都应注意对异面直线所成角的范围的限定．
例3如图，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，得到如图3-6所示的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值．
B
C
D
E
•O
A
B
C
D
E
O
SKIPIF 1 < 0
分析：（1）用勾股定理可证 SKIPIF 1 < 0 ，从而证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．
（1）证明：由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ．
B
C
D
E
O
SKIPIF 1 < 0
图3-7
图3-8
H
B
C
D
E
O
SKIPIF 1 < 0
如图3-7，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．由翻折不变性，知 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．同理可证 SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：方法1：如图3-8，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角．结合图3-5可知． SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
方法2：以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图3-9所示（ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点）．
F
x
y
z
图3-9
B
C
D
E
O
SKIPIF 1 < 0
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．由（1），知 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解后反思：求二面角的大小时，也可以先作出垂直于棱的两个向量，再转化为求这两向量的夹角，但应注意此时两向量的起点应在二面角的棱上．
例4在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
A
B
C
D
M
分析：（1）根据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线重起；（2）利用（1）的结论，先建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．
（1）证明：因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 ，如图3-11所示．
图3-11
E
x
y
z
A
B
C
D
M
由（1），知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图3-11所示．依题意，得 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得平面的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ．设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解后反思：求直线与平面所成的角的方法：
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的斜线， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，则 SKIPIF 1 < 0 ．
类型3 利用空间向量求距离
求距离是一类常见的题型，是近几年高考的一个热点．常见的距离问题有：点点距、点线距、点面距、线距、线面距、面面距，其中求线面距、面面距及多面体的体积也常转化为求点到面的距离问题．用向量法求点面距的具体步骤为：
（1）求出该平面一个法向量；
（2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
（3）先求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模．
例5 如图，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点．求：
（1）点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离； （2）直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
A
B
C
D
E
F
P
分析：（1）根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标．利用距离 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为过点 SKIPIF 1 < 0 的向量， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量）来求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离时，根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，转化为点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
解：如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．
x
y
z
A
B
C
D
E
F
P

（1） SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．由（1），知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
解后反思：两点间距离一般利用向量模求解，即利用两点间的距离公式，而点面距主要利用平面的法向量求解，有时也利用等体积转化法求解．运算类型
几何方法
运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则：
SKIPIF 1 < 0
加法交换率：
SKIPIF 1 < 0
加法结合率：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2三角形法则：
SKIPIF 1 < 0
向
量
的
减
法
三角形法则：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
向
量
的
乘
法
SKIPIF 1 < 0 是一个向量，满足：
SKIPIF 1 < 0 >0时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向；
SKIPIF 1 < 0 <0时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异向；
SKIPIF 1 < 0 =0时， SKIPIF 1 < 0 =0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
向
量
的
数
量
积
1． SKIPIF 1 < 0 是一个数： SKIPIF 1 < 0 ；
2． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图示
向量证明方法
线线平行
（ SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量）
线线垂直
（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量）
线面平行
（ SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是直线的方向向量， SKIPIF 1 < 0 是平面的法向量）．
线面垂直
（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是直线的方向向量， SKIPIF 1 < 0 是平面的法向量）
面面平行
（ SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ）
（ SKIPIF 1 < 0 分别是平面，的法向量）
面面垂直
（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是平面，的法向量）
图示
向量证明方法
异面直线所成的角
（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点）
直线和平面的夹角
（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
二面角
SKIPIF 1 < 0
（平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ）
图示
向量证明方法
点到平面的距离
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的公共法向量）
两平行平面间的距离
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一个公共法向量）