2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册_161-200---2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册专题

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则NF1-NF2OM=2b-aa.故答案为：2b-aa.
例7.(多选)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P双曲线上一点，且PF1=2PF2，若sin∠F1PF2=154，则下面有关结论正确的是( ).
A.e=6
B.e=2
C.b=5a
D.b=3a
解析：定义+焦点三角形面积公式
由∵PF1-PF2=2a；PF1=2PF2∴PF1=4a，PF2=2a
又sin∠F1PF2=154故cs∠F1PF2=±14
由S△PF1F2=12PF1PF2sinθ=b21+csθsinθ，设∠F1PF2=θ，当cs∠F1PF2=14时12⋅4a⋅2a⋅154=b21+14154即b2=3a2故b=3a，e=2当cs∠F1PF2=-14时同理得b2=5a2故
b=5a，e=6综上答案为：ABCD
例8.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0，过原点作一条倾鿴角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线的离心率为___________
解析：过原点的倾窲角为π3的直线方程为y=3x，解方程组：y=3x，x2a2-y2b2=1⇒x=abb2-3a2，y=3abb2-3a2.或x=-abb2-3a2，y=-3abb2-3a2.则Qabb2-3a2，3abb2-3a2，P-abb2-3a2，-3abb2-3a2，Fc，0，因为以线段PQ为直径的圆过右焦点F，所以FP⋅FQ=0，因此有abb2-3a2-c-abb2-3a2-c+3abb2-3a2-3abb2-3a2=0，结合c2=a2+b2，化简得c4-8c2a2+4a4=0，所以有e4-8e2+4=0，解得e2=4+23⇒e=3+1.
例9.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2a2-y2b2=12a>0，b>0的焦点相同，则双曲线渐近线方程为( )
A.y=±33x
B.y=±3x
C.y=±22x
D.y=±2x
解析：椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2a2-y2b2=12a>0，b>0即x2a22-y2b22=1a>0，b>0的焦点相同，可得：a2-b2=12a2+12b2，即a2=3b2，∴ba=33，∴渐近线方程为：y=±33x.故选A.
例10.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=π4，则双曲线的离心率为___________
解析：设切点为N，连接ON，过F2作F2A⊥MN，垂足为A，如下图：由圆的切线性质可知：ON⊥F1M，ON=a，由三角形中位线定理可知：AF2=2a，AF2⊥F1M，在Rt△AF1F2中，AF1=F1F22-AF22=2b，在Rt△AF2M中，∠F1MF2=π4，所以MA=2a，F2M=22a，由双曲线定义可知：F1M-F2M=2a，即2b+2a-22a=2a，所以b=2a，
而c=a2+b2=3a，因此e=ca=3，即双曲线的离心率为3.
例11.已知双曲线x2a2-y212=1a>0的一条渐近线方程为3x-y=0，左焦点为F，当点M在双曲线右支上，点N在圆x2+y-32=4上运动时，则MN+MF的最小值为( )
A.9
B.7
C.6
D.5
解析：由渐近线方程可知ba=3⇒b2=3a2=12⇒a2=4⇒c=4，设双曲线右焦点为F'4，0，由双曲线定义可知：MF-MF'=2a=4⇒MN+MF=MN+MF'+4则只需求MN+MF'的最小值即可得到MN+MF的最小值，易知圆x2+y-32=4的圆心为C0，3，半径r=2，则MN+MF'min=F'C-r=5-2=3，，MN+MF为3+4=7故选B.
例12.已知F1，F2为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点，直线y=3x与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为( )
A.4+23
B.5+25
C.3+1
D.3+2
解析：因为直线y=3x与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的图上，所以PF1⊥PF2，不妨令P在第一象限内，又O为F1F2中点，F1-c，0，F2c，0，所以OP=12F1F2=c，因为直线y=3x的倾斜角为∠POF2=60∘，所以△POF2为等边三角形，所以PF2=c，因此，在Rt△PF1F2中，PF12=F1F22-PF22=3c，由双曲线的定义可得：PF1-PF2=3c-c=2a，所以双曲线C的离心率为e=ca=23-1=3+1.故选C.
例13.已知F是双曲线E：x2a2-y2b2=1 a>0，b>0的左焦点，过点F且倾斜角为30∘的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC的斜率为( )
A.-3
B.3
C.-33
D.33
解析：由渐近线为y=±bax，设直线方程为y=33x+c，联立得yA=c3+ab，同理可得yB=c3-ab，∵A是FB中点，∴yB=2yA⇒b=3a⇒c=a2+b2=2a∴yA=32a，yB=3a⇒xA=-12a，xB=a，∴xC=xA+xB2=a4，yC=yA+yB2=334a，∴kOC=yCxC=33，故选D.
例14.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOF2S△AOB=2，则双曲线的离心率为
A.2
B.3
C.2
D.5
解析：由题意，取双曲线的一条渐近线y=bax，即bx-ay=0，则过右焦点Fc，0与渐近线直的直线方程为y=-abx-c，即ax+by-ac=0，又由焦点Fc，0到渐近线bx-ay=0的距离为d=F2A=bca2+b2=b，又由S△AOF2S△MOB=2，所以F2A=2AB=b，即AB=12b，又由原点到ax+by-ac=0的距离OA=-aca2+b2=a，在直角△F2OB中，由射影定理得OA2=F2A⋅AB，即a2=b22，又由b2=c2-a2，整理得c2=3a2，选B.
例15.已知A，F分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右顶点和右焦点，线段OF的垂直平分线与双曲线在第一象限的交点为P，过F作与x轴垂直的直线与双曲线在第一象限交于Q，若△PAF的面积与△QOA的面积相等，则双曲线的离心率为( )
A.33-43
B.33+43
C.33-12
D.33+12
解析：由题意，知点P的横坐标为c2，代入双曲线方程得c24a2-y2b2=1，解得yP=bc2-4a22a.又点Q的横坐标为c，代入双曲线方程得c2a2-y2b2=1，解得yQ=b2a.由S△PAF=S△QOA，得12c-a⋅bc2-4a22a=12a⋅b2a，整理，得c2-ac-8a2=0，所以e2-e-8=0，解得e=33+12，故选D.
例16.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的离心率为5，过双曲线C的右顶点A作倾斜角为3π4的直线l与两条渐近线l1，l2分别相交于P，Q两点，且满足AP=λPQ，则实数λ的值是( )
A.12
B.13
C.2
D.3
解析：由题意，得Aa，0，直线l的方程为y=-x+a，则由y=-x+abx-ay=0，得Pa2a+b，aba+b.由y=-x+abx+ay=0，得Qa2a-b，-aba-b，所以AP=-aba+b，aba+b，PQ=2a2ba2-b2，-2a2ba2-b2，因为AP=λPQ，所以-aba+b=λ⋅2a2ba2-b2，即b=2λ+1a，又由e=ca=5，结合c2=a2+b2，得ba=2，则2λ+1=2，即λ=12.
例17.已知椭圆M：x2a2+y2b2=10b>0与双曲线C2：x2a12-y2b12=1a1>0，b1>0的左右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O坐标原点，现有下述四个结论：
(1)F1F2=2MO，则1e12+1e22=2
(2)F1F2=2MO，则1e12+1e22=2
(3)F1F2=4MF2，则e1e2的取值范围是23，32
(4)F1F2=4MF2，则e1e2的取值范围是23，2其中所有正确结论的编号是( )
A.(1)(3)
B.(1)(4)
C.(2)(3)
D.(2)(4)
解析：设MF1=m，MF2=n，焦距为2c，由椭圆定义可得m+n=2a，由双曲线定义可得m-n=2a1，解得m=a+a1，n=a-a1.当F1F2=2MO时，则∠F1MF2=90∘，所以m2+n2=4c2，即a2+a12=2c2，由离心率的公式可得1e12+1e22=2，故(2)正确.当F1F2=4MF2时，可得n=12c，即a-a1=12c，可得1e1-1e2=12，由012，即10的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上F1A⊥F1B，F2A=-23F2B，则C的离心率为___________
解析：方法一：设AF2=2m，则BF2=3m=BF1，AF1=2a+2m，在Rt△ABF1中，9m2+2a+2m2=25m2，则故a=m或a=-3m(舍去)，所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，则AB=5a，故cs∠F1AF2=45，所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2=45，整理得5c2=9a2，故e=ca=355.
方法二：依题意，得F1-c，0，F2c，0，今Ax0，y0，B0，t，因为F2A=-23F2B，则x0=53c，y0=-23t，又F1A⊥F1B，所以F1A⋅F1B==83c2-23t2=0，则t2=4c2，
又点A在C上，则259c2a2-49t2b2=1，整理得25c29a2-4t29b2=1，则25c29a2-16c29b2=1，所以25c2b2-16c2a2=9a2b2，解得5c2=9a2或5c2=a2，又e>1，所以e=355或e=55(舍去)，故e=355.故答案为：355.
例24.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点为F35，0，点N0，2，点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为___________
解析：MN+MF≥20-7=13⇒MN+2a+MF2≥13⇒2a+7≥13⇒a≥3⇒e≤5，所以：e∈(1，5]
例25.已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2-y2=λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，足为N，则ON⋅MN的值为( )
A.λ4
B.λ2
C.λ
D.无法确定
解析：设Mm，n，因为双曲线渐近线为y=±x，所以MN=m-n2，
由勾股定理：ON=OM2-MN2=m2+n2-m-n22=m-n2∴ON∕∕OM=m2-n22=λ2
例26.已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2-y2=λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，足为N，则ON+2MN的最小值为___________
解析：设Mx0，y0，渐近线方程：y=x，由点到直线距离公式得：MN=x0-y02⇒2MN=2x0-y0，由于y=-x-x0+y0y=x⇒Nx0+y02，x0+y02⇒ON=22x0+y0故ON+2MN=22x0+y0+2x0-y0=322x022y0由于：xλ2-yλ2=1，令xλ=1csθ⇒x=λcsθ，yλ=tanθ⇒y=λsinθcsθ，所以：322x0-22y0=32λ2csθ-22λsinθcsθ=32λ-2λsinθ2csθ=t
即：32λ=2λsinθ+2tcsθ=2λ+4t2sinθ+φ⇒32λ2λ+4t2≤1⇒t≥2λ
例27.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切制圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为( )
A.324
B.233
C.2
D.22
解析：设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：x2a2-y2b2=1a>0，b>0.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y=±24x，由ba=24，得离心率e=324.故选A.
例28.双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，点P1，0，直线y=13x+1与C的两条渐近线交于A，B两点，且PA=PB，则C的离心率为( )
A.62
B.52
C.2
D.32
解析：设M为CD中点，xC2a2-yC2b2=1xD2a2yD2b2=1⇒yC-yDxC-xD⋅yC+yDxC+xD=b2a2⇒kCD⋅kOM=b2a2，设N为AB中，点，xA2d2yA2b2=1xB2d2yB2b2=1⇒yA-yBxA-xB，yA+yBxA+xB=b2a2⇒kCD⋅kON=b2a2得：M，N点重合，所以M是AB得的中点，同时是CD的中点，即AC=BD设M为AB的中点，∵PA=PB∴PM⊥AB∴PM：y=-3x+3，y=-3x+3y=13x+1⇒M45，35∵kAB⋅kOM=b2a2=e2-1⇒e=52
例29.F1、F2分别为双曲线C：x2-y22=1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则F2A⋅F2B=
A.4-23
B.4+3
C.6-25
D.6+25
解析：∵l⊥F2B，则△F1BF2为直角三角形，可得BF12+BF22=F1F22=12，由双曲线的定义可得BF1-BF2=2，所以，4=BF1-BF22=BF12+BF22-2BF1⋅BF2=12-2BF1⋅BF2，可得BF1⋅BF2=4，联立BF1-BF2=2BF1⋅BF2=4，解得BF2=5-1，因此，F2A⋅F2B=F2B+BA⋅F2B=5-12=6-25.故选：C.
例30.双曲线x28-y24=1上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为-2，则1kAB+1kBC+1kAC=( )
A.-4
B.-23
C.4
D.6
解析：设Ax1，y1，Bx2，y2，Dx0，y0，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x128-y124=1，x228-y224=1，两式相减，得x1+x2x1-x28=y1+y2y1-y24，即y1-y2x1-x2=2y0x0，即1kAB=2kOD，同理，得1kBC=2kOE，1kAC=2kOF，所以1kAM+1kBC+1kAC=2kOD+kOE+kOF=-4；故选A.
例31.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点Ax1，y1，交双曲线的渐近线于点Bx2，y2且x10，b>0，则a=43，可设C14393，m，B12033，m-24，00的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若PF1=6OP，则C的离心率为( )
A.5
B.2
C.3
D.2
解析：∵PF2=b，PO=a，又因为PF1=6OP，所以PF1=6a，在Rt△POF2中，
csθ=PF2OF2=bc，∵在ΔPF1F2中，csθ=PF22+F1F22-PF122⋅PF2⋅F1F2=bc，∴b2+4c2-6a22b⋅2c=bc⇒b2+4c2-6a2=4b2⇒4c2-6a2=3c2-3a2⇒c2=3a2⇒e=3.
例35.(多选)已知P为双曲线x2a2-y2b2=1右支上的一个动点(不经过顶点)，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，△PF1F2的内切圆圆心为I，过F2做F2A⊥PI，垂足为A，下列结论正确的是( )
A.I在定直线上
B.S△PF1F2S△IFF2为定值
C.OA为定值
D.AP为定值
解析：A正确不作分析；对于C：F2A⊥PI，垂足为A，设F2A∩PF1=E，PA为∠F1PF2的角平分线，△PEF2为等腰三角形，PE=PF2，AE=AF2，因为PF1-PF2=PE+DF1-PF2=DF1=2a，在ΔEF1F2中，OA为中位线，所以OA=12EF1=a，所以OA为定值，故C正确；因为A圆x2+y2=a2在y轴右侧上的动点，P在双曲线x2a2-y2b2=1右支上的一个动，点，结合图象易知AP不是定值.故选：AC.
例36.(2023届高三八省联考)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左右焦点分别为F1和F2，O为坐标原点，过F2作渐近线y=bax的垂线，足为P，若∠F1PO=π6，则双曲线的离心率为( )；又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且△OPQ的面积S△OPQ=23，则双曲线的方程为( )
第一空：解法一：我一眼看到了此题：那就张角定理来一次！由特殊三角形易知：
OP=a，OF2=c，PF2=b，由张角定理：S△PF1F2=S△PF1O+S△PF2O
12PF1⋅bsin2π3=12PF1⋅asinπ6+12b⋅asinπ2⇒PF1=2ab23-a.
在△PF1O中由正弦定理：∵sin∠POF1=sin∠POF2=bc⇒PF1bc=csinπ6⇒a=3
，故b=2所以：e=1+ba2=213
第一空：解法二：由等面积法：S△PF1O=S△PF2O得：12PF1⋅a⋅sinπ6=12b⋅a⋅sinπ2⇒PF1=2b
在△PF1O中有余弦弦定理：32=PF12+a2-c22aPF1⇒e=213；
第二空：由双曲线得切线性质：二级结论秒杀：S△POQ=ab∴ab=23，∵b=2∴a=3，故双曲线的方程为x23-y24=1
例37.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e.设地球半径为R.该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为( )
A.1+e1-er+2e1-eR
B.1+e1-er+e1-eR
C.1+e1-er+2e1+eR
D.1-e1+er+e1+eR
解析：由题椭圆的离心率e=ca∈0，1，(c为半焦距；a为长半轴)地球半径为R，卫星近地，点离地面的距离为r，可得a-c=R+r联立方程组a=r+R1-e，c=r+R1-ee，如图所示，设卫星近地点的距离为m，远地点的距离为n，所以远地点离地面的距离为n=a+c-R=r+R1-e+r+R1-ee-R=1+e1-er+2e1-e故选：A.
例38.已知双曲线C：y23-x2=1的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点M0，7的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为( )
A.±102
B.±2
C.
D.±32
解析：y=kx-2y23-x2=1⇒k2-3x2-4kx+1=0；y=kx-2x-m2+y2=m2+7⇒k2+1x2-2m+4kx-3=0，上述两个方程是同解方程：k2-3k2+1=-4k-2m+4k=1-3⇒k=±2
例39.(多选)已知曲线C：mx2+ny2=1，下列结论正确的是( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
B.若m>0>n，则C是双曲线，其焦点在x轴上
C.若m=0，n>0，则C是两条直线
D.若m=n，则C是圆
解析：对于A：当m>n>0时，mx2+ny2=1⇒x21m+y21n=1，由m>n>0⇒mmn>nmn>0⇒1n>1m>0，所以C是椭圆，其焦点在y轴上，因此本选项不正确；对于B：当m>0>n时，mx2+ny2=1⇒x21m+y21n=1，由m>0>n⇒mmn0的左右焦点分别为F1，F2，点P是E右支上一点，∠F1PF2=1200，O是坐标原点，∠POF1=120∘，则E的离心率为( )
A.32+102
B.32+10
C.2+102
D.10-2
解析：△PF1F2∼△POF1，OF1PF1=PF1F1F2⇒cPF1=PF12c⇒PF1=2c，在ΔPF1F2由余弦定理：
cs∠F1PF2=2c+2c-2a-4c222c2c-2a=-12⇒e=32+102.
例41.双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左右焦点分别是F1，F2，若双曲线上存在点P，满足PF1⋅PF2=-2a2，则双曲线的离心率的取值范围为( )
解析：(法一)
PF1⋅PF2=PF1⋅PF2cs∠F1PF2=-2a2⇒cs∠F1PF2∈[-1，0).
F1F22=PF1-PF22+2PF1⋅PF2-2PF1⋅PF2⇒4c2=4a2+2-2a2cs∠F1PF2-2-2a2.
即c2=2a2-a2cs∠F1PF2⇒-1≤cs∠F1PF2=a22a2-c20的焦点为F，与双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一条渐近线交于P(异于原点)抛物线的准线与另一条渐近线交于Q.若PQ=PF，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±3x
D.y=±2x
解析：双曲线C：x2a2-y2b2=1的渐近线方程为：y=±bax设点P在第一象限，由y=baxy2=2px，可得xP=2a2pb2，yP=2apb由y=-baxx=-p2，可得yQ=pb2a由PQ=PF，又由抛物线的定义有：点P到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离.所以PQ直于准线，即pb2a=2apb，则b2=4a2，也即是b=2a所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x故选：D
例44.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=45，AB⊥BD，则E的离心率为( )
C.142
D.5
A.52
B.102
解析：由题意知延长CA，DB则必过点F1，如图：由双曲线的定义知AF1-AF2=2aBF1-BF2=2a，又因为cs∠BAC=-45，AB⊥BD，所以cs∠F1AB=45，设AF1=5m，则AB=4m，BF1=3m，因此AF2=5m-2aBF2=3m-2a，从而5m-2a+3m-2a=4m，所以a=m，又因为BF12+BF22=F1F22，所以3a2+a2=2c2，即10a2=4c2，即e=102，故选B.
例45.动圆P过定点M0，2，且与圆N：x2+y+22=4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A.y2-x23=1y0△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边ABBCAC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3，若直线AB，BC，AC的斜率之和为-1，则1y1+1y2+1y3的值为B
A.-12p
B.-1p
c.1p
D.12p
例2.过抛物线C：y2=4x焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点，设M-1，m满足∠AMB=90∘，则m为(C)
A.-12
B.-2
C.2
D.12
例3.过抛物线y2=2pxp>0上一定点Px0，y0y0>0，作两条直线分别交抛物线于Ax1，y1，Bx2，y2，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，y1+y2y0的值为(B)
A.-1n
B.-2
C.2
D.无法确定
例4.已知点P-3，3，过点M3，0作直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=A
A.-1
B.-2
C.2
D.无法确定
解析：本题可以用特殊值做(设斜率不存在时)很容易求：但也可以硬解定理做.y=kx-3=kx-3ky2=4x
k1+k2=y1-3x1+3+y2-3x2+3=y1x2+x1y2+3y1+y2-3x1+x2-18x1x2+3x1+x2+9故：k1+k2=4⋅-3kk2+3⋅4k-3⋅4-2k⋅-3kk2-18-3kk2+3⋅4-2k⋅-3kk2+9=-1.
例5.(2022年新高考I卷11题多选压轴)已知O为坐标原点，点A1，1在抛物线C：x2=2pyp>0上，过点B0，-1的直线交C于P，Q点，则
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.OP⋅OQ>OA2
D.BP⋅BQ>BA2
解析：对A.因为A1，1在抛物线C：x2=2pyp>0上，故12=2p⋅1⇒p=12⇒x2=y，故准线为y=-14A错.由AB方程：y=2x-1，联立抛物线，y=2x-1y=x2⇒x2-2x+1=0⇒Δ=0，所以B正确！设Px1，y1，Qx2，y2，由y=kx-1y=x2⇒x2-kx+1=0⇒x1+x2=k，x1x2=1，y1y2=1，故∴OP⋅OQ=x12+y12⋅x22+y22>x1，y1x2，y2=x1⋅x2+y1y2=2=OA2，所以C正确！对于D项
因为BP=1+k2x1BQ=1+k2x2，所以BP⋅BQ=1+k2x1x2=1+k2>5，而BA2=5，故D正确.故选：BCD
例6.已知以F为焦点的抛物线C：y2=2pxp>0经过点1，-2，直线l：y=kx-1与C交于AB两点(其中点A在x轴上方)，若AF=3+22FB，则l在Y轴上的截距为( )
A.2
B.1
C.-12
D.-1
解析：C：y2=2pxp>0经过点1，-2，所以4=2p，解得p=2，即抛物线方程为y2=4x，焦点为F1，0，设Ax1，y1，Bx2，y2y1>0，y20，∴y1y2=-4，AF=3+22FB，即AF=3+22FB，∴-y1=3+22y2，∴4y2=3+22y2，∴y2​2=43+22=12-82=4x2，∴y2=2-22，x2=3-22，∴k=0-2-221-3-22=1，即直线方程为y=x-1，故l在y轴上的截距为-1，故选D
例7.已知直线l(斜率大于0)的倾斜角的正弦值为22，在x轴上的截距为-2，直线l与抛物线C：x2=2pyp>0交于A，B两点若AB=16，则p=___________
解析：依题意，直线l的倾斜角为45∘，斜率k=1，直线l的方程为：y=x+2，由y=x+2x2=2py得x2-2px-4p=0，设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1+x2=2p，x1x2=-4p，从而有AB=1+12x1-x2∣=2⋅x1+x22-4x1x2=2⋅4p2+16p=16，即p2+4p-32=0，因p>0解得p=4.故答案为：4
例8.已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，点P是抛物线C上位于第一象限内的一点，M为线段PF的中点，MQ直y轴于点Q，若直线QF的倾斜角为α，α∈π2，π，则直线PF的倾斜角为( )
A.α
B.2α
C.π-α
D.2α-π
解析：抛物线的定义：可得QM=MF，(抛物线焦半径为直径的圆与y轴相切)最终分析可选D.
例9.点A，B，C在抛物线y2=4x上抛物线的焦点F在AB上，AC与x轴交于点D，AF=AD，AB⊥BC，则FD=
A.32
B.4
C.23
D.3
解法一：斜率互补结论法：设Ay124，y1，y=2x⇒y'=1x∴kA切=2y1，所以
kBC=-2y1，kAF=y1y124-1，∵AF⊥BC⇒kBC⋅kAF=-1⇒y12=12=4x1⇒x1=3，FM=2=MD⇒FD=4.
解法二：设Ay124，y1，By224，y2，Cy324，y3⇒kAB=y2-y1y224-y124=4y1+y2同理：
kBC=4y2+y3；kAC=4y1+y3⇒kAB+kAC=4y1+y2+4y1+y3=0⇒y2+y3=-2y1kBC⋅kAB=4y2+y3⋅4y1+y2=-1⇒y1y1+y2=8⇒y12+y1y2=8
而在抛物线中焦点弦有结论：y1y2=-p2=-4⇒y12=12=4x1⇒x1=3⇒FD=4
解法三：理论拓展：点A，B，C在抛物线y2=2pxp>0上，如图不妨设Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3则有：kAB=2py1+y2，kAC=2py1+y3，kBC=2py2+y3，⇒1kAB+1kAC=2y1+y2+y32p=y1p+1kBC，对于此题来说：由于：kAB+kAC=0，故1kAB+1kAC=y1p+1kBC=0，所以kBC=-py1=-2y1因为∵kAB=y1y124-1，kBC=-2y1⇒y1y124-1⋅-2y1=-1⇒y1=23⇒x1=3所以FD=4
拓展：一般地，若闭合折线A1，A2，A3，⋯A2n+1，内接抛物线y2=2pxp>0，且Ax0，y0则，1kA1A2-1kA2A3-⋯1kA2nA2n+1+1kA2n+1A1=y0p
例10.已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2pxp>0上，且抛物线的焦点F为△ABC的重心，若点A2，8，求BC所在的直线方程？
解析：不妨设：Bx1，y1，Cx2，y2，由于因为A2，8在抛物线上，故抛物线方程：y2=32x，再因为重心与焦点重合故：x1+x2+23=8，y1+y2+83=0，即x1+x2=22，y1+y2=-8
所以：y12=32x1y22=32x2⇒y12-y22=32x1-x2⇒kBC=32y1+y2=-4，又因为BC的中点为11，-4，故直线BC方程为：4x+y-40=0
例11.已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F1，0，过F的直线l交抛物线于A，B两点，则AF4-9BF的最小值( )
解析：由二级结论：1AF+1BF=2p=1，所以AF4-9BF=AF4+9AF-9≥2AF4⋅9AF-9=-6当且仅当AF=6时取等！
例12.过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P，Q两点，交圆x-12+y2=1于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则1PM+4QN的值不可能为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：由二级结论：1PF+1QF=2p=1，所以：1PM+1QN=1PF-1+4QF-1=1PF-1+4PFPF-1-1≥4，选A，当且仅当1PF-1=41PF-1⇒PF=32，等号成立
例13.抛物线C：y2=8x焦点的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点(从上到下依次为A，C，D，B)，若AC⋅BD≥FC⋅FD，则该圆的半径r的取值范围为( )
解析：AF-rBF-r≥r2∴AF⋅BF≥rAF+BF∴1r≥1AF+1BF=2p=12∴r∈(0，2]
例14.如图：抛物线方程：x2=2pyp>0，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，且l1，l2相交于点P，则有哪些结论呢？
结论1：若底边AB过内定点0，m，则交点P的轨迹为y=-m
证明：设Px0，y0，切点弦AB：xx0=py+y0，又因为AB过内定点0，m，故y=-m
结论2：PA⊥PB
证明：y=12px2⇒y'=xp⇒kPA=x1p，kPB=x2p⇒kPA⋅kPB=x1x2p2=-p2p2=-1，故PA⊥PB
结论3：PF⊥AB
证明：不妨取AB的中点Q，PQ//y轴.
yy1=px+x1yy2=px+x2⇒Px1+x22，x1x22p， kAB=x1+x22p，kPF=x1x22p-p2x1+x22=-2px1+x2∴kAB⋅kPF=-1∴PF⊥AB
结论4：AF=p1-csθ，BF=p1+csθ，⇒AB=2pcs2θ，⇒1AF+1BF=2p
结论5：S△PAB=x1-x238p
证明：∵AB方程：y=x1+x22px-x1x22p，故yQ=x1+x22px1+x22-x1x22p=x1+x22-2x1x24p=x12+x224p
PQ=x12+x224p-2x1x24p=x1-x224p，故S△PAB=12⋅PQ⋅x1-x2=x1-x238p
例15.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，且l1，l2相交于点P，设AB=m，则PF=
解析：本题考查：阿基米德三角形过焦点的情形！几个常识
(1)AB恒过F0，1，P在准线x=-1上，
(2)设AB的倾斜角为θ，则AF=p1-sinθ，BF=p1+sinθ，AB=2pcs2θ
(3)1AF+1BF=2p=1⇒AF+BF=AF⋅BF
(4)PA⊥PB，PF⊥AB⇒PF2=AF⋅BF=m⇒PF=m
例16.已知抛物线C：y2=4x，其焦点为F，P直线x=-2上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则( )
A.k1⋅k2=-12
B.k1-k2=2
C.AB过定点2，0
D.AF⋅BF的最小值为8
解法1：y2=2pxy=kx+m⇒kx+m2-2px=0⇒k2x2+2km-px+m2=0⇒Δ=4k2m2-2kmp+p2-4k2m2=0⇒p=2km∴2km=2⇒m=1k⇒y=kx+1k，又因为过-2，u⇒u=-2k+1k∴2k2-uk-1=0因为k1，k2是方程的两根，所以k1k2=-12，所以k1-k2=k1+12k1≥212=2
因为y=2x∴y'=1x，⇒k1=1x1，k2=-1x2⇒k1k2=-1x1x2=-12⇒x1x2=4由抛物线的平均性质：x1x2=t2=4⇒t=2，所以AB过定点2，0，AF⋅BF=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=5+2x1x2=9
解法2：坐标同构：y2=2px上一点x0，y0切线方程yy0=px+x0
yy1=2x+x1yy2=2x+x2⇒uy1=2-2+x1=2x1-4uy2=2-2+x2=2x2-4⇒u2y2=2x-42⇒u24x=4x2-16x+16.即：4x2-4u2+16x+16=0⇒x2-u2+4x+4=0⇒x1x2=4
拓展：如图：
解析：y2=2pxy=kx+m⇒kx+m2-2px=0⇒k2x2+2km-px+m2=0⇒Δ=4k2m2-2kmp+p2-4k2m2=0⇒p=2km⇒m=p2k⇒y=kx+p2k，又因为过-t，u⇒u=-tk+p2k∴2tk2-2uk-p=0，k1，k2是方程两根，∴k1k2=-p2t=2p⋅12x1-2p⋅12x2=-2p⋅14x1x2=-p2x1x2所以：x1x2=t2，若t=p2(准线)kPA⋅kPB=-1⇒PA⊥PB，进一步讲：P在x=-t上运动时，kPA⋅kPB=-p2t，AB必过定点t，0
例17.已知抛物线y2=16x，过点M2，0的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若∣AF=12，O为坐标原点，则四边形OAFB的面积是( )
A.202
B.102
C.52
D.522
解析：抛物线y2=16x准线方程为x=-4，设Ax1，y1，Bx2，y2由抛物线的定义，x1+4=12，x1=8，y12=16×8，由抛物线的对称性，不妨令y1=82，设直线AB的方程为x=my+2，由x=my+2，y2=16x，得y2-16my-32=0，y1y2=-32，∴y2=-22，四边形OAFB的面积S=12OF⋅y1-y2=12×4×102=202，故选：A.
例18.已知抛物线x2=4y在点M，N处的切线相交于点P-1，-2求直线MN的方程？
解析：设Mx1，y1，Nx2，y2，y=14x2⇒y'=12x，所以l：PM方程：y=12x1x-x1+y1，又因为过P-1，-2，所以x1+2y1-4=0，同理：l：PN的方程：x2+2y2-4=0 MN方程：x+2y-4=0
例19.(多选)已知动圆Q过点0，1，且与直线l：y=-1相切，记动圆Q的圆心轨迹为Γ，过l上一动点D作曲线Γ的两条切线，切点分别为A、B，直线AB与y轴相交于点F，下列说法正确的是( )
A.Γ方程为x2=4y
B.直线AB过定点
C.∠AOB为钝角(O为坐标原点)
D.以AB为直径的圆与y=-1相交
解：设圆心Qx，y，由于动圆Q过点0，1，且与直线l：y=-1相切，可得x2+y-12=y+1，整理得x2=4y，故曲线Γ的方程为x2=4y，故选项A正确：设Ax1，y1，Bx2，y2，Dx0，-1，且x1≠x2，由于x2=4y，得y=x24，x∈R，所以导函数y'=x2，所以切线DA的方程为：y-y1=12x1x-x1，即y=12x1x-12x12+y1，又x12=4y1，
所以y=12x1x-y1，同理切线DB的方程为：y=12x2x-y2，又切线DA，DB都经过点D，所以y1=12x0x1+1，y2=12x0x2+1，故直线AB方程为y=12x0x+1，所以直线AB过定点0，1，故选项B正确；联立y=12x0x+1x2=4y消y整理得x2-2x0x-4=0，所以x1+x2=2x0，x1x2=-4则OA⋅OB=x1x2+y1y20的焦点是F，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，且∠PFQ=2π3，线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则PQd2的最小值为
A.3
B.33
C.3
D.13
解析：C.，不妨设：PF=m，QF=n
PQd2=m2+n2-2mncs1200PP'+Q'Q22=m2+n2+mnm+n22=4⋅m2+n2+mnm2+n2+2mn=41-1mn+nm+2≤41-14=3.
例22.已知抛物线E：x2=2pyp>0的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，F为AC的中点，且AF=3，则p= ；设点M是抛物线E上的任意一点，抛物线E的准线与y轴交于N点，△FMN中MN=mMF，m∈R，则m的最大值为( )
解析：由题知FN为△ACA'中位线，FN=p⇒AA'=2p=3⇒p=32
因为E：x2=3y，m=MNMF=MNMM'=1sinθ，当θ超小，则m越大，下面求相切状态时θ最小，y=x23⇒y'=23x，设切点x0，x023，斜率为x023--34x0-0=2x03⇒x0=32⇒y0=34⇒tanθ=34+3432=1⇒sinθ=22⇒mmax=2
例23.(多选)已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是( )
A.若A4，4，则AF=5
B.若E2，3，则AE+AF的最小值为5
C.以线段AB为直径的圆与直线y=-1相切
D.若AF=3FB，则直线AB的斜率为±3
解：对于C，设点A，B的坐标分别为x1，y1，x2，y2，直线AB的方程为y=kx+1，联立方程x2=4yy=kx+1，消去y得x2-4kx-4=0，则x1+x2=4k，x1x2=-4，y1+y2=4k2+2，则AB=y1+y2+2=4k2+4，线段AB的中点为C2k，2k2+1，点G到直线y=-1的距离为d=2k2+2=12AB，所以以AB为直径的圆与直线y=-1相切，故C正确；本题：AC正确！其他选项不做分析！
例24.(多选)如图抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为F，过点Mp，0的直线l1，l2与E分别相交Ax1，y1，Bx2，y2和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB直于x轴时，AF=3，下列结论正确的景( )
A.E的方程为：y2=4x
B.y1y2=-12
C.若AD，BC的斜率分别为k1，k2，则k1=3k2
D.若直线AD，BC的倾斜角分别为α，β，则tanα-β的最大值为24
解析：先多说一步小结论：抛物线y2=2pxp>0上任意两点Ax1，y1，Bx2，y2，直线与x轴交点x0，0，有kAB=2py1+y2；y1y2=-2px0；x02=x1x2；当直线AB垂直于x轴时，AF=3，即p+p2=3⇒p=2⇒y2=4x；根据上面的结论：y1y2=-2px0=-2pxM=-8；设C的纵坐标为y3，设D的纵坐标为y4，y1y4=-2pxF，y3y4=-2pxM⇒y1y2y1y4=y2y4=xMxF=y3y4y1y4=y3y1=y2+y3y1+y4(等比性质)=2pk22pk1=k1k2，即：k1k2=xMxF=2，对于D：tanα-β=k1-k21+k1k2=k21+2k22≤k222k22=24，故选AD
例25.(多选)已知抛物线C：x2=2pyp>0焦点F到准线的距离为4，直线l与C交于P，Q两点，且PQ=2PR，R4，6，若过点P，Q分别作C的两条切线交于点A，则( )
A.AF=42
B.PQ=12
C.PQ⊥AF
D.以PQ为直径的圆过点A
解析：由题意得，抛物线C：x2=8y，设Px1，y1，Qx2，y2，x1+x2=8，y1+y2=12，且x12=8y1x22=8y2⇒y1-y2x1-x2=1⇒l：y=x+2，与抛物线C的方程联立整理得x1x2=-16.由y'=14x得切线：AP：y=14x1x-18x12，切线AQ：y=14x2x-18x22，联立切线方程可得x=x1+x22=4y=x1x28=-2⇒A4，-2，而F0，2，故AF=42，故A正确，PQ=y1+y2+4=16，故B错误；因为kAF⋅kl=-1×1=-1⇒PQ⊥AF，故C正确，因为AR=8=12∣PQ⇔AP⊥AQ，故D正确，故ACD
例26.(多选)已知直线l：y=kx-p2与抛物线C：y2=2pxp>0相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M-1，-1是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )
A.p=2
B.k=-2
C.MF⊥AB
D.FAFB=25
解析：直线l：2kx-2y-kp=0整理可得k2x-p-2y=0，恒过p2，0，即过抛物线的焦点F，所以抛物准线方程为x=-p2，点M-1，-1是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，M在抛物线的准线上，所以-p2=-1，解得p=2，所以A正确，焦点坐标为1，0，直线l整理可得y=kx-1，设Ax1，y1，Bx2，y2，联立直线与抛物线的方程y=kx-1y2=4x，整理可得：k2x2-2k2+4x+k2=0，x1x2=1，x1+x2=2k2+4k2，y1+y2=kx1+x2-2=4k，y1y2=-4x1x2=-4，由题意可得MA⋅MB=0，即整理可得x1x2+x1+x2+1+y1y2+y1+y2+1=0，代入可得1+2k2+4k2+1-4+4k+1=0，解得：4k2+4k+1=0，解得k=-2，所以B正确，所以x1x2=1，x1+x2=3，F1，0，所以kAF=0+11+1=12，kAB=k=-2，所以kAI⋅kAB=-1，所以MF⊥AB，所以C正确，由x1x2=1，x1+x2=3，得x1=3-52，x2=3+52，所以FAFB=x1+1x2+1=3-52+13+52+1≠25，所以D错误，故选ABC.
7.抛物线的一组重要模型和抛物线平均性质
例1.(多选)过点Aa，0a0与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若FA=2FB，则k=( )
A.13
B.23
C.23
D.223
解析1：延长AF交抛物线于B'，由上面的试题分析，由等扁定理，可知：△BMF≅△B'MF
故AFFB'=2⇒csθ=2-12+1=13⇒sinθ=223⇒kAB=sinθ=223
解析2：抛物线的平均性质：
由抛物线的定义可知：BB'AA'=12⇒BB'为△MAA'的中位线，即B为MA的中点，不妨设B点横坐标为x0，则A点的横坐标为2x0+2，由抛物线的平均性质有：
x02x0+2=-22⇒x0=1⇒B1，22⇒k=22-01--2=223.
例5.在直角坐标系中xy中，曲线C：y=x24与直线l：y-kx+aa>0交于M，N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
解析：设存在P0，m，要证∠OPM=∠OPN即证：
y1-mx1+y2-mx2=0⇒y1x2+x1y2-mx1+x2x1⋅x2=0⇒x124x2+x1x224-mx1+x2x1⋅x2=0⇒x1⋅x2=4m.
又因为y=x24y=kx+a⇒x1x2=-4a 故：m=-a，故存在P0，-a总有∠OPM=∠OPN
例6.已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点M2，0的直线交抛物线C于A，B两点，若AM=2MB且AF=5，则BF=
解析：如图不妨设Bx1，-2px1，因为AM=2MB，即BM=12MA，∵M2，0不妨设A的横坐标为x2，所由向量的定比分点得：2=x1+12x21+12⇒x2=23-x1
再由抛物线得平均性质：x1x2=22=4⇒2x13-x1=4⇒x1=1⇒x2=2，B1，-2
又因为AF=5=x2+p2⇒2+p2=5⇒p=2，故F1，0，
所以：BF=1-12+-2-02=2
例7.抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F斜率为3的直线与C交于点M，N(M在x轴上方)，则AMAN=( )
A.32
B.2
C.52
D.3
解析：由等角定理：和角平分线性质，选D
例8.(多选)(2022年新高考I卷10题压轴)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点Mp，0，若AFAM，则( )
A.直线AB的料为26
B.OB=OF
C.AB>4OF
D.∠OAM+∠OBM2p=4OF，故C正确；OA2=33p216，OB2=7p29，AM2=25p216，BM2=10p29，AB2=625p2144，∵OA2+OB20与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若FA=2FB，则k=
A.13
B.23
C.23
D.223
答案：选D
例.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB=22，则AB=
解析：如上图sinθ=AHAF=PMPA=sin∠PAM=tanα，同理sinθ=tanβ，所以tanα+β=22⇒tanα=sinθ=22⇒AB=2psin2θ=8
例.过点Q-2，m作抛物线y2=8x的两条切线，切点分别为A，B，QA，QB分别交于y轴于C，D两点，若S△QAB=6S△QCD，则m的值为C
A.
B.±6
C.±22
D.±23
解析：易求得点A处的切线为y1y=px+x1，点B处的切线为y2y=px+x2，解得两切线的交点为C'-p2，y1+y22，得证.即Q点为MN中点.(说明，若Q点为MN中点，则可证明AQ，BQ为抛物线的切线)那么：很容易可证四边形CQDF为矩形！(提示可先证∠MFN=90∘，又因Q为中点，利用全等证∠QCF=90∘)
所以S△QAB=12AB⋅QF=12⋅2psin2θ⋅AF⋅BF=12⋅2psin2θ⋅p1-csθ⋅p1+csθ=p2sin3θ
因为∠MAQ=∠BAQ=θ2⇒S△QCD=12CQ⋅QD=12p2csθ2⋅p2sinθ2=p24sinθ，
S△QAB=6S△QCD可得：sinθ=63⇒tanθ=2，又因为QF⊥AB，所以m-0-2-2⋅2=-1⇒m=22，选C
解法二：由解法一：很容易可证四边形CQDF为矩形！设AB直线方程y=kx-2=kx-2y2=8x
由硬解定理易得：
AB=2pk2+1k2=8+8k2，又因为QF⊥AB，即：m-0-2-2⋅k=-1⇒k=4m，所以AB=m22+8，
QF=m2+16所以：S△QAB=12AB⋅QF=12m22+8m2+16=m2+16m2+164
因为：A处的切线为y1y=px+x1，点B处的切线为y2y=px+x2，
令x=0⇒yM=px1y1，yN=px2y2⇒MN=yM-yN=px1y1-px2y2=px1y2-px2y1y1y2=px1y2-px2y1y1y2=py122py2-py222py1y1y2=y122y2-y222y1y1y2=12y1-y2=12y1+y22-4y1y2∣=122pk2+4p2
=122p1k2+1=pm216+1=4m216+1=m2+16，所以S△QMN=12⋅p2⋅m2+16=m2+16.
所以：由S△QAB=6S△QCD得：m2+16m2+164m2+16=6⇒m=±22
点评：此题是笔者提供的原创解法，深刻考察了抛物线的多条结论，是很值得深入研究且不可多得的综合试题！
例.已知过抛物线C：y2=3x的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线OA(O为坐标原点)与抛物线的准线相交于点D，则△ABD面积的最小值为( )
解析：设Ax1，y1，Bx2，y2，kOA=y1x1，lOA：y=y1x1x⇒yD=-p2y12因为：y1y2=-p2⇒y2=-p2y1，所以yD=y2S=12BD⋅BA⋅sin∠ABD=12⋅p1+csθ⋅2psin2θ⋅sin2θ=p2sinθ1+csθ
=p2sin2θ1+csθ2=p216sin2θ2⋅cs2θ2⋅cs2θ2⋅cs2θ2=p2163⋅3sin2θ2⋅cs2θ2⋅cs2θ2⋅cs2θ2
=p21633sin2θ2+cs2θ2+cs2θ2+cs2θ244=4p233，因为p=32时，代入可得：S△ABD≥3
另解：求导设fθ=sinθ1+csθ，θ∈0，π2，f'θ=2cs2θ+csθ-1=csθ+12csθ-1=0
∴csθ=12⇒θ=π3，当θ∈0，π3，f'θ>0，当θ∈π3，π2，f'θ