湘豫名校联考2023-2024学年高三下学期第四次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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数学
注意事项：
1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ）
A. 1B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆与矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5，0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，，和，分别是函数图象的两个最低点和两个最高点，若四边形的面积为，且在区间上是单调函数，则实数的最大值是（ ）

A. B. C. D.
7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 中国古代建筑中重要的构件之一——柱（俗称“柱子” 多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用榫卯拼合而成．宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为，外部八根小圆木的直径均为，所有圆木的高度均为，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（ ）

A. B.
C. 3D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为实数，随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知四棱锥的底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，且，E，F，G分别为PB，PD，BC的中点，点Q是线段PA上靠近点P的四等分点，则（ ）
A. 平面PCD
B. 直线FG与AB所成的角为30°
C.
D. 经过E，F，G的平面截四棱锥所得到的截面图形的面积为
11. 已知抛物线，点为上一点，直线l与交于B，C两点（异于A点），与x轴交于M点，直线AC与AB的倾斜角互补，则（ ）
A. 线段BC中点的纵坐标为
B. 直线l的倾斜角为
C. 当时，M点为的焦点
D. 当直线l在y轴上的截距小于3时，△ABC的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为______．
13. 设是各项均为正数等比数列的前n项和，若，则______．
14. 已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，△ABC的面积为，求b．
16. 如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，．

（1）证明：平面平面；
（2）设，，若平面与平面夹角余弦值为，求实数的值．
17. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，第次抛掷落地时朝上的点数记为，．
（1）若，记出现为奇数的次数为，求随机变量的分布列和期望；
（2）若，求事件“”的概率．
18. 已知为坐标原点，双曲线左、右焦点分别为，，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且，内切圆的圆心到轴的距离为．
（1）求的标准方程；
（2）（ⅰ）设点为上一点，试判断直线与C的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）设过点直线与交于，两点（异于的两顶点），在点，处的切线交于点，线段的中点为，证明：，，三点共线．
19. 在平面直角坐标系中，定义：如果曲线和上分别存在点，关于轴对称，则称点和点为和的一对“关联点”．
（1）若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程和的最小值；
（2）若上任意一点的“关联点”为点，求的最大值；
（3）若和在区间上有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围．