2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第二册_101-150--2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第二册专题

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解析：设切点x1，x1+aex，所以切线方程：y=x1+a+1ex1x-x1+x1+aex1
令x=y=0，则有x12+ax1-a=0，因为曲线y=x+aex有两条过坐标原点的切线，故
Δ=a2+4a>0⇒a>0&a0，即a1时有2条，a0在0，+∞上恒成立∴fx在0，+∞上单调递增
(2)当a>0时，由f'x>0得x>1a，由f'x0得x-1，
当a=0时，f'x=-1x+10得x>1a，由f'x1且g2=0，g'x=2lnx-2+1-2x+4≤2x-2-2x+4≤0，∴gx在1，+∞为单调递减函数，∴x∈1，2时，gx>0⇒f'x>0；x∈2，+∞时，gx0，x∈-2a，0，f'x0在x∈0，+∞内恒成立，函数fx单调递增；
(3)若a0，函数fx单调递增.
例4.已知函数fx=lnx+12ax2，a∈R.(1)讨论fx的单调性；
.解：(1)f'x=1x+ax=ax2+1xx>0，
当a≥0时，f'x>0，fx在0，+∞上单增，当a0时，求函数fx的单调区间：
解析：(1)当a>0时，函数fx=-12ax2+1+ax-lnx导数为f'x=-ax+1+a-1x=-x-1ax-1x
若a=1时，f'x≤0，fx单调递减
若a>1时，1a1或00
由f'x=0⇒ax2-x-1=0⇒x1=1-1+4a2a0，
此时当x∈0，1+1+4a2a，f'x0，得00.令gx=x2-2ax+1，则Δ=4a2-4.
(1)当a≤0或Δ≤0，即a≤1时，f'x≥0恒成立，所以fx在0，+∞上单调递增.
(2)当a>0Δ>0，即a>1时，由f'x>0，得00，函数fx单调递增；若x∈x1，x2，f'x0有gx≥0，则f'x≥0，此时，函数y=fx在0，+∞上单调递增；
(2)当Δ=4a2-4a>0，即a>1时，gx=0有两个不等的实根，设为x1、x2，且x10，可得01时，函数y=fx的单调递增区间为0，a-a2-a、a+a2-a，+∞，单调递减区间为a-a2-a，a+a2-a：
例6.已知函数fx=lnx+1+ax-12a>0.
(1)讨论函数fx的单调性：
解析：(1)因为fx=lnx+1+ax-12a>0，所以f'x=1x+1+2ax-1=2ax2+1-2ax+1，若1-2a≥0，即00，
所以函数fx在-1，1-12a上单调递减，在1-12a，+∞上单调递增.
例7.已知函数fx=Inx+x2-2ax+1，a∈R.讨论fx的单调性；
解析：由题设，f'x=1x+2x-2a=2x2-2ax+1x且定义域为0，+∞，记gx=2x2-2ax+1.当a≤0时，因为x>0有gx>0，则f'x>0，所以fx在0，+∞上单调递增：
当00得x∈a-a2-22，a+a2-22，由x>0gx0f'x0， x∈1-1-m2m，1+1-m2m时，f'x0
∴当x∈0，x0时，gx0，∴当a≤0时，fx在0，+∞上单调递减：
当a>0时，fx在0，1+1+4a2a上单调递减，在1+1+4a2a，+∞上单调递增.
4).切线与公切线问题
2024年高考复习——切线及公切线问题——深圳一模第8题
[题型1]：求函数在某点处的切线.
[秒杀策略]：求出导数，代入这个点的横坐标得切线斜率，利用点斜式求出切线方程.
1.(2009年新课标全国卷)曲线y=xex+2x+1在点0，1处的切线方程为___________
[解析]：f'x=exx+1+2，f'0=k=3，切线方程为：3x-y+1=0.
2.(2010年新课标全国卷3)曲线y=xx+2在点-1，-1处的切线方程为
A.y=2x+1
B.y=2x-1
c.y=-2x-3
D.y=-2x-2
[解析]：y=xx+2=x+2-2x+2=1-2x+2，y'=2x+22，k=2，切线方程为：2x-y+1=0，选A.
3.(2010年新课标全国卷)曲线y=x3-2x+1在点1，0处的切线方程为( )
A.y=x-1
B.y=-x+1
c.y=2x-2
D.y=-2x+2
[解析]：y'=3x2-2，k=1，切线方程为：x-y-1=0，选A.
4.(2014年新课标全国卷118)设曲线y=ax-lnx+1在点0，0处的切线方程为y=2x，则a=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
[解析]：y'=a-1x+1，代入x=0得k=2，a=3，选D.
5.若曲线y=x-12在点a，a-12处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=( )
A.64
B.32
C.16
D.8
[解析]：y'=-12x-32，k=-12a-32，切线方程为y-a-12=-12a-32x-a，令x=0，得纵截距为32a-12，令y=0，得横截距为3a，S=12ab=1232a-12×3a=18，∴a=64，选A.
6.(2008年新课标全国卷21)设函数fx=ax+1x+ba，b∈Z，曲线y=fx在点2，f2处的切线方程为y=3.
(1)求fx的解析式；
(2)证明：函数y=fx的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y=fx上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
[解析]：(1)f'x=a-1x+b2，2a+12+b=3a-12+b2=0，得a=1，b=-1，，或a=94b=-83，∵a，b∈Z，fx=x+1x-1，
(2)证明：已知函数y1=x，y2=1x都是奇函数，所以函数gx=x+1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.而fx=x-1+1x-1+1，可知函数gx的图像向右与向上平移一个单位得到函数fx的图象，故函数fx的图象是以点1，1为中心的中心对称图形.
(3)证明：在曲线上任取一点x0，x0+1x0-1，由f'x0=1-1x0-12知过此点的切线方程为
y-x02-x0+1x0-1=1-1x0-12x-x0，令x=1得y=x0+1x0-1，切线与直线x=1的交点为1，x0+1x0-1.
令y=x得y=2x0-1，切线与直线y=x交点为2x0-1，2x0-1；直线x=1与直线y=x的交点为1，1，
S=12x0+1x0-1-12x0-1-1=122x0-12x0-2=2，所围三角形的面积为定值2
[题型2]：求函数过某点处的切线
[秒杀策略]：点在曲线外，设曲线上任意一点Px0，fx0，求出在这一点的切线方程，然后利用切线过曲线外一点，求出曲线上对应点的坐标，进而求出切线方程.
1.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________
[解析]：设点x0，ex0，y'=ex，则k=ex0，切线为：y-ex0=ex0x-x0，过原点得x0=1，切点为1，e，则k=e.
2.(高考题)若曲线y=x-12在点a，a-12处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=( )
A.64
B.32
C.16
D.8
[解析]：y'=-12x-32，k=-12a-32，切线方程为y-a-12=-12a-32x-a，令x=0，得纵减距为32a-12，令y=0，得横䕙距为3a，S=12ab=1232a-12×3a=18，∴a=64，选A.
[题型3]：求两图数的公切线
(1)公切线可求：[秒杀策略]：通过其中一个函数求出公切线，利用其是另一个函数的切线，求出所求值.
(2)公切线不可求：[秒杀策略]：其中一个函数设出任意点，求出过这个点的切线，利用其是另一个函数的切线，求出所求值.
(1)公切线定理的代数表达：
当y=fx与y=gx具有公切线时，设直线与y=fx切于点x1，fx1与y=gx切于点x2，gx2
(1)公切线方程的等量关系f'x1=g'x2=fx1-gx2x1-x2，求参数取范围或者切点的取值范围.
(2)当y=fx与y=gx切于同一点，设切点为Px0，y0，则有f'x0=g'x0fx0=gx0
(3)当y=fx与y=gx为平行曲线，即gx=fx+a-b，则有f'x1=f'x2=fx1-fx2+bx1-x2=ba
(2)函数的切线问题小结如下：
由导数的几何意义可知函数y=fx在x=x0处的导数即是函数在x0，fx0处的切线的斜率.故函数y=fx在x0，fx0处的切线方程是y-fx0=f'x0x-x0，x0，fx0是切点坐标，既在函数y=fx上也在切线方程y-fx0=f'x0x-x0上；与切线有关的考题一般分为以下三类：
(1)过y=fx上的点x0，fx0的切线方程为y-fx0=f'x0x-x0
(2)过y=fx外一点m，n向其作切线，先设切点为x0，fx0，写出切线方程y-fx0=f'x0x-x0，又m，n在切线上，代入得n-fx0=f'x0m-x0
(3)函数y=fx与y=gx的公切线.若切点是同一点，这按照(1)的解题方法.若切点不同，先假设y=fx上的切点Ax1，fx1，得到切线方程y-fx1=f'x1x-x1；
y=gx上的切点Bx2，gx2，得到切线方程y-gx2=g'x2x-x2，因为切线是同一条直线，故得到两个等式f'x1=g'x2、fx1-x1f'x1=gx2-x2g'x2
(3)公切线的几何意义：函数y=fx与函数y=gx是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点，
1.凸性相同的两曲线，在两个曲线f''x>0，g''x>0时，两个函数均为凹函数，且f'x>0，g'x>0时均在递增区间，如图1，若y=fx与y=gx无交点，可以类比圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切线；若y=fx与y=gx有唯一交点时，如图2，可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线；
若y=fx与y=gx有两个交点时，如图3，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线；
凹凸性一致、单调性一致，交点个数
2.同理，凹性不同的两条曲线，在两个曲线f''x>0为凹函数，g''x0均在递增区间，如图4，若y=fx与y=gx有两个交点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线；若y=fx与y=gx有唯一交点时，如图5所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线.若y=fx与y=gx无交点时，如图6所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线.
凹凸性不一致、单调性一致，交点个数
3.平行曲线公切线问题：两平行曲线由于曲率相同，通常单调性单一的两曲线仅有一个交点，故只有一条公切线，类比于两圆的单边外公切线模型.如图7，如图8.
证明：因为：f'x1=f'x2+a⇒x1=x2+a⇒y2-y1=kx2-x1；
fx2+a-b-fx1=f'x1x2-x1⇒-b=-af'x1⇒f'x1=k=ba
典例1.(2016年新课标全国卷1116)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=lnx+1的切线，则b=___________
[解析]：法一：设x0，Inx0+2，y'=1x0=k，切线方程为：y=1x0x+lnx0+1，对于函数y=lnx+1，
y'=1x+1，∵1x0=1x+1，∴切点坐标为x0-1，Inx0，将其代入y=1x0x+lnx0+1中，得x0=12，
∴b=lnx0+1=ln12+1=1-ln2.
法二：y'=Inx+2'=1x=k，x=1k，代入切线得y=b+1，将1k，b+1代入y=lnx+2，得b=1-lnk，同理由y=lnx+1得1-k+b=-lnk，得k=2，∴b=1-ln2.
法三：影子函数法：如果一个函数通过平移可得到另一个函数，那么这两个函数叫做互为影子函数.
y=lnx+2向左平移一个单位，再向下平移两个单位可得到y=lnx+1，有y=kx+b向左平移一个单位，再向下平移两个单位可得到y=kx+1+b-2，因为是公切线，所以y=kx+b与y=kx+1+b-2重合，即k=2，∴1x0=2，切点为12，2-In2，代入直线y=kx+b中，得∴b=1-ln2.
典例2.若直线y=kx+b与曲线C1：y=3+ex和曲线C2：y=ex+2同时相切，则b=( )
A.92-32In32
B.2-In2
c.12-In12
D.3-In3
解析：k=32，故y=3+ex'=ex⇒ex0=32⇒x0=In32，
可得：32x0+b=3+ex0⇒32In32+b=3+eln32⇒b=92-32In32
典例3.若直线y=kx+b是曲线fx=ex-2与gx=ex+2022-2022的公切线，则k=
A.10111012
B.1
C.10121011
D.2022
解析：k=20222024=10111012，分析：
本节例题精讲
例1.若存在a>0，使得函数fx=6a2Inx+4ax与gx=x2-b在这两函数图像的公共点处切线相同，则b的最大值( )
A.1e2
B.12e2
C.13e2
D.3e2
[解析]：设切点x，y，6a2Inx+4ax=x2-b6a2x+4a=2x⇒b=-3a2-6a2In3a=-3a21+2In3a=-13e9ea2In9ea2≤13e2
例2.(20190许昌二模)函数y=x+1+Inx在点A1，2处的切线l，若直线l与函数y=ax2+a+2x+1的图象也相切，则实数a的取值为( )
A.12
B.8
C.0
D.4
[解析]：因为y=x+1+Inx的导数为y'=1+1x，曲线y=x+1+Inx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+1+Inx在x=1处的切线方程：y-2=2x-2，即y=2x，由于切线与曲线y=ax2+a+2x+1相切，y=ax2+a+2x+1可联立y=2x，得ax2+ax+1=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有Δ=a2-4a=0解得a=4，故选D
例3.若存在过点1，0的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切，则a等于( )
A.-1或-2564
B.-1或-214
C.-74或-2564
D.-74或7
[解析]：设切点x0，x03，切线方程：y=3x02x-x0+x03=3x02x-2x03，因为过点1，0，故得：x0=0，x0=32，切点0，0&32，278，当切点为0，0时，由y=0与y=ax2+154x-9相切可得Δ=0⇒a=-2564，同理得a=1.
例4.已知fx=ex(e为自然对数的底数)，gx=lnx+2，直线l是fx与gx的公切线，则直线l的方程为( )
A.y=1ex或y=x-1
B.y=-ex或y=-x-1
C.y=ex或y=x+1
D.y=1ex或y=-x+1
[解析]：设直线l与fx=ex的切点为x1，ex1，与gx=Inx+2的切点为x2，2+Inx2，则
ex1=1x22+Inx2-ex1x2-x1=ex1消去x1⇒x2-11+Inx2=0⇒x1=0x2=1&x1=1x2=1e⇒y=x+1&y=ex.
例5.曲线C1：y2=pxy>0，p>0在点M4p，2处的切线与C2：y=ex+1-1也相切，则12pIn4e2p的值是( )
[解析]：点M4p，2处的切线方程：y=p4x+1，设切点m，em+1-1，则em+1=p4em+1-1=p4m+1⇒m=-1，p=4⇒12pin4e2p=2Ine2=4
例6.已知函数fx=x2，gx=alnx，，其中a≠0，若曲线y=fx和曲线y=gx的公切线有两条，则a的取值范围为( )
A.a0与函数gx=x2+a有公切线，则实数a的最小值为( )
A.-12ln2-12
B.-ln2-1
C.-12
D.-ln2
[解析1]：f'x=1x，设公切线与曲线fx=lnx相切的切点为m，Inm，m>0，则公共切线为y=1mx-m+Irm，即x-my-m+mlnm=0，其与y=x2+a相切，联立消去y得：mx2-x+am+m-mlnm=0，
则Δ=1-4mam+m-mInm=0有靺，即a=14m2-1+lnm有解，令hm=14m2-1+lnm，m>0，
则h'm=-12m3+1m=2m2-12m3，今2m2-12m3=0，得m=22，则hm=14m2-1+lnm在0，22上单调递减，在22，+∞上单调递增，则hmmin=h22=14222-1+ln22=-12ln2-12，
则a≥-12ln2-12，所以实数a的最小值为-12ln2-12.故选：A.
[解析2]：由数形结合思想均为凹凸不一致函数，x2+a≥Inx即可：解出a≥-12In2-12
例9.若曲线C1：y=ax2a>0与曲线C2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为( )
A.0，e28
B.0，e24
C.e28，+∞
D.e24，+∞
[解析1]：选D.因为C1：y=ax2a>0，y'=2ax；C2：y=ex，y'=ex.设公切线与C1：y=ax2a>0切于点x1，ax12，与C2：y=ex切于x2，ex2，则2ax1=ex2=ex2-ax12x2-x1，可得2x2=x1+2，所以a=ex12+12x1；记fx=ex2+12x，则f'x=ex2+1x-22x2，当x∈0，2时，f'x0，当x>e时，h'x0与曲线gx=x2-mm>0有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同，则当m变化时，实数a取以下哪些值能满足以上要求( )
A.1
B.e
c.2e
D.e2
[解析]：设交点为x0，y0，x0>0⇒aex0-2=x02-maex0-2=2x0⇒x02-m=2x0⇒x02-2x0-m=0⇒x0>1由aex0-2=2x0⇒a=2x0ex0-2=2e2⋅x0ex01，所以选A
22.设函数fx=lnx+x，若方程2mfx=x2有唯一的实数解，则正数m=
解析1：由2mlnx+x=x2，得2mlnx+x-x2=0，不妨设hx=2mlnx+x-x2，
h'x=2mx+2m-2x=-2xx2-mx-mm>0，令h'x=0，得x2-mx-m=0，有唯一正根x=x0(其中x0满足x02+mx0-m=0，hx在0，x0单调递减，在x0，+∞单调递增，故x=x0是极小值点，所以hx≥hx0，由题意，则hx0=0，所以2mlnx0+2mx0-x02=0x02+mx0-m=0⇒2lnx0+x0-1=0，所以x0=1，故m=12.解析2：由2mlnx+x=x2得lnxx+1=12mxm>0，令gx=lnxx+1，g'x=1-lnxx2，当x∈0，e时g'x>0，当x∈e，+∞时g'x0，所以hx在0，+∞上单调递增，且h1=0，于是x0=1，故P1，1，kP=1，因为m>0，所以当原方程有唯一解时，直线必与gx的图象相切，此时12m=1，即m=12.则g'x0=kOP，即1-lnx0x02=lnx0+x0x02，所以2lnx0+x0-1=0，设hx=2lnx+x-1x>0，因为h'x=2x+1>0，所以hx在0，+∞上单调递增，且h1=0，于是x0=1，
故P1，1，kOP=1，因为m>0，所以当原方程有唯一解时，直线必与gx的图象相切，此时12m=1，即m=12.
解法三、由2mlnx+x=x2得lnx+xx2=12m，令gx=lnx+xx2，g'x=1-2lnx-xx3=0x>0，解得x=1，所以gx在0，1上单调递增，在1，+∞上单调递减，所以gx的最大值为gxmax=g1=1，即12m=1，解得m=12.
解析四：由2mlnx+x=x2得lnx+x=12mx2m>0，令gx=lnx+x，hx=12mx2，依题意得：两函数的图象相切，设切点为Px0，y0，则g'x0=h'x0gx0=hx0，即1x0+1=1mlnx0+x0=12mx02，消去m得2lnx0+x0-1=0，设φx=2lnx+x-1x>0，因为φ'x=2x+1>0，所以hx在0，+∞上单调递增，且φ1=0，所以x0=1，于是m=12.
解析五：lnx≤x-1≤x2-x(当且仅当x=1取等号)故lnx+x≤x2，∵2mlnx+x=x2有唯一解，∴2m=1，故m=12.
23.已知函数fx=x2+x+2ax0的图象上存在不同的两点A，B，隼得曲线y=fx在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是( )
A.-∞，-18
B.-1，18
C.1，+∞
D.-∞，1∪18，+∞
解析1：[分析]先根据导数的几何意义写出函数fx在点A，B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出2a=14t4-2t2-8t+1，判断单调性，可得出a的取值范围.当x⇒fx单增，⇒⇒⇒(主要针对不涉及奇偶性函数)(短视频平台各路神仙的秒杀)
5含有等式类型：注意一劈为二类型思想或一劈为二思想+奇偶函数的综合如：
fx+f2-x=x-12&fx-f-x=2x3
二.微专题《基于网络上构造导函数不等式秒杀速解的新思考》
随者短视频的广泛普及，知识得荻取相对客易，多种多样的方法高度重合，各路神仙大显身手秒杀导函数不等式问题，让读者应接不睱.笔者结合自身在教学实践中的解题经验，系统归纳，提出了五大名模乘处理导函数不等式问题，对于学生来讲避免了构造，也具备推广性！！！但仍需要我们做大量的题目来领会五大名模的思想.基于此，笔者结合了极其丰富例题进行了展示！希望读者朋友们或学生们仔细体会.
一：常数函数的代表：fx≡C即：fx≡1&≡-1，在此我想说的fx要灵活构造并不满足等于1或-1
例0.(2023年2月四省联考)设函数fx，gx在R的导函数存在，且f'xc
B.c>b>a
C.c>a>b
D.a>c>b
解：不妨令fx≡-1，则迅速解决a=20.1⋅-1，b=In2⋅-1，c=lg218⋅-1，进而分析：选B
例3.函数fx是定义在区间0，+∞上的可导函数，其导函数为f'x，且满足xf'x+2fx>0，则不等式x+2016fx+20165-2011}
B.{x∣x-2，则不等式fx-11，则不等式f2x-20时，fx=-x+2，此时满足题意：由奇函数性质：x∈-∞，-2∪0，2
例15.fx导函数为f'x，对任意x，都有f'x>x-1成立，且f2=1，则fx0；(2)2xf'x+fx2，则不等式fx>12x-1的解集是( )
A.-∞，2
B.2，+∞
C.0，2
D.-∞，1
解析1.构造函数Fx=fx-x2，F'x=f'x-12，由1f'x>2⇒0F2⇔x0成立，则不等式fxx恒成立，则( )
A.f1f-1
C.f1f-1
解析：fx=x+1排除A，C再令fx=-x-1，排除B选D
例23.已知定义在R上的函数y=fx+1-3是奇函数，当x>1时，fx≥x+1x-1-3，则不等式fx-3Irx+1>0的解集为( )
A.1，+∞
B.-1，0∪e，+∞
C.0，1∪e，+∞
D.-1，0∪1，+∞
解析：不妨令fx=x+2，此时满足题意可得选D.
三：指数函数的代表：fx=ex即：在此我想说的fx要灵活构造并不满足等于ex.
例1.定义在R上的函数fx，设其导函数f'x，当x∈R时，恒有1-xfx+xf'x>0且f1=e，则满足xfx-ex>0的解集是( )
解析：不妨令fx=ex，则满足题意，解之得为：x>1
例2.(2020深圳宝安中学高三期末)已知fx是定义在R上的可导函数，且满足x+2fx+xf'x>0，则( )
A.fx>0
B.fx0，选A对于C项，我们不做讨论和分析.
例3.函数fx是定义在R上的增函数，fx+2>f'x，f0=1，则不等式lnfx+2>ln3+x的解集为( )
A.-∞，0
B.0，+∞
C.-∞，1
D.1，+∞
解析：不妨令fx=ex，则满足题意，易知Inex+2>In3+x，解之得选A
例4.定义在R上的函数fx满足：fx>1且fx+f'x>1，f0=5，其中f'x是fx的导函数，则不等式lnfx-1>ln4-x的解集为( )
A.0，+∞
B.-∞，0∪3，+∞
C.-∞，0∪0，+∞
D.-∞，0
解析：不妨令fx=ex+4，则满足题意，易知lnex+3>In4-x，解之得选A
例5.已知fx是可导函数，且f'xf0，f2018e2018>f0
C.f1e>f0，f2018e2018ex的解是( )
A.2，+∞
B.0，1
C.1，+∞
D.0，ln2
解析：令fx=3ex-e2，选A
例18.已知函数fx的导函数为f'x，对任意实数x都有fx-e4xf-x=0，f1=e2，且当x>0财，f'x>2fx，则使不等式e2xf1-xxex的解集为( )
A.-∞，1
B.1，+∞
C.-∞，2
D.2，+∞
解析：不妨令fx=4ex，选D
例21奇函数fx导函数为f'x，且当x∈0，+∞时，xf'x-fx=x，若fe=e，则fx>0的解集为( )
A.-∞，e∪0，e
B.-e，0∪e，+∞
C.-∞，-1∪0，1
D.-1，0∪1，+∞
解析：构造fx=x⋅Inx，选D
例21.已知fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时2f'x-fxex的解集为( )
A.-2，2
B.-12，12
C.-12，2
D.12，2
解析：构造fx≡e，选A
例22.已知定义在-3，3上的函数fx满足fx+e4xf-x=0，f1=e2，f'x为fx的导函数，当x∈[0，3)时，f'x>2fx，则不等式e2xf2-x0⇒x无解.所以综上：x∈0，1
例3.已知fx是定义在R上的偶函数，且f2=0，当x>0时，xf'x-fx>0，则不等式xfx>0的解集是( )
A.-∞，-2∪2，+∞
B.-2，2
C.-2，0∪2，+∞
D.以上都不正确
解析：不妨设：fx=x-2，x>0满足题意：由图可知C正确
例4.设定义在R上的函数fx，对任意的x∈R，都有f1+x=-f1-x，且f2=0，当x>1时，f'x+fx>0，则不等式fx⋅Inx-11时，f'x+fx⇒0可知gx=exfx在1，+∞上单调递增，且g2=0，∴x∈1，2时gx0，于是可得x∈1，2时fx0，又由fx关于1，0中心对称可知∴x∈1，2∪-∞，0时fx0，所以答案为A
解法2.如图构造fx如图：由题意知道fx关于1，0对称，且f2=0，则令
148fx=x，x0时，x⋅Inx⋅f'x0成立的x取值范围是( )
A.-2，0∪0，2
B.-∞，-2∪2，+∞
C.-2，0∪2，+∞
D.-∞，-2∪0，2
解析：fx=-1，x>00，x=01，x0时，fx+xInx⋅f'x4fx的解集为( )
解析：不妨设：fx=-1，x>00，x=01，x0时，4x⋅-1>4⇒x0，不妨设：fx=x1-x，x>00，x=0x1+x，xx-12的解集( )
解析：不妨令：x1>x2≥0，fx1-fx2>x12-x222⇒fx=12x2+x，故fx-f1-x>x-12⇒x>12t
-∞，0
0
0，a
a
a，+∞
g't
+
0
-
0
+
gt
增
极大值3a+b
减
极小值b-fa
增