初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 圆的辅助线机密

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如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于，
，
，，
，，
，
四边形是正方形，
，
，，
设，，则，
，，
，，
解得，，
的半径为1，
，
故选：．
如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的上一动点，连接、，则面积的最小值是
A．30B．29C．28D．27
【解答】解：过作于，连接，如图，
令，则，令，则，
，，
，，，
则由三角形面积公式得，，
，
圆上点到直线的最小距离是，
面积的最小值是．
故选：．
如图，在中，，，，点是的三等分点，半圆与相切，，分别是与半圆弧上的动点，则的最大值与最小值之差是
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：如图，设与相切于点，连接，过点作垂足为交于，
此时垂线段最短，最小值为，
，，
，
，
，
点是的三等分点，
，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
最小值为，
如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，
最大值，
长的最大值与最小值的差是．
故选：．
如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，
在上取一点，使，连接，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：中，，，，
，
如图，取的中点，连接，，
，，
，
，
，
可得点在以为圆心，半径为的圆上运动，当，，三点在同一直线上时，最短，
可得此时，
在中，，
故的最短值为：，
故选：．
如图，已知正方形的边长为4，点和分别从、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，连接，则长的最小值为
A．B．2C．D．
【解答】解：由题意得：，
四边形是正方形，
，，
在和中，，，，
，
，
，
，
，
点是以为半径的圆上远动，设圆心为，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接交圆于，此时最小，
，
，
由勾股定理得：，
；
故选：．
如图，在边长为1的正方形中，动点、分别以相同的速度从、两点同时出发向、运动（任何一个点到达即停止），、交于点，连接，则线段的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，动点，的速度相同，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点在运动中保持，
点的路径是一段以为直径的弧，
设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，
在中，，
，
，
即线段的最小值为，
故选：．
如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是
A．9B．10C．D．
【解答】解：如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于，
此时垂线段最短，最小值为，
，，，
，
，
，
，
，
，
最小值为，
如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，
最大值，
长的最大值与最小值的和是9
故选：．
如图，的对角线，相交于点，是以为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接，点为的中点，连接，若，，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
点为中点，
，且，
随着点的运动，点的运动轨迹是以为圆心、1为半径的圆，
则当与交于点时，最大，为，
故选：．
如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，，，的半径为为坐标原点），点在直线上，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为
A．B．C．3D．
【解答】解：连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短；
又，，，，
，
，
，
．
故选：．
最新模拟题
如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 ．
【解答】解：，
．
取的中点，连接，则，
点在以为直径的上，
连接，易知当点在线段上时，取得最小值，
如图所示．在中，，，
，．
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
即的最小值为．
故答案为．
如图，在中，，，，是所在平面内一点，且满足，则的最大值为 ．
【解答】解：在中，，，，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
取的中点，连接，如图，则，
点为的延长线于的交点时，最大，
的最大值为．
故答案．
如图，在矩形中，，，点，分别为边，上的动点，且．连接、交于点．连接，过点作于点，连接，则的最小值为 ．
【解答】解：，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
设中点为，连接，如图所示．
则．
当，，三点共线时，最小，此时，
过点作分别交于点，交于点，交于点，
，
为的中位线，
，．
．
，
，．
，．
在中，．
在中，，
，
故答案为．
如图，在中，，，，点是内部的一动点，且满足．则线段的最小值为 ．
【解答】解：，
，
，
，
点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，
在中，，，，
，
．
最小值为8．
故答案为8
如图，正方形的边长为2，点，分别是，边上的动点，且，和相交于点，在点，运动的过程中，的最小值为 ．
【解答】解：在正方形中，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，
由图形可知：当、、在同一直线上时，有最小值，如图所示：
，，
，
，
故答案为：．
等腰直角中，，，为线段上一动点，连接，过点作于，连接，则的最小值为 ．
【解答】解：，是定值，
点是在以为直径的半圆上运动（不包括点和点），
连接，则．
，
当、、三点共线时，最短，此时．
故答案为．
如图，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 ．
【解答】解：，
，
，
，
点在以为直径的上，当、、共线时最小，
在中，，，
，
，
．
最小值为2
故答案为2
如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 ．
【解答】解：取的中点，连接，
，
，
，
，
，
（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
点在以为直径的的一部分弧线上，连接交于点，此时最小，其最小值为，
在中，，，，
，
．
最小值为1．
故答案为1
如图，在中，，，，点是上的一个动点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为 ．
【解答】解：连接，取的中点，作直径为的，连接，，
，
，
，，
，
是的直径，
，
点在上，
在的运动过程中，，且、、三点共线时等号成立，
当、、三点共线时，取最小值为．
故答案为：．
如图，在正方形中，，，分别为，上的点，过点，的直线将正方形的面积分为相等的两部分，过点作于点，连接，则线段的最小值为 ．
【解答】解：连接，交于，
过点、的直线将正方形的面积分为相等的两部分，
过点，
，
，
点在以为直径的半圆弧上，
设的中点为，
连接交半圆弧于，
则此时，最小，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，在矩形纸片中，边，，点为边上的动点（点不与点，重合），将纸片沿折叠，则的最小值为 ．
【解答】解：连接，当点在上时，有最小值，
四边形是矩形，，，
，，
，
由折叠性质得：，，
的最小值，
故答案为：8
如图，在边长为4的正方形中，动点，分别在，上移动，，和交于点，则线段的最小值是 ．
【解答】解：四边形是正方形，
，．
在和中，
，
．
，，
，
．
，
点的路径是一段以为直径的弧，
如图，
设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，
在中，，
，
故答案为．
如图，、是边长为4的正方形的边上两个动点（点不与点、重合），且满足．连接交于点．连接交于点，则线段的取值范围是 ．
【解答】解：在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
的最小值．
点的轨迹只在内部，
，
线段的取值范围是．
如图，中，，，．以为边作正方形．点是边上一动点，连接，过作的垂线，垂足为，连接．则线段的最小值是 ．
【解答】解：如图，点在以的中点为圆心，为直径的圆上，连接与圆的交点即为点，此时线段的值最小，
，，，
，
，
过作，交于，
，，
，
，
则线段的最小值是．
故答案为：．
如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为 ．
【解答】解：如图，
，
点在以为直径的半上，
连接交于点，
当点位于点位置时，线段取得最小值，
，
，
，
，
则，
故答案为：．
如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为 ．
【解答】解：，
，
，
，
，
点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，
在中，，，，
，
．
最小值为4
故答案为：4