2025年高考数学一轮复习-8.8-利用空间向量研究夹角问题-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.8-利用空间向量研究夹角问题-专项训练【含解析】，共17页。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为( )
A.-1010B.-120C.120D.1010
3.在空间直角坐标系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一个法向量为m=(-1,0,1),则平面α与平面ABC夹角的正弦值为( )
A.336B.36C.34D.134
4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A.255B.25C.23D.33
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,体对角线B1D与平面A1BC1交于E点,则A1E与平面AA1D1D所成角的余弦值为( )
A.13B.33C.23D.53
6.(多选题)如图,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的两个不同的动点,AC=BC=CC1,AC⊥BC,则( )
A.BC1⊥平面B1EF
B.若EF为定长,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值
C.直线BB1与平面B1EF所成角为π3
D.平面A1ABB1⊥平面B1EF
7.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角为 .
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是 .
9.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直,
则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 .
10.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中点.
(1)求证:BC⊥平面A1AD;
(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的体积是83,
求异面直线A1D和AB1所成的角的余弦值.
11.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值.
12.(多选题)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,则( )
A.A1D⊥AF
B.D1C与平面AEF所成角的正弦值为26
C.二面角A-EF-C的余弦值为13
D.平面AEF截正方体所得的截面周长为25+32
13.手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分别是棱AB,C1E,BB1,A1F的中点,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是 .
14.(2023·全国甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,
∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)求证:AC=A1C;
(2)若直线AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
利用空间向量研究夹角问题-专项训练（解析版）
1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cs=32,则l与α所成的角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
【解析】选B.由于cs=32,所以=30°,所以直线l与α所成的角为60°.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为( )
A.-1010B.-120C.120D.1010
【解析】选D.建立如图空间直角坐标系D-xyz,
设DA=1,则A(1,0,0),
C(0,1,0),E(0,12,1),
则AC=(-1,1,0),DE=(0,12,1),
设异面直线DE与AC所成的角为θ,
则cs θ=|cs|=1010.
3.在空间直角坐标系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一个法向量为m=(-1,0,1),则平面α与平面ABC夹角的正弦值为( )
A.336B.36C.34D.134
【解析】选A.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=x-y=0n·BC=-2x+z=0,令x=1,得n=(1,1,2),
令平面α与平面ABC的夹角为θ,
则cs θ=|cs|=|m·n||m||n|=12×6=36,
sin θ=1-cs2θ=336,所以平面α与平面ABC夹角的正弦值为336.
4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A.255B.25C.23D.33
【解析】选B.以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),
所以PD=(0,1,-2),DC=(1,0,0),PB=(1,0,-2),
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则PD·n=y-2z=0DC·n=x=0,
令z=1,得n=(0,2,1),
设直线PB与平面PCD所成角为θ,
则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
sin θ=|cs|=|PB·n||PB||n|=|-2|5×5=25.
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,体对角线B1D与平面A1BC1交于E点,则A1E与平面AA1D1D所成角的余弦值为( )
A.13B.33C.23D.53
【解析】选D.如图,建立空间直角坐标系,
A1B=(0,1,-2),A1C1=(-1,1,0),
设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),
则A1B·m=y-2z=0A1C1·m=-x+y=0,
令z=1,则y=2,x=2,所以m=(2,2,1),
DB1=(1,1,2),因为点E在B1D上,
设DE=λDB1=(λ,λ,2λ),所以E(λ,λ,2λ),所以A1E=(λ-1,λ,2λ-2),
因为A1E⊂平面A1BC1,所以A1E·m=0,即(λ-1,λ,2λ-2)·(2,2,1)=0,
所以2(λ-1)+2λ+(2λ-2)=0,解得λ=23,所以A1E=-13,23,-23,
易得平面AA1D1D的一个法向量为n=(0,1,0),
设A1E与平面AA1D1D所成角为α,
所以sin α=A1E·n|A1E||n|=-13,23,-23·(0,1,0)-132+232+-232×1=23,
所以cs α=1-sin2α=1-232=53.
6.(多选题)如图,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的两个不同的动点,AC=BC=CC1,AC⊥BC,则( )
A.BC1⊥平面B1EF
B.若EF为定长,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值
C.直线BB1与平面B1EF所成角为π3
D.平面A1ABB1⊥平面B1EF
【解析】选AB.由题可知,平面B1EF即平面B1AC.
以C为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,
设AC=1,由题可知:A(1,0,0),C(0,0,0),B1(0,1,1),B(0,1,0),C1(0,0,1),
设AB中点为D,则D12,12,0,
由题可知CD⊥平面A1ABB1,
即CD=12,12,0为平面A1ABB1的一个法向量,
又CA=(1,0,0),CB1=(0,1,1),
设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),
则n·CA=x=0n·CB1=y+z=0,
取y=1,则n=(0,1,-1).
对于A,由于BC1=(0,-1,1),则BC1∥n,
故BC1⊥平面B1EF,A正确;
对于B,若EF为定长,由于B1到直线EF的距离即为B1到直线AC的距离,也为定值,于是△B1EF的面积为定值,又A1到平面B1EF的距离即为A1到平面B1AC的距离,为定值,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值,故B正确;
对于C,由于BB1=(0,0,1),所以直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值为|BB1·n||BB1||n|=11×2=22,故直线BB1与平面B1EF所成角为π4,故C错误;
对于D,CD·n=12≠0,故平面A1ABB1与平面B1EF不垂直,D错误.
7.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角为 .
【解析】设直线l与平面α所成的角为θ,
则sin θ=|cs 120°|=12.
又因为0°≤θ≤90°,所以θ=30°.
答案:30°
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是 .
【解析】如图,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),
易证AC1是平面A1BD的一个法向量.
AC1=(-1,1,1),BC1=(-1,0,1).
cs=1+13×2=63.
所以直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为63.
答案:63
9.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直,则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 .
【解析】取BC的中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=1,
则A0,0,32,B0,-12,0,C0,12,0,D(32,0,0),
所以BA=0,12,32,BD=32,12,0,
CD=32,-12,0.
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),
则n·BA=0n·BD=0,所以12y+32z=032x+12y=0,
取x=1,
则y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1),
所以|cs|=32+325×1=155,
因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为155.
答案:155
10.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中点.
(1)求证:BC⊥平面A1AD;
(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的体积是83,求异面直线A1D和AB1所成的角的余弦值.
【解析】(1)因为AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,
又AB=AC,D是BC的中点,所以BC⊥AD,
因为AA1∩AD=A,所以BC⊥平面A1AD.
【解析】(2)因为∠BAC=90°,AB=AC,BC=4,
所以AB=AC=22,S△ABC=12AB·AC=12×22×22=4,
因为三棱柱ABC-A1B1C1的体积是83,
所以S△ABC·AA1=4AA1=83,解得AA1=23,
以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则D(2,2,0),A(0,0,0),B1(22,0,23),
A1(0,0,23),
A1D=(2,2,-23),AB1=(22,0,23),
设异面直线A1D,AB1所成角为θ,
则cs θ=|AB1·A1D||AB1|·|A1D|=816·20=55.
11.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值.
【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC.
由PA垂直于圆所在的平面,
得PA⊥平面ABC.
由BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.
又因为BC⊂平面PBC,
根据面面垂直判定定理,得平面PAC⊥平面PBC.
(2)过点C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.
如图所示,
以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=3.
又PA=1,所以A(0,1,0),B(3,0,0),P(0,1,1),
故CB=(3,0,0),CP=(0,1,1),AB=(3,-1,0),AP=(0,0,1).
设平面CPB的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则n1·CB=0n1·CP=0,所以3x1=0y1+z1=0,
不妨令y1=1,则z1=-1,故n1=(0,1,-1).
设平面APB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2·AB=0n2·AP=0,同理可得n2=(1,3,0).
于是|cs|=|n1·n2||n1||n2|=302+12+(-1)2×12+(3)2+02=64,
所以平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值为64.
12.(多选题)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,则( )
A.A1D⊥AF
B.D1C与平面AEF所成角的正弦值为26
C.二面角A-EF-C的余弦值为13
D.平面AEF截正方体所得的截面周长为25+32
【解析】选BD.由题意知A1D⊥AC1,所以A1D⊥AF错误,故A错误;
以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则D1(0,0,2),E(1,2,0),F(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),
则CD1=(0,-2,2),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),
设平面AEF的法向量n=(x,y,z),
则n·AE=-x+2y=0n·AF=-2x+2y+z=0,
令x=2,则n=(2,1,2),
设D1C与平面AEF所成角为θ,
则sin θ=|cs|=|CD1·n||CD1|·|n|=28·9=26,故B正确;
易得平面CEF的一个法向量为m=(0,1,0),
cs=m·n|m|·|n|=11×9=13,
所以二面角A-EF-C的余弦值为-13,故C错误;
因为E,F分别是棱BC,CC1的中点,所以EF∥BC1,
因为AD1∥BC1,即EF∥AD1,
所以平面AEF截正方体所得截面为四边形EFD1A,
因为正方体的棱长为2,所以AD1=22,EF=2,AE=D1F=4+1=5,
所以平面AEF截正方体的截面周长为25+32,
故D正确.
13.手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分别是棱AB,C1E,BB1,A1F的中点,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是 .
【解析】如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
因为A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,
所以P(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2),N(2,1,5),
所以PQ=(-2,1,5),MN=(0,-3,3),
所以cs=PQ·MN|PQ|·|MN|=1230×32=21515,
因为异面直线PQ与MN所成角为锐角,所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是21515.
答案:21515
14.(2023·全国甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,
∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)求证:AC=A1C;
(2)若直线AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
【解析】(1)如图,
因为A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,
所以A1C⊥BC,又BC⊥AC,A1C,AC⊂平面ACC1A1,A1C∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又BC⊂平面BCC1B1,
所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
过A1作A1O⊥CC1交CC1于O,
又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,A1O⊂平面ACC1A1,
所以A1O⊥平面BCC1B1.
因为A1到平面BCC1B1的距离为1,所以A1O=1.
在Rt△A1CC1中,A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2,
设CO=x,则C1O=2-x.
因为△A1OC,△A1OC1,△A1CC1为直角三角形,且CC1=2,
CO2+A1O2=A1C2,A1O2+OC12=C1A12,A1C2+A1C12=C1C2,
所以1+x2+1+(2-x)2=4,解得x=1,
所以AC=A1C=A1C1=2.即AC=A1C.
(2)连接A1B,AB1,AC1.
因为AC=A1C,BC⊥A1C,BC⊥AC,BC=BC,
所以Rt△ACB≌Rt△A1CB(SAS),所以BA=BA1.
过B作BD⊥AA1交AA1于D,
则D为AA1中点,
由直线AA1与BB1距离为2,所以BD=2.
因为A1D=1,BD=2,所以A1B=AB=5,
在Rt△ABC中,BC=AB2-AC2=3.
延长AC,使AC=CM,连接C1M,
由CM∥A1C1,CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形,
所以C1M∥A1C,所以C1M⊥平面ABC,
又AM⊂平面ABC,所以C1M⊥AM,
则在Rt△AC1M中,AM=2AC,C1M=A1C,所以AC1=(2AC)2+A1C2,
在Rt△AB1C1中,AC1=(2AC)2+A1C2,B1C1=BC=3,
所以AB1=(22)2+(2)2+(3)2=13.
又A到平面BCC1B1的距离为1,
所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为113=1313.