新高中数学压轴题二轮专题专题31极点与极线及其应用试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题31极点与极线及其应用试题含解析答案，共96页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．过椭圆内一点，作直线与椭圆交于点、，作直线与椭圆交于点、，过、分别作椭圆的切线交于点，过、分别作椭圆的切线交于点.求、连线所在的直线方程.
2．已知椭圆的两个焦点，点P(x0,y0)满足．
(1)求的取值范围；
(2)判断直线与椭圆的位置关系．
3．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
4．设为椭圆内一定点(不在坐标轴上),过P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且AB∥CD．
(1)证明:直线的斜率为定值;
(2)过点作的平行线,与椭圆交于两点,证明:点平分线段.
5．已知，，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，判断以为直径的圆是否过轴上一定点？
6．已知椭圆的离心率为，，分别为的上、下顶点，为坐标原点，直线与交于不同的两点，．
(1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上．
7．已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．
8．如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上．
9．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
(1)证明：点F在直线上；
(2)设，求的内切圆M的方程．
10．已知椭圆：（）的离心率为，上、下顶点分别为，，直线经过点且与椭圆交于，两点，当时，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若直线，交于点，试判断点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
11．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．
（1）设动点满足，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．
13．已知椭圆C：=1(a>b>0)的离心率e=，F1，F2分别为左､右焦点，点T在椭圆上，△TF1F2的面积最大为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的左､右顶点分别为A，B.过定点(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP和直线BQ相交于椭圆C外一点M，求证：点M的轨迹为定直线.
14．如图，点分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，若直线与轴交于点，直线与直线交于点，求证：直线过定点．
15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，点A，分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N都在x轴上方）．且．证明直线m过定点，并求出该定点的坐标．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线.
① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线;
② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线.
17．已知椭圆过点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：．
18．如图，四边形ABCD是椭圆的内接四边形，直线AB经过左焦点，直线AC，BD交于右焦点，直线AB与直线CD的斜率分别为．
(1)求证：为定值；
(2)求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．
19．如图，已知椭圆C：，过焦点F任作一直线交椭圆C于A，B两点，交F相应的准线于点M，P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点，求证：直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．
20．如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.
21．椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与交于点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当点异于两点时，证明：为定值．
22．已知椭圆的方程为，过直线上任意一点，作椭圆的两条切线，切点分别为．求原点到直线距离的最大值．
23．如图，椭圆的左、右顶点分别为为直线上一点，分别与椭圆交于点A，B，直线与x轴交于点P，与直线交于点M，记直线的斜率分别为，求证：

(1)成等差数列；
(2)．
24．过点的直线与椭圆交于点A和B，且．点，若O为坐标原点，求的最小值．
25．在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.
（1）求：的值；
（2）证明：为定值.
26．已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，右准线为直线，圆．
(1)若点A在圆上，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2)若直线上存在点，使为等腰三角形，求椭圆的离心率的取值范围；
(3)若点在（1）中的椭圆上，且过点可作圆的两条切线，切点分别为，求弦长的取值范围．
27．椭圆经过点，且离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是直线上任意一点，是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点）．记直线，，的斜率依次为，，，问是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
28．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB．
29．已知椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上（异于，），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求的最大值．
30．已知椭圆C： ＝1(a>b>0)经过点A，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点B(-1，0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S1，S2，求的最大值.
31．左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
32．已知实数，且过点的直线与曲线交于、两点．
(1)设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值；
(2)设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值．
33．教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为.我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用.已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点.当变化时，求面积的最大值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．
34．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：曲线在点处的切线与平行；
(3)若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．
35．已知点是圆内一点，直线.
(1)若圆的弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程；
(2)若过点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形的面积的最大值；
(3)若，是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为.证明：直线过定点.
36．已知圆有以下性质：①过圆上一点的圆的切线方程是．②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为；③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即kAB⋅kOM=−1，且平分线段．
(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程（不要求证明）；
(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；
(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与两点，求证:为定值，且平分线段．
37．椭圆方程，平面上有一点P(x0,y0)．定义直线方程是椭圆在点P(x0,y0)处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若P(x0,y0)在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
38．如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.

(1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点Px0,y0（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点A1,B1，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接PA,PB分别交椭圆于两点.
①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；
②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.
39．设，定点，动点，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点C，点P满足，求点P的轨迹方程．
40．已知椭圆的左、右顶点分别为，过轴上一点作一直线，与椭圆交于两点（异于），直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，求的值．
41．如图所示，已知椭圆，直线，P是l上的一点，射线交椭圆于一点R，点Q在上且满足，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
42．如图，点Px0,y0为抛物线外任意一点，过点作抛物线两条切线分别切于两点，的中点为，直线交抛物线于点．
(1)证明：（为直线在轴上的截距），且直线方程为；
(2)设点处的切线，求证．
43．如图，设F是椭圆C：（）的左焦点，直线：与x轴交于P点，为椭圆的长轴，已知AB=8，且，过点P作斜率为直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：.
44．如图，过点C0,1的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点；
(1)当直线过椭圆右焦点时，求点的坐标；
(2)当点异于点时，求证：为定值．
45．如图所示，椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8．
(1)求椭圆的方程．
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过定点？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
46．已知椭圆的离心率为，且过点．抛物线的焦点坐标为．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，直线交椭圆于两点．
①求证直线过定点，并求出该定点坐标；
②当的面积取最大值时，求直线的方程．
47．如图，已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与轴交于点，过点的直线与交于两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记的斜率分别为，求证：．
48．阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
49．已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为．
(1)求抛物线的方程．
(2)证明直线过定点，并且求出定点坐标．
50．已知A，B是椭圆C：的左、右顶点，直线l交椭圆C于M，N两点，记AM的斜率为，BN的斜率为，且．
(1)求证：直线l过定点；
(2)记的面积为，的面积为，求的最大值．
51．设椭圆，点F为其右焦点，过点F的直线与椭圆相交于点P，Q．
(1)如图1，点R的坐标为2,0，若点S是点P关于x轴的对称点，求证：点Q，S，R共线；
(2)如图2，点T是直线上的任意一点，设直线PT，FT，QT的斜率分别为，求证：成等差数列．
52．如图所示，已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
(1)求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）．
(2)设为原点，点与点关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点，使得?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
53．已知椭圆：的离心率为，右焦点为F，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，设，，求证：为定值．
54．如图所示，已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点的直线交椭圆于点、，直线、分别交直线于点、，求的值．
55．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点.
56．如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=12，直线l的方程为x=4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
57．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
(1)求的标准方程；
(2)求的值；
(3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.
58．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点P(x0,y0)和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到P(x0,y0)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(x0,y0)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(x0,y0)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(x0,y0)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆：.
(1)点是直线：上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点在圆上，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最大值.
参考答案：
1．
【详解】如图，过点、、、的切线方程分别为
，，
，.
因点在、上，则，.
这表明，在直线 ①上.
由两点决定一条直线知，这就是AB所在的方程.
同理，CD所在的方程为. ②
因为AB与CD相交于，所以，点的坐标同时满足式①、②.得
，.
这表明、在直线 ③上.
由两点决定一条直线知，式③为、连线所在的直线方程.
故答案为
注：可进一步证明、BD、三线共点.
2．(1)
(2)椭圆与直线相离，没有公共点．
【分析】（1）由题意可知点P(x0,y0)在椭圆内部，且不与原点重合，由椭圆的定义和平面几何性质可得；
(2)方法一：运用极点极线知识进行迅速判断；方法二：根据直线方程，分成两种情况考虑，①当时分析直线与椭圆的交点情况，②当时，联立直线与椭圆方程，分析其判别式的符号即得．
【详解】（1）
依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合．由椭圆方程得，由数形结合可得，
①当点在线段上且不与原点重合时，；
②当点在线段的延长线或反向延长线上时，；
③当在椭圆内部且不在直线上时，如图延长F1P交椭圆于点，连接，
则，
且，
综上，的取值范围为．
（2）解法一：由题意知，点P(x0,y0)和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，
∵点在椭圆内，∴极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零．
解法二： 当时，直线，直线方程可化为，
由可得，，则或，
∴，而椭圆上的点的横坐标的取值范围是，
∴此时椭圆与直线无公共点；
当时，由，消去可得， ，
则
由，则，故 ，
∴此时椭圆与直线无公共点．
综上所述：椭圆与直线相离，没有公共点．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的判断，属于较难题.
解题关键在于对所给直线方程中的参数进行分类，结合图形判断直线与椭圆关系，或者联立消元得到一元二次方程后，利用根的判别式进行判断.
3．(1)
(2)证明见解析，．
【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求解；
（2）首先利用点的坐标表示切线方程，并利用两点确定一条直线，确定直线的方程，再根据含参直线确定定点坐标.
【详解】（1）∵椭圆的离心率为，
椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1，
∴，
解得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：设切点为，则切线方程为，
∵两条切线都过上任意一点，
∴得到，
∴都在直线上，
又，
由，得，
即对任意的，直线始终经过定点．
∴动直线恒过一定点．
4．(1)见解析(2)见解析
【详解】设点, .则
.
故 ①
因为点C在椭圆上,所以,.
将式①代上式并整理得

由点A在椭圆上知
. ②
又AB∥CD,则.
同理,. ③
③-②得.
因为,易知,直线AB不与坐标轴平行,所以,直线AB的斜率为
(定值)
(2).
代入椭圆方程整理得
.
因此,是的中点,即点平分线段.
5．(1)
(2)以为直径的圆过轴上一定点
【分析】（1）设，由可整理得到轨迹方程；
（2）设，与椭圆方程联立，由可得，结合韦达定理可求得点坐标，设是以为直径的圆上的一点，根据可整理得到，由此可构造方程组求得，从而确定定点坐标.
【详解】（1）设，则，
整理可得：，即动点的轨迹方程为.
（2）由题意知：直线斜率存在，可设，
由得：，
则，，
点横坐标为，则纵坐标为，
，又，，又，
设是以为直径的圆上的一点，则，即，整理可得：，
由得：，则，
以为直径的圆过轴上一定点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式或利用韦达定理表示出所求量；
③根据已知中的等量关系可整理得到变量间的关系，从而整理为可求解定点的形式；
④根据定点的求法构造方程组求得定点.
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设Mx1,y1，Nx2,y2，由中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值.
（2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，韦达定理表示根与系数的关系，联立直线与直线的方程，化简可求得交点在定直线上．
【详解】（1）设Mx1,y1，Nx2,y2，则．
由两式相减得，即．
所以．
（2）解法一：
由解得所以椭圆的方程为x28+y24=1．
将直线的方程代入椭圆的方程，化简整理得．①

由，解得．
由韦达定理，得，．②
设，，
则直线的方程为，③
直线的方程为，④
由③④两式解得
，
即，所以直线与直线的交点在定直线上．
解法二：
设直线（即直线）与直线（轴）的交点为，直线与直线的交点为，
则点，，构成椭圆的自极三点形，点一定在点对应的极线上，其方程为，即，
就是说直线与直线的交点在定直线上．
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
7．(1);
(2)证明见解析,定直线的方程为: x=1.
【分析】(1) 由题意知:即可求出a,b即可;
(2) 由椭圆对称性知G在上,由特殊点求出x=1,再求出一般性也成立即可.
【详解】解:
(1)因为,所以c=1,
由题意知:,解得,
则椭圆的方程为:.
(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则,
则,而,
其交点,
所以G在定直线x=1上;
当M不在椭圆顶点时,设,
由,整理得:,
则,
当x=1时,,
得,
得,
得,
上式显然成立,
所以G在定直线x=1上.
8．证明见解析
【分析】设直线的方程，然后与抛物线联立方程组，消元，然后根据韦达定理即可求解.
【详解】证明：法一（常规证法）
由题意，设点，，，．
直线的方程为，直线的方程为．
由得，
∵恒成立，由韦达定理得，，
同理有，，
∴，
∴①
同理可得
∵，∴，同理∵，∴，
∴，
即②
联立①②得
整理得
化简得，即点在直线上．
法二（参数方程）．
设，，，，（，），
则，
∴，
同理可得，
∵，且，，
∴
化简得，同理可得．
由整理得
即，∴点在直线上．
【点睛】本题考查了抛物线中的定直线问题，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9．(1)证明见解析.
(2)圆M的方程为：.
【分析】（1）利用斜率相等即可证得结果；
（2）利用向量数量积和内切圆的性质即可求得结果.
【详解】（1）设，，已知点A关于x轴的对称点为D，
则点D的坐标为，由，可得
整理可得，即.
则，
由，可知点F在直线上.
（2）由，可得，即可得，
由于A，B在抛物线上，，所以，
不妨设A，B在x轴上方，则，可知AB的直线方程为，
而，故，
则DB的直线方程为，由于x轴是的角平分线，可知内切圆的圆心必然在x轴上，
故设圆心坐标为，由于角平分线上的点到角的两边距离相等，
则，解得或（舍），则可得，
的内切圆M的方程为.

10．（1）；（2）点在定直线上， ．
【分析】（1）由题意可得为的中点，所以，由点可计算出PQ，再由四边形的面积公式可得关于的方程，再结合离心率以及即可求得的值，可得椭圆的方程；
（2）设：y=kx+1，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得、，求出直线，的方程，求得交点的坐标，化简整理，可得点在定直线上.
【详解】（1）由题意知，当时，易得为的中点，
所以，
又直线过点，所以
此时四边形的面积
又，，
得，b2=4，
所以椭圆的标准方程为．
（2）点在定直线上．
显然直线的斜率存在，由题可设：y=kx+1，，．
将y=kx+1代入，得，
则，，
所以．
由（1）知，，
直线的方程为即． ①
同理求得直线的方程为，即． ②
由①②得，
所以，
所以点在定直线上，且定直线的方程为．
【点睛】关键点点睛：解决本题第（2）问的关键是利用根与系数的关系得到，后，能够得到，所以，本题中动直线经过的定点 在轴上，所以若交点在某条定直线上，则这条直线一定关于轴对称，即证明交点的纵坐标等于定值．
11．(1)x2−y23=1
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
【详解】（1）设直线的方程为，联立，得，
又，c2=a2+b2，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为x2−y23=1．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足x2−y23=1，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
12．（1）；（2）；（3）证明见解析．
【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点，根据条件，结合两点间距离公式,化简即可得解；
（2）根据，代入椭圆方程即可求得、的坐标，进而求得直线与直线的方程，联立两条直线方程即可求得交点的坐标；
（3）设出直线与直线的方程，分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标，讨论与，并分别求得的值，即可求得所过定点的坐标.
【详解】（1）设点，则，，，
由，得，
化简得，
故所求点的轨迹为直线．
（2）将，分别代入椭圆方程，以及，，
得，，
直线方程为，即y=13x+1，
直线方程为，即，
联立方程组，解得，
所以点的坐标为．
（3）点的坐标为，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，，
解得、，
若，且,得，
此时直线的方程为，过点；
若，则，直线的斜率，
直线的斜率，
所以,所以直线过点，
因此直线必过轴上一定点.
13．（1）；（2）证明见解析.
【分析】(1)由椭圆离心率及焦点三角形面积最大值，列出关于a，b，c的方程组求解即得；
(2)依条件设出直线l的方程，联立直线l与椭圆C的方程，利用韦达定理列出交点P，Q的关系，再列出直线AP与BQ交点M的关系，经变形整理即得.
【详解】(1)由题意，椭圆的离心率为，△TF1F2的面积的最大值为2，
所以，又，联立解得a2=9，b2=5，c2=4，
所以椭圆的方程为；
(2)证明：由题意，直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为：x=ty+1，
则消去x整理可得：(5t2+9)y2+10ty-40=0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(y1>0，y2