西藏山南市第一高级中学、完全中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份西藏山南市第一高级中学、完全中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设a,,,,若,则的值为( )
A.B.0C.1D.2
2．，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是( )
A.B.C.D.
3．一辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设ts时汽车的速度（单位:）为,则汽车在第2s时的瞬时加速度为( )
A.B.C.D.
4．已知等差数列的公差,前n项和为,,则( )
A.6B.C.D.8
5．设甲乘汽车,动车前往某目的地的概率分别为0.3,0.5,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6,0.8,则甲正点到达目的地的概率为( )
6．地区的高三第一次联考中,数学考试成绩近似服从正态分布,试卷满分150分,统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的,数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800,则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A.1600B.1800C.2100D.2400
7．设随机变量的分布列为,,,分别为随机变量的数学期望与方差,则( )
A.B.C.D.
8．函数在区间内存在单调递减区间,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数,,则下列说法中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若且,则为实数
10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A.如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B.如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有36种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
11．一个盒子中装有3个黑球和4个白球,现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为,“第一次取得白球”为,“第二次取得黑球”为,“第二次取得白球”为,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．设随机变量,则_________.
13．已知函数的图象在点处的切线方程是,则_________.
14．甲,乙两人进行象棋比赛,假设每局比赛甲胜的概率是,各局比赛是相互独立的,采用4局3胜制,假设比赛没有平局,则乙战胜甲的概率为_________
四、解答题
15．求函数的极值.
16．已知单调递减的等比数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的所有正整数n的值.
17．有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
（1）任取一个零件,计算它是次品的概率;
（2）如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率.
18．2023年的高考已经结束,考试前一周,某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷,现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷,统计数据如下表:
（1）求x的值;
（2）依据上表,判断是否有99.9%的把握认为,高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关;
（3）学校在成绩200名以前的学生中,采用分层抽样,按课余学习时间是否超过两小时抽取6人,再从这6人中随机抽取3人,记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:参考公式:,其中.
19．能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题,虽然近百年人类文明有了前所未有的发展,但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果,发展新能源是时代的要求,是未来生存的要求.新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发,是全球汽车发展的重要方向.“保护环境,人人有责”,在政府和有关企业的努力下,某市近几年新能源汽车的购买情况如下表所示:
（1）根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱（若,则认为y与x线性相关性很强;若,则认为y与x线性相关性一般;若,则认为y与x线性相关性较弱）;
（2）求y关于x的线性回归方程,并预测该市2025年新能源汽车购买辆数.
参考公式:
参考数值:.
参考答案
1．答案：B
解析：,,.
2．答案：D
解析：A.，可能方向不同，故错误；
B.，两向量夹角未知，故错误；
C.，，所以，故错误；
D.由C知，故正确.
故选：D.
3．答案：B
解析：由,有,可得汽车在第2s时的瞬时加速度为2,故选B.
4．答案：C
解析：.
5．答案：C
解析：设事件表示甲正点到达目的地,事件表示甲乘动车到达目的地,事件C表示甲乘汽车到达目的地,由题意知,,,.
由全概率公式得.故选C.
6．答案：D
解析：由题设,若X表示数学考试成绩,则,而,
所以,故参加本次联考的总人数约为.故选D.
7．答案：C
解析：
8．答案：A
解析：,当时,,不符合题意;
当时,令,解得,所以,解得.故选A.
9．答案：AB
解析：由,可得,A对;
,则,B对;
,但,C错;
,,但均非实数,D错.故选AB.
10．答案：BD
解析：安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区B必须有同学选择，
则不同的安排方法有（种）.判断错误；
选项B：如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有（种）.判断错误；
选项D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，
则不同的安排方法共有（种）.判断正确.故选BD.
11．答案：BC
解析：第一次取得黑球的概率;第一次取得白球的概率;
第一次取黑球,第二次取黑球的概率;
第一次取黑球,第二次取白球的概率,故A错误;
第一次取白球,第二次取黑球的概率;
第一次取白球,第二次取白球的概率;
第二次取得黑球的概率;
第二次取得白球的概率;
,故B正确;
;,
,故C正确;
;,故D错误.故选BC.
12．答案：
解析：随机变量服从,.
13．答案：6
解析：由导数的几何意义可得,,
又点在切线上,所以,则.
14．答案：
解析：由题意知,若比赛只有3局,3局都是乙胜的概率为.若比赛有4局,前3局乙胜2局,第4局乙胜的概率.由上知乙战胜甲的概率为.
15．答案：见解析
解析：因为,所以.
令,解得,或.
当x变化时,,的变化情况如表所示:
因此,当时,有极大值,并且极大值为;
当时,有极小值,并且极小值为.
函数的图象如图所示.
16．答案：（1）
（2），2，3，4，5，6，7，8，9
解析：（1）设公比为q，因为等比数列单调递减，所以，
有，
解得，
数列的通项公式为.
（2），
由单调递增，，，
故满足的所有正整数n的值为，2，3，4，5，6，7，8，9.
17．答案：（1）0.0525
（2）见解析
解析：设“任取一个零件为次品”,“零件为第台车床加工”,则,且,两两互斥.根据题意得.
,,,
,.
（1）由全概率公式,得
.
（2）“如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率”,就是计算在发生的条件下,事件发生的概率.
.
类似地,可得,.
18．答案：（1）10
（2）有99.9%的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关
（3）2
解析：（1）由题意可得高三12个班级共抽取120名,
所以,解得;
（2）利用列联表可得,
所以有99.9%的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关;
（3）这6人中课余学习时间超过两小时的人数为,课余学习时间不超过两小时的人数为2,
X的取值为1,2,3,
有;
;
.
故X的分布列为:
.
19．答案：（1）见解析
（2）该市2025年新能源汽车购买辆数约为2.54万辆.
解析：（1）,,
所以y与x线性相关性很强;
（2）由（1）知,,
,
所以y关于x的线性回归方程是,
当时,（万辆）,
该市2025年新能源汽车购买辆数约为2.54万辆.
课余学习时间超过两小时
课余学习时间不超过两小时
200名以前
40
200名以后
40
a
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
汽车购买（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
x
2
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
X
1
2
3
P