初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习倍半角模型

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习倍半角模型，共14页。试卷主要包含了二倍角模型处理方法，倍半角综合，一些特殊的角度等内容，欢迎下载使用。
1.作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.
2.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.
例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.
【解答】见解析
【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.
则∠ACE＝∠A，AE＝CE，
∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，
又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90º；
【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE.
由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90º，
∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，
∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，
又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90º.
【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE.
∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，
又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90º.
二、倍半角综合
1.由“倍”造“半”
已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.
如图，若，则（）
2.由“半”造“倍”
已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.
如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.
三、一些特殊的角度
1.由特殊角30º求tan15º的值
如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.
2.由特殊角45º求tan22.5º的值
由图可得，.
3.“345”三角形
（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则.
倍半角模型巩固练习（提优）
1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且∠FDE＝45º，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系.
【解答】EF＝AF＋CE，证明见解析
【解析】如图，将△DCE绕着点D顺时针旋转90º得到△DGA.
∵∠EDC＋∠ADF＋∠FDE＝90º，∠FDE＝45º，∴∠EDC＋∠ADF＝45º，
又∵旋转，∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA＋∠ADF＝∠GDF＝∠FDE＝45º，
在△DGF与△DEF中，DF＝DF，∠GDF＝∠EDF，DG＝DE，∴△DGF≌△DEF，∴EF＝GF＝GA＋AF，
∵旋转，∴GA＝CE，∴EF＝AF＋CE.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，点D在CB的延长线上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE＝∠ABD.
（1）求证：AD＝AE；
（2）点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求∠AGE的度数.
【解答】（1）见解析；（2）∠AGE＝90º
【解析】（1）证明：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝∠90º，∴∠DAB＋∠BAE＝90º，
∵∠BAC＝90º，∴∠CAE＋∠BAE＝90º，∴∠DAB＝∠CAE，
∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC，∴△ADB≌△ACE，∴AD＝AE；
（2）如图，延长AG至点H，使得FH＝FA.
∵点F为CD的中点，∴DF＝CF，
∵∠DFH＝∠CFA，∴△DFH≌△CFA，∴DH＝AC，∠H＝∠CAF，∴DH∥AC，∴∠ADH＋∠DAC＝180º，
∵∠BAE＋∠DAC＝∠BAE＋∠DAE＋∠EAC＝90º＋90º＝180º，∴∠ADH＝∠BAE，
∵AB＝AC，∴DH＝AB，
∵AD＝AE，∴△ADH≌△EAB，∴∠DAH＝∠AEB，
∵∠DAH＋∠GAE＝90º，∴∠AEB＋∠GAE＝90º，∴∠AGE＝180º－（∠AEB＋∠GAE）＝180º－90º＝90º.
3.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2.
（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG＝∠AGE.
【解答】（1）；（2）见解析
【解析】（1）∵CE＝CD，点F是CE的中点，CF＝2，∴DC＝CE＝2CF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90º，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得；
（2）如图，过点G作GM⊥AE于点M.
∵AE⊥BC，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，在△DCF与△ECG中，
∵，∴△DCF≌△ECG，∴CG＝CF，CE＝CD，
∵CE＝2CF，∴CD＝2CG，即点G是CD的中点，
∵AD∥GM∥BC，∴M为AE的中点，∴AM＝EM，
∵GM⊥AE，∴AG＝EG，∴∠AGM＝∠EGM，∴∠AGE＝2∠MGE，
∵GM∥BC，∴∠EGM＝∠CEG，∴∠CEG＝∠AGE.
4.如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD.
（1）求证：点F是CD边上的中点；
（2）求证：∠MBC＝2∠ABE.
【解答】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90º，AB∥CD，
∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90º，∴∠EAF＋∠AEB＝90º，∠EAF＋∠BAF＝90º，∴∠AEB＝∠BAF，
∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，
∵点E是边AD的中点，∴点F是CD边上的中点；
（2）延长AD至点G，使得MG＝MB，连接FG、FB，如图所示：
∵BM＝DM＋CD，∴DG＝DC＝BC，
∵∠GDF＝∠C＝90º，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB，∴∠DFG＝∠CFB，∴点B、F、G共线，
∵点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，AD＝CD，∴AE＝CF，
∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90º，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，
∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE.
5.如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，，求MF的长.
【解答】MF＝
【解析】【方法一】∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B＝90º，∴AB＝AM，BE＝EM＝3，
又∵，∴，
设，在△ADM与△DFM中，
又∵△DMF∽△DCE，，即，
，解得；
【方法二】如图，在AB上取点N并使得∠AEN＝∠EAN，连接EN，
由题意可得AN＝NE，且∠BNE＝2∠BAE，
∵BE＝3，，∴，设，则，
在Rt△EBN中，由勾股定理得，解得，
，，
由和得DM＝1，
由和DM＝1得MF＝.
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD.
【解答】见解析
【解析】证明：过点A作AG∥DC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：
由题意可得∠BMD＝∠AHB，∠AMD＝∠HAM，∠HAC＝∠ACD，即，
∵CM＝DM，∴HG＝AH，即点H是AG的中点，
∵AC⊥BC，∴，∴∠HCA＝∠HAC＝∠ACD，
∴∠HCM＝∠HCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACD＝2∠ACD，
∵∠HAM＝∠AMD，∠AMD＝∠BMD，∠BMD＝∠AHB，∠BMD＝∠HMC，∴HM＝AM，
∵MD＝MC，∠AMD＝∠HMC，AM＝HM，∴△AMD≌△HMC，∴∠ADM＝∠HCM＝2∠ACD.
7.如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是 ．
象上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
请证明你的结论．
实际应用
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是 海里（直接写出答案）．
【解答】见解析
【解析】如图1，EF＝BE+DF，
理由如下：在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF；
如图2，EF＝BE+DF，
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
BE=DG∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF=12∠AOB，
∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.2×（60+80）＝168（海里）．
故答案为：168．