2025年高考数学一轮复习-第12课时-直线、平面平行的性质定理【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第12课时-直线、平面平行的性质定理【导学案】，共17页。
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1．(人A 必二P143T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( D )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
【解析】直线a不平行于平面α，包括两种情况：a⊂α或a∩α＝P.当a⊂α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误；当a⊂α时，α内必然有直线与直线a平行，B错误；由B知C也错误；当a⊂α时，直线a和平面α有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点P，D正确．
2．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( A )
A．平行B．相交
C．AC在此平面内D．平行或相交
【解析】如图，把这三条线段放在正方体内，显然AC∥EF.因为AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，所以AC∥平面EFG.
3．(人A 必二P142T2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( D )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
【解析】对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．
4．(人A 必二P142T1(1)改)(多选)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是( AB )
A．平面A′B′C′D′B．平面DCC′D′
C．平面BCC′B′D．平面A′D′DA
【解析】由于AB∥A′B′，AB⊄平面A′B′C′D′，A′B′⊂平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，故A符合．同理证得AB∥平面DCC′D′，故B符合．而AB∩平面BCC′B′＝B，AB∩平面A′D′DA＝A，故C，D不符合．
聚焦知识
1．直线和平面平行
(1) 定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行．
(2) 判定方法：
(3) 性质定理：
2．两个平面平行
(1) 定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行．
(2) 判定方法：
(3) 性质定理：
3．常用结论
(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2) 平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3) 垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
研题型 能力养成
举题说法
与线、面平行相关命题的判定
例1 已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是( D )
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α
B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．若a∥β，a∥α，则α∥β
D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c
1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；
2．结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
线面平行的判定定理的应用
例2 (2023·武汉调研节选)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得到四棱锥A1-EFCB，P为A1C的中点．求证：FP∥平面A1BE.

【解答】如图，取A1B的中点Q，连接PQ，EQ.因为P为A1C的中点，所以PQ∥BC，且PQ＝ eq \f(1,2)BC.又EF∥BC，且EF＝ eq \f(1,2)BC，所以PQ∥EF，且PQ＝EF，所以四边形EFPQ为平行四边形，则FP∥EQ.又FP⊄平面A1BE，EQ⊂平面A1BE，所以FP∥平面A1BE.
判断或证明线面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点).
(2) 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
(4) 利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
变式 (2024·南京零模节选)如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，G是线段BF的中点，求证：EG∥平面DAF.
【解答】如图，连接OE，OG.在圆柱OE中，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，所以OE∥DA.又OE⊄平面DAF，DA⊂平面DAF，所以OE∥平面DAF.在△ABF中，O，G分别是AB和BF的中点，所以OG∥AF.又OG⊄平面DAF，AF⊂平面DAF，所以OG∥平面DAF.又OE∩OG＝O，OE，OG⊂平面OEG，所以平面OEG∥平面DAF.又EG⊂平面OEG，所以EG∥平面DAF.
线面平行的性质定理的应用
例3 (2023·阳江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点．
(1) 求证：PC∥平面BFD；
【解答】如图，连接AC，交BD于点O，连接OF.因为在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，所以PC∥FO.又因为PC⊄平面BFD，FO⊂平面BFD，所以PC∥平面BFD.
(2) 已知点M在PD上，且满足EC∥平面BFM，求 eq \f(PM,MD)的值．
【解答】如图，连接FM，交AD的延长线于点G，连接BG，交CD于点N，连接EF，FN，PG.易得EF∥CN，所以EF与NC共面．因为EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC＝FN，所以EC∥FN，所以四边形EFNC为平行四边形，所以EF＝CN＝ eq \f(1,2)CD，所以N为CD中点，所以D为AG中点，所以 eq \f(PM,MD)＝ eq \f(PG,FD)＝2，即 eq \f(PM,MD)＝2.
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
面面平行的判定定理与性质定理的应用
例4 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1) 求证：平面A1BD∥平面CD1B1；
【解答】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，AD∥BC，AD＝BC，所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又因为A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.同理，A1D∥平面CD1B1.又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2) 若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.
【解答】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝B1D1，所以B1D1∥l.
1．判定面面平行的主要方法：(1) 利用面面平行的判定定理；(2) 利用线面垂直的性质．
2．面面平行条件的应用：(1) 两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行；(2) 两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
变式 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1) 求证：平面A1C1G∥平面BEF;
【解答】因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1.因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG.又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G.因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2) 若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
【解答】因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，且平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，所以A1C1∥GH，所以GH∥AC.因为G为AB的中点，所以H为BC的中点．
随堂内化
1．(2024·九省联考)设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是( C )
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
【解析】对于A，m，l可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交或平行，故B错误；对于D，α∥β，故D错误；由线面平行的性质得C正确．
2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法错误的是( D )
A．E，F，G，H四点共面
B．平面EGH∥平面ABC1
C．直线A1A与FH异面
D．直线BC∥平面AFH
【解析】由题意知FG∥A1B1，且FG＝ eq \f(1,2)A1B1，EHA1B1，所以FG∥EH，则E，F，G，H四点共面，故A正确．因为GH∥BC1，GH⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，所以GH∥平面ABC1.易得EH∥平面ABC1，又EH∩GH＝H，EH，GH⊂平面EGH，所以平面EGH∥平面ABC1，故B正确．易得AA1∥平面BB1F，又FH⊂平面BB1F，且FH与AA1不平行，所以直线A1A与FH异面，故C正确．如图，取CC1的中点M，连接HM.因为HM∥BC，HM与平面AFH相交于点H，所以直线BC与平面AFH相交，故D错误．
3．(2023·合肥期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， eq \f(PF,FC)＝( D )
A． eq \f(2,3)B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,3)D． eq \f(1,2)
【解析】如图，连接AC，与BE相交于点O，连接FO.因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FO，所以PA∥FO，则有 eq \f(PF,FC)＝ eq \f(AO,OC).在平行四边形ABCD中，易得△AEO∽△CBO，所以 eq \f(AO,OC)＝ eq \f(AE,BC).因为E为AD的中点，所以 eq \f(AE,BC)＝ eq \f(1,2)，从而 eq \f(PF,FC)＝ eq \f(1,2).
4．(2024·南昌期初摸底)(多选)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN ∥平面ABC的有( AB )

A B C D
【解析】对于A，如图(1)，设P为AB的中点，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝ eq \f(1,2)BE，而BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，则MN∥PC，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故A正确．对于B，如图(2)，设P为AB的中点，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝ eq \f(1,2)BE，而BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故B正确．对于C，如图(3)，设P为AE的中点，连接NP，PB，设NP∩AC＝H，连接BH，则PN∥FE，PN＝ eq \f(1,2)FE，而FE∥GB，FE＝GB，故PN∥MB，PN＝MB，即四边形PNMB为平行四边形，所以MN∥PB.又MN⊂平面PNMB，MN⊄平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故C错误．对于D，如图(4)，连接AE，与FN交于点H，FN交AC于点G，则H为FN的中点，连接BH，BG.由于B为MF的中点，故BH∥MN.又MN⊂平面NMF，MN⊄平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故D错误．

图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( C )
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
C．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
D．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
2．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不重合的平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( D )
A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2
3．(2023·重庆期末)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是( C )

A．MN∥平面ABEB．MN∥平面ADE
C．MN∥平面BDHD．MN∥平面CDE
【解析】根据题意得到正方体的直观图如图所示，取FH的中点O，连接ON，BO，易知ON与BM平行且相等，所以四边形ONMB为平行四边形，所以MN∥BO，因为BO与平面ABE(即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误. 因为平面ADE∥平面BCF，MN∩平面BCF＝M，所以MN与平面ADE相交，故B错误．因为BO⊂平面BDH，MN∥BO，MN⊄平面BDH，所以MN∥平面BDH，故C正确．显然M，N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误．
4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，E，F，G分别是AB，A1C1，A1B1的中点，O是BC1的中点．下列结论错误的是( D )
A．若P是AC1的中点，则OP∥A1B1
B．AC1∥平面B1CE
C．若该三棱柱有内切球，则AB∶AA1＝ eq \r(3)∶1
D．平面AGF∥平面EB1C
【解析】若P是AC1的中点时，OP∥AB，而AB∥A1B1，有OP∥A1B1，所以A正确．如图，连接OE，由OE为△ABC1的中位线，显然OE∥AC1且OE＝ eq \f(1,2)AC1，AC1⊄平面B1CE，OE⊂平面B1CE，所以AC1∥平面B1CE，所以B正确．设底面边长为a，球在底面的投影为底面ABC的内切圆，其半径为底面高的 eq \f(1,3)，则AA1＝2R＝ eq \f(2,3)× eq \f(\r(3),2)a＝ eq \f(\r(3),3)AB，所以AB∶AA1＝ eq \r(3)∶1，所以C正确. 如图，过A作与BC平行的直线l，由l∥FG，可得平面AFG与底面ABC的交线为l，且l与直线EC相交，则平面AGF与平面EB1C相交，所以D错误．
二、 多项选择题
5．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论正确的是( ABC )
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．平面A1C1B∥平面ACD1
D．三棱锥D1-ADC的体积为 eq \f(8,3)
【解析】根据异面直线的定义易知直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确．因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以A1C1∥AC.又A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确．同理可证BC1∥平面ACD1，又A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1⊂平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，故C正确．VD1-ADC＝ eq \f(1,3)×2× eq \f(1,2)×2×2＝ eq \f(4,3)，故D错误．
6．(2023·重庆模拟)如图，A，B，C，P，Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足PQ∥平面ABC的有( BD )

A B C D
【解析】对于A，如图(1)，连接BD，则BD∥PQ，又平面ABC∩BD＝B，则BD⊄平面ABC，所以PQ不平行于平面ABC，故A错误；对于B，因为PQ∥AC，PQ⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故B正确；对于C，如图(2)，取FN中点D，连接EF，MN，CD，BD，DQ，由正方体得AB∥EF，PQ∥MN，EF∥MN∥CD，所以AB∥PQ，同理AC∥DQ，CP∥BD，所以A，B，C，D，P，Q六点共面，故C错误；对于D，如图(3)，连接PD交AB于O，连接OC，在正方体中，由于四边形APBD为正方形，所以O为PD中点，又C为DQ中点，所以OC∥PQ，又PQ⊄平面ABC，OC⊂平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故D正确．
图(1)图(2)图(3)
三、 填空题
7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且 eq \f(DE,EB)＝ eq \f(DF,FD1)＝ eq \f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则 eq \f(CG,CC1)＝__ eq \f(1,3)__．
【解析】因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且 eq \f(DE,EB)＝ eq \f(DF,FD1)＝ eq \f(1,2)，所以EF∥BD1.因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，G在CC1上，BG⊂平面BD1G，且平面AEF∥平面BD1G，所以AF∥BG，所以 eq \f(CG,CC1)＝ eq \f(DF,DD1)＝ eq \f(1,3).
8．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，平面α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝__9∶49__．
【解析】因为平面α∥平面ABC，所以A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，所以△PA′B′∽△PAB，△PB′C′∽△PBC，△PA′C′∽△PAC，所以PA′∶PA＝PB′∶PB＝A′B′∶AB，PB′∶PB＝PC′∶PC＝B′C′∶BC，PC′∶PC＝PA′∶PA＝A′C′∶AC，所以A′B′∶AB＝B′C′∶BC＝A′C′∶AC，故△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′2∶AB2.又因为PA′∶A′A＝3∶4，所以PA′∶PA＝A′B′∶AB＝3∶7，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝9∶49.
四、 解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1) 求证：QN∥平面PAD；
【解答】 (1) 因为N，Q分别为PB，PC的中点，所以QN∥BC.因为底面ABCD是菱形，所以BC∥AD，所以QN∥AD.因为QN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以QN∥平面PAD.
(2) 记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并给出证明．
【解答】直线l与平面PBD平行，证明如下：因为N，M分别为PB，PD的中点，所以MN∥BD.因为MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.因为平面CMN与底面ABCD的交线为l，MN⊂平面CMN，由线面平行的性质定理可得MN∥l.因为MN∥BD，所以BD∥l.因为BD⊂平面PBD，l⊄平面PBD，所以直线l∥平面PBD.
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．
(1) 若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG；
【解答】 因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为G为A1B1中点，所以A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.又A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.
(2) 若D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求 eq \f(AD,DC)的值．
【解答】如图，连接A1B，AB1，设AB1∩A1B＝O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则 eq \f(A1D1,D1C1)＝ eq \f(A1O,OB)＝1.因为平面ACC1A1∩平面BC1D＝C1D，平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AD1，平面BC1D∥平面AB1D1，所以AD1∥C1D，所以 eq \f(A1D1,D1C1)＝ eq \f(DC,AD)＝1，即 eq \f(AD,DC)＝1.
B组 滚动小练
11．(2024·青岛期初调研)记Sn为等比数列{an}(an＞0)的前n项和，且a1a3＝16，2S1， eq \f(3,2)S2，S3成等差数列，则S6＝( D )
A．26B．24
C．128D．126
【解析】因为2S1， eq \f(3,2)S2，S3成等差数列，所以3S2＝2S1＋S3，即S3－S2＝2(S2－S1)，即a3＝2a2，所以等比数列{an}的公比为q＝ eq \f(a3,a2)＝2.因为{an}是每项均为正数的等比数列，由等比中项的性质可得a2＝ eq \r(a1a3)＝4，则a1＝ eq \f(a2,q)＝2，因此，S6＝ eq \f(a1(1－q6),1－q)＝ eq \f(2(1－26),1－2)＝126.
12．(2024·南昌期初摸底)如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为h.若h＝2，记圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则 eq \f(R,r)＝__ eq \f(3\r(39),13)__．
【解析】如图，作出圆锥的轴截面SAB，设CD为水面，O为圆锥底面中心，O1为水面中心，则SO＝3，OO1＝2，所以SO1＝1，则△SDC∽△SAB，故 eq \f(SO1,SO)＝ eq \f(O1D,OA)，所以O1D＝ eq \f(1,3)R，故圆锥内水的体积为V1＝ eq \f(1,3)πR2·SO－ eq \f(1,3)π·(O1D)2·SO1＝πR2－ eq \f(1,27)πR2＝ eq \f(26,27)πR2，圆柱内水的体积为V2＝πr2h＝2πr2.由V1＝V2，得 eq \f(26,27)πR2＝2πr2，故 eq \f(R,r)＝ eq \f(3\r(39),13).
13．(2024·邯郸一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2a sin C－2c cs A.
(1) 求sin 2A；
【解答】 因为c＝2a sin C－2c cs A，由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)，得sin C＝2sin A sin C－2sin C cs A，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A－cs A＝ eq \f(1,2)，所以(sin A－cs A)2＝ eq \f(1,4)，得1－2sin A cs A＝ eq \f(1,4)⇒2sin A cs A＝ eq \f(3,4)，即sin 2A＝ eq \f(3,4).
(2) 若a＝2，求△ABC面积的最大值．
【解答】由(1)知sin A－cs A＝ eq \f(1,2)，2sin A cs A＝ eq \f(3,4)，A∈(0，π)，所以A∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，可得sin A＞0，cs A＞0，与sin2A＋cs2A＝1联立，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinA＝\f(1＋\r(7),4)，,cs A＝\f(\r(7)－1,4)，))得S△ABC＝ eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)× eq \f(1＋\r(7),4)bc.由余弦定理得cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(\r(7)－1,4)，所以b2＋c2＝4＋ eq \f(\r(7)－1,2)bc，得b2＋c2＝4＋ eq \f(\r(7)－1,2)bc≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立，即bc≤ eq \f(8,5－\r(7))＝ eq \f(4,9)(5＋ eq \r(7)).故S△ABC≤ eq \f(1,2)× eq \f(1＋\r(7),4)× eq \f(4,9)(5＋ eq \r(7))＝ eq \f(2＋\r(7),3)，即△ABC面积的最大值为 eq \f(2＋\r(7),3)。文字语言
图形语言
符号语言
线线平行⇒线面平行
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥a，,a⊂α，,l⊄α))⇒l∥α
面面平行⇒线面平行
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β，,a⊂α))⇒a∥β
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行⇒线线平行
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝b))⇒l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
线面平
行⇒面
面平行
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β，,b∥β，,a∩b＝P，,a⊂α，,b⊂α))⇒α∥β
文字语言
图形语言
符号语言
面面平行⇒线线平行
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))))⇒a∥b