[数学][期末]安徽省皖北协作区2023-2024学年高一下学期期末联考试卷(解析版)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量是两个单位向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由单位向量的定义可知，，即，且，故A正确，B错误；
因为方向和夹角不确定，故CD错误.
故选：A.
2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ）
A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面
【答案】D
【解析】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行.
故选：D.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
4. 若向量，，则在上投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，则，
所以在上的投影向量.
故选：B.
5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数
，
再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），
得到函数，最后令，解得，
即的对称轴为.
所以函数的图象的一条对称轴的方程为.
故选：A.
6. 若，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
7. 已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图知，，则.
由图知，在取得最大值，且图象经过，
故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
故选：D.
8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意如图所示：设为的中点，连接，
设，分别为，的外接圆的圆心，
过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心，
连接，，则为外接球的半径，
由与均为边长为2的等边三角形，则，
又，则由余弦定理可得，
所以，
因为，分别为，的外接圆的圆心，
所以，，
可得，可得，而，所以，
在中：，
所以外接球的表面积.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 虚部为B. 是纯虚数
C. 的模是D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】，由，
则将的图象向左平移个单位长度后，即可与的图象重合；
由，
则图象无法经过平移与的图象重合；
由，
则将的图象向左平移个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，
即可与的图象重合；
由，则的图象无法经过平移与的图象重合，
故A，C中的函数与“互为生成函数”.
故选：AC.
11. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A. 在区间上有且仅有4条对称轴
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
【答案】CD
【解析】对C：由函数，令，，
则，，
函数在区间上有且仅有个零点，即有且仅有个整数符合，
由，得，则，，，
即，，故C正确；
对于A：，，.
当时，在区间上有且仅有3条对称轴；
当时，在区间上有且仅有4条对称轴，故A错误；
对于B：周期，由，则，，
又，所以的最小正周期不可能是，故B错误；
对于D：，，
又，，所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知中，是线段上靠近的三等分点，若，则__________.
【答案】
【解析】因为是线段上靠近的三等分点，所以，
所以，
又，且与不共线，
所以，所以.
故答案为：.
13. 在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示）
【答案】
【解析】如图：
连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角，
易知为等边三角形，所以.
故答案为：.
14. 已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
【答案】垂
【解析】由，
知，
，故，，
从而为的垂心.
故答案为：垂.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为坐标原点，，，.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若点满足，求的最小值.
解：（1）因为，，，
所以，，
又三点共线，所以，
所以，解得.
（2）因为，，所以，，
所以，
所以，
所以当时.
16. 已知角的终边经过点，为第一象限角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）角的终边经过点，为第一象限角，，
，，，
.
（2）由（1）得，，
，
.
17. 如图，四棱柱底面是正方形，．
（1）证明：平面∥平面；
（2）证明：平面平面．
解：（1）由题意可知：∥，，可知为平行四边形，
则∥，且平面，平面，可得∥平面，
又因为∥，，可知为平行四边形，
则∥，且平面，平面，可得∥平面，
且，平面，所以平面∥平面.
（2）因为为正方形，则，
因为，
则，可得，
设，可知为的中点，则，
且，平面，可得平面，
由平面，所以平面平面.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围.
解：（1）因为，
所以，
即.
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）结合（1）问，因为，
所以，即，
所以，即.
因为在锐角中，，所以.
因为，所以.
在中，由正弦定理可得，即，
在中易得，
，
因为为锐角三角形，且，且易得，
所以，得，所以，
易得，即，所以.
故面积取值范围为.
19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若，，，求C的坐标；
（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．
解：（1）因为与同向，设，
则，
，
又∠GAB，．
因为，所以，
所以，
由，得，
又，所以，．
（2）由（1）知，．
所以，
因为，，，
所以，，，
则，解得，
所以C的坐标为．
（3）设BC的中点为D，则，又，
所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心，
所以，，，
由对称性，不妨设与的夹角为，，
如图所示，
，
，
由图可知，与，与的夹角分别为，，
所以，的值分别为，，
当时，，
所以，其取值范围是．
所以的取值范围是．