辽宁省沈阳皇姑区六校联考2023-2024学年数学八年级第一学期期末学业水平测试试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳皇姑区六校联考2023-2024学年数学八年级第一学期期末学业水平测试试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了若，则点在第象限，下列各式中,正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )
A．B．C．D．
2．师徒两人做工艺品，已知徒弟每天比师傅少做6个，徒弟做40个所用的时间与师傅做60个所用的时间相同．如果设徒弟每天做x个，那么可列方程为（ ）
A．B．C．D．
3．为了说明“若a≤b,则ac≤bc”是假命题， c的值可以取（ ）
A．B．0C．1D．
4．如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则点(x，y)在第( )象限．
A．四B．三C．二D．一
6．下列各式中,正确的是（ ）
A．=±4B．±=4C．D．= - 4
7．若实数x,y,z满足，则下列式子一定成立的是（ ）
A．x+y+z=0B．x+y-2z=0C．y+z-2x=0D．z+x-2y=0
8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
9．已知一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）
A．-1B．-2C．0D．2
10．如图，已知，，与交于点，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①、②和③
11．已知是关于x、y的方程4kx﹣3y=﹣1的一个解，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
12．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，顶点B为（﹣4，0），顶点C为（1，0），将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，再将△A1B1C1关于直线x＝2（即过（2，0）垂直于x轴的直线）轴对称变换得到△A2B2C2，再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4…，按此规律继续变换下去，则点A10的坐标为_____．
14．若关于x的分式方程＋2无解，则m的值为________．
15．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC的最小值为__________．
16．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是_____．
17．如图，在平面直角坐标系中，己知点，.作，使与全等，则点坐标为_______________．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=15，BD:CD=3:2，则点D到AB 的距离是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+1．
20．（8分）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是： ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．
（3）在（2）的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
21．（8分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．

（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则________________；
②如图3，平分，平分，若，，求的度数；
③如图4，，的等分线相交于点，，，，若，，求的度数．
22．（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
23．（10分）画图
（1）请你把先向右平移3格得到，再把绕点顺时针旋转得到.
（2）在数轴上画出表示的点．
24．（10分）解不等式组．
25．（12分）对于两个不相等的实数心、，我们规定：符号表示、中的较大值，如：.按照这个规定，求方程(为常数，且)的解．
26．小江利用计算器计算15×15，1×1，…，95×95，有如下发现：
15×15＝21＝1×2×100+1，
1×1＝61＝2×3×100+1
35×35＝121＝3×4×100+1，
小江观察后猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：（a×10+5）2＝a（a+1）×100+1．但这样的猜测是需要证明之后才能保证它的正确性．请给出证明．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．
【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；
直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；
因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
2、A
【分析】根据题目中数量关系徒弟做40个所用的时间与师傅做60个所用的时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
3、A
【分析】若是假命题，则成立 ，所以
【详解】
选A
【点睛】
掌握原题的假命题，并证明假命题的成立所需要的条件，并利用不等式的变号法则来求证
4、C
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【详解】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=25°，∠F=30°，
∴∠BEF=∠1+∠F=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEF=55°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．
5、D
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出点所在的象限．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则点（1，1）在第一象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，以及非负数的性质，点的坐标，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
6、C
【分析】根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可．
【详解】A、，此项错误
B、，此项错误
C、，此项正确
D、，此项错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
7、D
【解析】∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=1，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=1，
∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=1，∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=1，∴（x+z﹣2y）2=1，
∴z+x﹣2y=1．故选D．
8、A
【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．
【详解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9、D
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴b>0，
∴四个选项中只有2符合条件.
故选D.
【点睛】
此题考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握其性质.
10、D
【分析】按照已知图形，证明，得到；证明，证明，得到，即可解决问题；
【详解】如图所示，
在△ABE和△ACF中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在△CDE和△BDF中，
，
∴，
∴DC=DB，
在△ADC和△ADB中，
，
∴，
∴．
综上所述：①②③正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，准确判断是解题的关键．
11、A
【解析】试题解析：∵是关于x、y的方程4kx-3y=-1的一个解，
∴代入得：8k-9=-1，
解得：k=1，
故选A．
12、B
【解析】试题解析：实际每天生产零件x个,那么表示原计划每天生产的零件个数，
实际上每天比原计划多生产5个，
表示原计划用的时间-实际用的时间=10天，
说明实际上每天比原计划多生产5个，提前10天完成任务.
故选B.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（15.5，2.5）
【分析】根据对称性质可得点的坐标变化规律，由此即可求解．
【详解】解：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，
顶点B为(﹣4，0)，顶点C为(1，0)，
∴BC＝5
∴A(﹣1.5，2.5)
将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，
∴A1 (1.5，2.5)
再将△A1B1C1关于直线x＝2轴对称变换得到△A2B2C2，
∴A2 (2.5，2.5)
再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，
∴A3 (5.5，2.5)
再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4，
∴A4 (6.5，2.5)
…
按此规律继续变换下去，
A5 (8.5，2.5)，
A6 (9.5，2.5)，
A7 (11.5，2.5)
则点A10的坐标为(15.5，2.5)，
故答案为：(15.5，2.5)．
【点睛】
本题考查了规律型点的坐标，解决本题的关键是掌握对称性．注意在寻找规律的过程中需要多写出几个点A的坐标．
14、1
【解析】分析：把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
详解：
去分母得：x﹣2=m+2（x﹣3），整理得：x=4﹣m．
∵原方程无解，得到x﹣3=0，即x=3，∴4﹣m=3，解得：m=1．
故答案为1．
点睛：本题的关键是让学生理解分式方程无解就是分母等于0，同时要求学生掌握解分式方程的方法，以及转化思想的运用．学生在去分母时，不要忽略分母为1的项也要乘以最简公分母．
15、
【解析】根据题意作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CP+EP=CM，根据垂线段最短得出CP+EP≥，即可得出答案．
【详解】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EP，过C作CN⊥AB于N，
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，
∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，
∴CN==，
∵E关于AD的对称点M，
∴EP=PM，
∴CP+EP=CP+PM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CP+EP≥，
即CP+EP的最小值是，
故答案为.
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性．
16、
【分析】由直线点的特点得到，分别可求OA1＝OC1＝1，C1A2＝，C2A3＝，……，从而得到正方形边长的规律为Cn﹣1An＝，即可求正方形面积．
【详解】解：直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A₁（1，0），与y轴交于点D（0，﹣2），
∴，
∵OA1＝OC1＝1，
∴A1B1C1O的面积是1；
∴DC1＝3，
∴C1A2＝，
∴A2B2C2C1的面积是；
∴DC2＝，
∴C2A3＝，
∴A3B3C3C2的面积是；
……
∴Cn﹣1An＝，
∴正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是平面直角坐标系中有规律的点的坐标与图形的探索问题，列出前面几步的数据找到点或图形的变化规律是解答关键.
17、（1,0）、（1,2）、（﹣1,2）
【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出满足要求图形，即可得出答案．
【详解】如图所示，
有三个点符合要求，
∵点A（0,2），点B（﹣1,0）
∴AO＝2，BO＝1
∵△AOB≌△AOC
∴AO＝AO＝2，BO＝CO＝1
∴C₁（1,0）、C₂（1,2）、C₃（﹣1,2）
故答案为：（1,0）、（1,2）、（﹣1,2）
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质：两三角形全等，对应边相等和点到坐标轴的距离与点的坐标的关系：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关．掌握这些知识点是解题的关键．
18、6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据比例求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD．
【详解】过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=15，BD:CD=3:2，
∴
∵，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=6.
故答案为6.
【点睛】
考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）m＝﹣3，n＝﹣5；（2）x3+5x2+8x+1=（x+1）（x+2）2．
【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；
（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+1，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
【详解】（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+1，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝1，b＝1，
所以x3+5x2+8x+1＝（x+1）（x2+1x+1），
＝（x+1）（x+2）2．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
20、（1）AD=BE．（2）成立，见解析；（3）∠APE=60°．
【分析】（1）直接写出答案即可．
（2）证明△ECB≌△ACD即可．
（3）由（2）得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论，借助内角和定理即可解决问题．
【详解】解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
故答案为AD=BE．
（2）AD=BE成立．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴BE=AD．
（3））∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．
如图2，设BE与AC交于Q，
由（2）可知△ECB≌△ACD，
∴∠BEC=∠DAC
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
21、（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；详见解析（2）①50°②85°③50°
【分析】（1）首先连接AD并延长，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值．
②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根据∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，即可求出∠DCE的度数．
③设，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出∠A的度数．
【详解】解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：
如图（1），连接AD并延长．
图1
根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°，
故答案为50°；
②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∴∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
=45°+40°=85°；
③设，．
则，，
则，
解得
所以
即的度数为50°．
【点睛】
此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
22、（1）；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润.
【解析】（1）利润y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元．
（2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y最大．
【详解】（1）.
（2）由题意得：，解得.
又因为，所以.
由（1）可知，，所以的值随着的增加而减小.
所以当时，取最大值，此时生产乙种产品（吨）.
答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润.
【点睛】
这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．
23、（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】（1）先根据平移的性质画出，再根据旋转的性质画出点，然后顺次连接点即可得；
（2）先将表示3的点记为点A，将表示2的点记为点B，将原点记为点O，再过点A作数轴的垂线，然后以点A为圆心、AB长为半径画弧，交AC于点D，最后连接OD，以点O为圆心、OD长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点P即可得．
【详解】（1）先根据平移的性质画出，再根据旋转的性质画出点，然后顺次连接点即可得，如图所示：
（2）先将表示3的点记为点A，将表示2的点记为点B，将原点记为点O，再过点A作数轴的垂线，然后以点A为圆心、AB长为半径画弧，交AC于点D，最后连接OD，以点O为圆心、OD长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点P，则点P即为所作，如图所示：
【点睛】
本题考查了平移与旋转作图、勾股定理的应用，熟练掌握平移和旋转的性质、勾股定理是解题关键．
24、不等式组的解为x≤-1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来，即可得不等式组的解集．
【详解】解：
由①得x≤-1，
由②得x＜1，
把①，②两个不等式的解表示在数轴上，如下图：
∴不等式组的解为x≤-1．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25、x＝﹣1或
【分析】利用题中的新定义，分a＜3与a＞3两种情况求出方程的解即可．
【详解】当a＜3时， ，即
去分母得，2x－1＝3x
解得：x＝﹣1
经检验x＝﹣1是分式方程的解；
当a＞3时，，即
去分母得，2x－1＝ax
解得：
经检验是分式方程的解．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，关键是掌握解分式方程的步骤：去分母、解方程、验根、得出结论．
26、见解析
【分析】根据完全平方公式将左边展开，再将前两项分解因式即可得证．
【详解】解：左边
右边，
．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键是掌握完全平方公式和因式分解的能力．