2025年高考数学一轮复习-拓展拔高5-指对同构【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-拓展拔高5-指对同构【导学案】，共6页。学案主要包含了高考考情等内容，欢迎下载使用。

【同构法】是证明不等式的一种技巧,通过等价变形使得两边的式子结构相同,从而将两边看成是同一个函数的两个函数值,借助该函数的单调性简化不等式,使问题得以解决.同构法需要有敏锐的观察能力才能找到函数的模型.
一、五个常见变形
①xex=ex+ln x ②exx=ex-ln x ③xex=eln x-x
④x+ln x=ln(xex) ⑤x-ln x=ln exx
二、三种基本类型
视角一 bln b与xex同构
[导思]bln b=eln b·ln b,即ln b·eln b对应xex模型,可构造函数f(x)=xex.
[例1]设实数λ>0,若对于任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-lnxλ≥0恒成立,则λ的最小值为( )
A.eB.12eC.1eD.2e
【解析】选C.由eλx-lnxλ≥0,得λeλx-ln x≥0,
即λxeλx-xln x≥0,也即λxeλx≥xln x.
由同构xln x=eln x·ln x,
可得(λx)·eλx≥ln x·eln x.
设f(x)=xex,
则f'(x)=(x+1)ex>0对x∈(0,+∞)恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由(λx)·eλx≥ln x·eln x可得f(λx)≥f(ln x),
即λx≥ln x,也即λ≥lnxx,所以λ≥lnxxmax.
令g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2(x>0).
所以当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
因此,g(x)max=g(e)=1e,故λ≥1e.
视角二 aea与xln x同构
[导思]aea=ea·ln ea,即ea·ln ea对应xln x模型,可构造函数f(x)=xln x.
[例2]已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a,若f(x)≥1,则a的取值范围为________.
【解析】由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1.
变形后可化为aex-1≥ln exa⇔ex-1≥1aln exa
⇔ex≥ealn exa⇔xex≥exaln exa⇔exln ex≥exaln exa.
令g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=1+ln x,可知当x∈(0,1e)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以原不等式等价于g(ex)≥g(exa),且x>0,
ex>1,exa>0.
所以g(ex)≥g(exa)⇔ex≥exa⇒a≥exexmax.
令h(x)=exex(x>0),则h'(x)=e(1-x)ex.
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)max=h(1)=1,
故a的取值范围是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
视角三 aea与lnxx同构
[导思]aea=ln eaea,即ln eaea对应lnxx模型,可构造函数f(x)=lnxx.
[例3]已知a>0,且x2+xln a-aexln x>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围为______________.
【解析】因为x2+xln a-aexln x>0,
所以aexln x所以lnxx即lnxx设f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,
所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,
所以x∈(0,1)时,f(x)<0.
因为lnxx所以a>xex恒成立,令g(x)=xex,则g'(x)=1-xex>0,即g(x)在(0,1)上单调递增,故a≥g(1)=1e,实数a的取值范围是[1e,+∞).
答案: [1e,+∞)
视角四 c+ln c与x+ex同构
[导思]c+ln c=eln c+ln c,即ln c+eln c对应x+ex模型,可构造函数f(x)=x+ex.
[例4]已知函数f(x)=ex+2ax(x∈R),
(1)求f(x)的单调性;
【解析】(1)f'(x)=ex+2a.
当a≥0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
当a<0时,f(x)在(-∞,ln (-2a))上单调递减,在(ln (-2a),+∞)上单调递增.
(2)a>0,令g(x)=f(x)-a(x-1)ln (ax-a)+a,若g(x)恒单调递增,求a的取值范围.
【解析】(2)g(x)=ex+2ax-a(x-1)ln (ax-a)+a的定义域为(1,+∞).因为g(x)恒单调递增,所以g'(x)=ex-aln (ax-a)+a≥0在(1,+∞)上恒成立,即exa≥ln a(x-1)-1,也即ex-ln a-ln a≥ln (x-1)-1,整理得ex-ln a+(x-ln a)≥eln (x-1)+ln (x-1).令F(x)=ex+x,显然F(x)在(1,+∞)上单调递增,原不等式等价于F(x-ln a)≥F(ln (x-1)),所以x-ln a≥ln (x-1),即ln a≤x-ln (x-1).
令h(x)=x-ln (x-1)(x>1),则h'(x)=1-1x-1=x-2x-1(x>1).所以h(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,h(x)min=h(2)=2.
因此,ln a≤2,即a≤e2,a的取值范围是(0,e2].
思维升华
指对同构解题的关键点
(1)常用的指对同构:指数和对数混合的导数题,直接使用同构的题目并不多,许多情况下,需要凑出同构的形式来.因为指数和对数之间可以互相转换,所以尽量转换为常见的aea≤bln b,eaa=blnb,ea±a>b±ln b三种同构形式.
(2)复杂式的指对同构:比如aeax≤ln x两边同乘x可转化为axeax≤xln x;ax>lgax可转化为exln a>lnxlna,两边再同时乘xln a可转化为(xln a)·exln a>xln x;x+1ex≥xa-ln xa可转化为1ex-ln 1ex≥xa-ln xa等.