2025年高考数学一轮复习-重难专攻（八）圆锥曲线中的最值（范围）问题-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-重难专攻（八）圆锥曲线中的最值（范围）问题-专项训练【含解析】，共7页。试卷主要包含了已知抛物线T，已知椭圆C，已知抛物线M，已知F1,F2分别为椭圆E，设直线AB的斜率为k,等内容，欢迎下载使用。

1.(10分)(2024·海口模拟)已知抛物线T:y2=2px(p>0),点F为其焦点,直线l:x=4与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点,S△OMN=86.
(1)求抛物线T的方程;
(2)过x轴上一动点E(a,0)(a>0)作互相垂直的两条直线,与抛物线T分别相交于点A,B和C,D,点H,K分别为AB,CD的中点,求|HK|的最小值.
2.(10分)(2024·深圳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,且点(4,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若经过定点(0,-1)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,记椭圆的上顶点为M,当直线l的斜率变化时,求△MPQ面积的最大值.
3.(10分)(2024·毕节模拟)已知抛物线M:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)的直线与抛物线M交于A,B两点,点A在第一象限,O为坐标原点.
(1)设P为抛物线M上的动点,求|OP||FP|的取值范围;
(2)记△AOB的面积为S1,△BOF的面积为S2,求S1+S2的最小值.
4.(10分)(2024·湛江模拟)已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆E的离心率为12,过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A,B两点,△F1AB的周长为8.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过F1且与l垂直的直线l'与椭圆E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
圆锥曲线中的最值（范围）问题-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:40分)
1.(10分)(2024·海口模拟)已知抛物线T:y2=2px(p>0),点F为其焦点,直线l:x=4与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点,S△OMN=86.
(1)求抛物线T的方程;
【解析】(1)直线方程为x=4,将其代入抛物线可得y=±22p,
由已知得S△OMN=12×4×42p=86,解得p=3,故抛物线T的方程为y2=6x.
(2)过x轴上一动点E(a,0)(a>0)作互相垂直的两条直线,与抛物线T分别相交于点A,B和C,D,点H,K分别为AB,CD的中点,求|HK|的最小值.
【解析】(2)因为E(a,0),若直线AB,CD分别与两坐标轴垂直,
则直线AB,CD中有一条与抛物线只有一个交点,不合题意,所以直线AB,CD的斜率均存在且不为0.设直线AB的斜率为k(k≠0),
则直线AB的方程为y=k(x-a).
联立y2=6xy=k(x-a),得ky2-6y-6ka=0,则Δ=36+24k2a>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=6k,设H(xH,yH),则yH=y1+y22=3k,则xH=yHk+a=3k2+a,
所以H(3k2+a,3k),同理可得K(3k2+a,-3k),
故|HK|=(3k2-3k2)2+(-3k-3k)2=9k4+9k4+9k2+9k2≥32k4·1k4+2k2·1k2=6,
当且仅当k4=1k4且k2=1k2,即k=±1时等号成立,
故|HK|的最小值为6.
2.(10分)(2024·深圳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,且点(4,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
【解析】(1)椭圆C的离心率e=22,
则22=ca=1-b2a2,即b2a2=12,
所以a=2b=2c,椭圆方程为x22b2+y2b2=1.
将点(4,1)代入方程得b2=9,
故所求方程为x218+y29=1.
(2)若经过定点(0,-1)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,记椭圆的上顶点为M,当直线l的斜率变化时,求△MPQ面积的最大值.
【解析】(2)点(0,-1)在椭圆C内,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1,由x218+y29=1,y=kx-1,得(2k2+1)x2-4kx-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k2k2+1,x1x2=-162k2+1,Δ>0.|PQ|=(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]=4(k2+1)(9k2+4)2k2+1.
点M(0,3)到l的距离d=4k2+1,S△MPQ=12|PQ|·d=89k2+42k2+1.令t=2k2+1(t≥1),则k2=t-12,则S△MPQ=89(t-1)2+4t2=8818-12(1t-92)2.
因为0<1t≤1,所以当1t=1(k=0)时,S△MPQ=16是所求最大值.
3.(10分)(2024·毕节模拟)已知抛物线M:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)的直线与抛物线M交于A,B两点,点A在第一象限,O为坐标原点.
(1)设P为抛物线M上的动点,求|OP||FP|的取值范围;
【解析】(1)依题意,抛物线M:y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=-1,设P(t2,2t),
则|OP|=(t2)2+(2t)2=t4+4t2,|FP|=t2+1,
因此|OP||FP|=t4+4t2t2+1=(t2+1)2+2(t2+1)-3(t2+1)2=-3(1t2+1-13)2+43,
而t2+1≥1,即有0<1t2+1≤1,则当1t2+1=1,即t=0时,|OP||FP|min=0,
当1t2+1=13,即t=±2时,|OP||FP|max=233,
所以|OP||FP|的取值范围是[0,233].
(2)记△AOB的面积为S1,△BOF的面积为S2,求S1+S2的最小值.
【解析】(2)显然直线AB不垂直于y轴,设直线AB的方程为x=my+2,
由x=my+2y2=4x消去x并整理得y2-4my-8=0,显然Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,
则y1y2=-8,即y2=-8y1,
令(2,0)为点E,于是△AOB的面积为S1=12|OE|·(y1-y2)=y1-y2,△BOF的面积为S2=12|OF|·|y2|=-12y2,
因此S1+S2=(y1-y2)+ (-12y2)=y1-32y2=y1+12y1≥2y1·12y1=43,当且仅当y1=12y1,即y1=23时取等号,
所以S1+S2的最小值为43.
4.(10分)(2024·湛江模拟)已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆E的离心率为12,过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A,B两点,△F1AB的周长为8.
(1)求椭圆E的标准方程;
【解析】(1)由题意,椭圆E的离心率为12,可得ca=12,
又由椭圆的定义,可知|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=8,所以a=2,c=1,
又因为a2=b2+c2,所以b2=3,
所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1.
(2)过F1且与l垂直的直线l'与椭圆E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,
由x24+y23=1x=my+1,
整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,
则有y1+y2=-6m3m2+4,y1·y2=-93m2+4,
故|AB|=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]=(1+m2)[(-6m3m2+4) 2+363m2+4]=12×m2+13m2+4,
设直线l'的方程为x=-1my-1,
设C(x3,y3),D(x4,y4),
联立方程得x24+y23=1x=-1my-1,
整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,
则有y3+y4=-6m3m2+4,y3·y4=-93m2+4,
则|CD|=(1+1m2)[(y3+y4)2-4y3y4]=12×1m2+13m2+4=12×m2+14m2+3,
所以四边形ACBD的面积:S=12|AB||CD|=72×m2+13m2+4×m2+14m2+3=72×m2+13(m2+1)+1×m2+14(m2+1)-1=72(3+1m2+1)(4-1m2+1),
因为(3+1m2+1)(4-1m2+1)≤ (3+1m2+1+4-1m2+12)2=494,
当且仅当m2=1时,等号成立,
所以S=72(3+1m2+1)(4-1m2+1)≥28849,
综上,四边形ACBD面积的最小值为28849.