湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期第一次学情检测数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期第一次学情检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则如图中的阴影部分表示( )
A.B.C.D.
2．在等差数列中,,,则( )
A.4B.5C.6D.8
3．若复数z满足 , 其中i为虚数单位, 则( )
A.0B.-1C.D.1
4．已知向量,的夹角为,且,,则( )
A.B.C.D.
5．已知函数,则下列结论错误的是( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于点成中心对称
C.的图象关于直线对称
D.的单调递增区间是
6．式子的展开式中,的系数为( )
A.3B.5C.15D.20
7．已知函数,则关于t的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为,往杯盏里面放入一个半径为的小球,要使小球能触及杯盛的底部（顶点）,则最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数,满分为100分）作为样本进行统计,样本容量为n,按照,,,,的分组作出频率分布直方图如图所示,其中,成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的是( )
A.图中
B.样本容量
C.估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分
D.该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号,则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分
10．如图,在棱长为2的正方体中,M,N,F分别是棱,,的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面
B.到平面的距离是
C.异面直线BF,AN所成角的余弦值为
D.平面将正方体分成两部分的体积比为
11．伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍,这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为,离心率为,,是椭圆C的两个焦点,P为椭圆C上的动点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的标准方程可以为
B.若,则
C.的最小值为
D.有且仅有一个点P,使得
三、填空题
12．某班两位老师和6名学生出去郊游,分别乘坐两辆车,每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上,共有______________种分配方法.
13．若等比数列的各项均为正数,且,则__________.
14．若不等式在上恒成立,e是自然对数的底数,则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
15．如图,在四棱锥中,平面,为矩形,M,N分别是,的中点.
（1）证明：平面.
（2）若,求平面与平面夹角的余弦值.
16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求B;
（2）已知,D为边AB上的一点,若,,求AC的长.
17．党的十八大以来,全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度,促进居民收入增长的各项措施持续发力,居民分享到更多经济社会发展红利,居民收入保持较快增长,收入结构不断优化,随着居民总收入较快增长,全体居民人均可支配收入也在不断提升.下表为某市2014~2022年全体居民人均可支配收入,将其绘制成散点图（如图1）,发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
参考数据：.
参考公式：对于一组数据,,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
（1）设年份编号为x（2014年的编号为1,2015年的编号为2,依此类推）,记全体居民人均可支配收入为y（单位：万元）,求经验回归方程（结果精确到0.01）;
（2）为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析,某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析,将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
18．已知函数.
（1）讨论函数的单调区间;
（2）当时,恒成立,求实数a的取值范围.
19．如图,已知点和点在双曲线上,双曲线C的左顶点为A,过点且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P,Q两点,直线,与圆分别交于M,N两点.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）设直线,的斜率分别为,,求的值;
（3）证明：直线过定点.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：D
解析：由得,
所以,
故选：D.
4．答案：B
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析：,
的展开式通项为,
的展开式通项为,
由,可得,
因此,式子的展开式中,的系数为.
7．答案：D
解析：,则,
由,故,故,
又,,随x增大而增大,故在R上单调递减,
又,故可转化为,
则有,即,即,故.
故选：D.
8．答案：C
解析：以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,依题意可得A的坐标为,设抛物线的标准方程为,则,
解得,故该抛物线的标准方程为,
设小球大圆圆周方程,
联立方程组,解得或,
要使小球能触及杯盛的底部（顶点）,则小球与杯子有且只有一个交点,
就是抛物线的顶点,所以或无效,
考虑到抛物线不可能在x轴下方,所以不成立,即,
所以,解得,所以r最大值为.
故选：C.
9．答案：AD
解析：
10．答案：ABC
解析：对A：连接,,,则易证,,所以,
又平面,
平面,所以平面;
同理：,
、是平面内的两条相交直线,
所以：平面平面,平面,所以平面.故A正确;
对B：因为M为中点,所以和到平面的距离相等,
设为h,
又在中,,,所以.
由.故B正确;
对C：取中点E,连接,.
则,所以即为异面直线、所成的角.
在中,,,,
由余弦定理,.故C正确;
对D：,,所以平面把正方体分成的两部分的体积之比为：,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：AC
解析：对于A：由,解得,,
则椭圆C的标准方程为,故A正确;
对于B：由定义可知,由余弦定理可得,
,解得,
则,故B错误;
对于C:
,
当且仅当,即时,等号成立,故C正确;
对于D：当点A为短轴的一个端点时,最大,
此时,为钝角,
则椭圆上存在四个不同的点A,使得,故D错误;
故选：AC.
12．答案：40
解析：
13．答案：21
解析：
14．答案：
解析：由题意知,,,
所以,即,,
①若,则,而,符合题意;
②若,令,则在恒成立,
在单调递增,又,,,
由,得;由在恒成立,则可化为,
令,,当时,;当时,,
在单调递减,单调递增,,即有.
综上：.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：如图所示：取的中点G,连接,.
因为M,G分别是,的中点,所以.
而平面,平面,故面,
因为N,G分别是,的中点,且为矩形,所以,同理面,
因为,,平面,所以平面平面.
因为平面,所以平面.
（2）由题意易知,,,两两垂直.以C为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为,所以,,.
设平面的一个法向量为,
因为,,
所以令,得.
取平面的一个法向量为,
因为,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
即,
所以,因为,
所以,所以,
因为,所以.
（2）因为,,,
根据余弦定理得,
所以,
因为,
所以,
在中,由正弦定理知,,
所以,
所以,,
所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,,
,
,
故.
故回归方程为;
（2）由图表知,人均可支配收入超过3万的年份有3年,
故X的可能取值为0,1,2,
则,,
故随机变量X的分布列为：
故.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）的定义域为,,
当时,恒成立,所以的单调递减区间为,
当时,令,则,所以的单调递增区间为,
令,则,所以的单调递减区间为,
综上：当时,的单调递减区间为,无增区间;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
（2）当时,恒成立,
即对恒成立,
即对恒成立,
令（）,
令（）,则,
令（）,则,
由得,,所以,所以在上单调递减,
所以,即,所以在上单调递减,
所以,
令,则,所以在单调递增,
令,则,所以在单调递减,
所以,所以.
综上实数a的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
（3）（i）直线过定点（ii）直线过定点
解析：（1）因为点和点在双曲线上,
所以,解得,所以双曲线C的标准方程为.
（2）由题可知,直线l的斜率不等于零,故可设直线l的方程为,
设,,
联立,整理得,
若,即,直线l的斜率为,与渐近线平行,
此时直线l与双曲线有且仅有一个交点,不满足题意,所以,
所以,,
,
因为,所以
,所以.
（3）（i）当轴时,,且,
所以,,则,
联立,整理得,即,解得或,
当时,,所以,由于对称性,,此时直线过定点;
（ii）当不垂直于x轴时,以下证明直线仍过定点设为,
因为,所以联立,
即,所以,解得或,
当时,,所以,
同理,将上述过程中替换为可得,
所以,
因为,所以,所以
,
所以M,N,B三点共线,即此时直线恒过定点,
综上直线过定点.
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
全体居民人均可支配收入（元）
18352
20110
22034
24153
26386
28920
30824
33803
35666
X
0
1
2
P