重庆市云阳高级中学校等五校2024届高三上学期联考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市云阳高级中学校等五校2024届高三上学期联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内,对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．曲线在点处的切线的斜率为( )
A.2B.3C.6D.7
4．已知向量,满足,,则( )
A.-1B.2C.15D.19
5．若某圆锥的母线与底面所成的角为,且其母线长为4,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
6．若数列的满足,,则( )
A.B.C.6D.
7．已知,,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若函数有4个零点,且其4个零点,,,成等差数列,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．根据国家统计局发布的数据,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示,则( )
A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为
B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为
C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总㲅同比增速的分位数为
D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为
10．在正四棱柱中,,,则( )
A.该正四棱柱外接球的表面积为
B.异面直线与所成的角为
C.该正四棱柱外接球的表面积为
D.异面直线与所成的角大于
11．下列函数中,存在两个极值点的是( )
A.B.
C.D.
12．已知函数的定义域为,,则( )
A.B.C.为奇函数D.没有极值点
三、填空题
13．已知直线与平行,则____________.
14．已知展开式的二项式系数之和为256,则其展开式中的系数为_____________.（用数字作答）
15．已知圆,直线,P为l上的动点,过点P作圆C的切线,切点为M,则的最小值为____________.
16．已知函数,的图象关于直线对称,且在上单调,则的最大值为_____________.
四、解答题
17．在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A;
（2）求的取值范围.
18．已知公差不为0的等差数列的首项,且,,成等比数列,记的前n项和为.
（1）求的通项公式及;
（2）记,证明:.
19．如图,在长方体中,点E,F分别在棱,上,,,,.
（1）证明：.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20．在平面直角坐标系中,已知两个定点,,动点P满足,设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）过点A作两条互相垂直的直线与曲线C分别交于点E,F,P,Q,求四边形面积的最大值.
21．已知函数.
（1）当时,证明:.
（2）试问是否为的极值点?说明你的理由.
22．有一位老师叫他的学生到麦田里,摘一颗全麦田里最大的麦穗,期间只能摘一次,并且只可以向前走,不能回头.结果,他的学生两手空空走出麦田,因为他不知前面是否有更好的,所以没有摘,走到前面时,又发觉总不及之前见到的,最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到n颗麦穗（假设n颗麦穗的大小均不相同）,最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等,为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞,现有如下策略：不摘前颗麦穗,自第颗开始,只要发现比他前面见过的麦穗都大的,就摘这颗麦穗,否则就摘最后一颗.设,该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为P.（取）
（1）若,,求P;
（2）若n取无穷大,从理论的角度,求P的最大值及P取最大值时t的值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以,
故选：B.
2．答案：A
解析：因为,
所以其在复平面内对应的点为,位于第一象限.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为,所以当时,.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为,,
所以.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为该圆锥的母线与底面所成的角为,且其母线长为4,
所以该圆锥的高与底面半径相等,且都等于,
所以该圆锥的体积,
故选：A.
6．答案：A
解析：因为,所以,得,
由上式可知,
所以,
因为,
所以,,,,
所以是周期为4的数列,
所以,
故选：A.
7．答案：A
解析：因为,,
所以可化为,
因为,所以,所以,
结合,得,,所以,
故选：A.
8．答案：C
解析：函数定义域为,显然,
即函数是偶函数,,其图象如图,
依题意,,,而,,,成等差数列,即有,则,
显然,即,整理得,
所以.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%,3.1%,4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%,A正确.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为,B正确.
,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为,C错误.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为,D正确.
故选：ABD.
10．答案：BC
解析：对于A,由题,正四棱柱的对角线为球的直径,则正四棱柱外接球的半径为,
则该正四棱柱外接球的表面积为,故A错误,C正确；
如图,
易证,则异面直线与所成的角为与所成的角,
设,则,
所以为正三角形,所以异面直线与所成的角为,故B正确,D错误；
故选：BC.
11．答案：BC
解析：由,得恒成立,则无极值,A不正确.
由,得,当时,,当时,,则在和上单调递增,在上单调递减,有两个极值点,B正确.
由,得,当时,,
当时,,则在和上单调递减,
在上单调递增,有两个极值点,C正确.
由,得,当时,,单调递增,当时,,单调递减,有且只有一个极值点,D不正确.
故选：BC.
12．答案：AC
解析：令,得,A正确；
令,得,
故的值不确定,B错误；
令,得,
令,得,则为奇函数,C正确；
由,可得,
根据函数结构举例,当时,可设,
则,
当时,,,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,此时有极值点,D错误；
故选：AC.
13．答案：3
解析：因为,所以,所以或,
当时,符合题意；当时,两直线重合,
故答案为：3.
14．答案：1120
解析：由,得.
展开式的通项,
,令,得,
则展开式中含的项为.
所以的系数为1120.
故答案为：1120.
15．答案：
解析：将圆C化为标准方程为：,
所以圆C的圆心为,半径为5,因为,
所以,
所以当时,取得最小值,
因为圆心到直线l的距离,
所以的最小值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为的图象关于直线对称,
所以,,解得,,
因为在上单调,所以,
即,解得,
当时,,
当时,,
所以当时,单调递减,
故的最大值为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得,
因为为锐角三角形,可知,
则,所以,
且,所以.
（2）因为,可知,即,
且为锐角三角形,则,解得,
又因为
,
由,可知,则,
所以.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,,成等比数列,所以,即,
设等差数列的公差为d,因为,
所以,即,
因为,所以,所以,；
（2）证明：因为,
所以
,
因为,所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）以为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,所以,,
因为,所以.
(2)由(1),,
设平面的法向量为,则,
即,不妨取,则.
易得平面,所以是平面的一个法向量,且.
设平面设与平面的夹角为,
所以.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）28
解析：（1）设点,由得,
所以,即曲线C的方程为；
(2)当过点A的两条直线中有一条直线的斜率不存在时,另一条直线的斜率为0,
不妨设,,则,
当两条直线的斜率都存在时,设直线,的方程分别为和,
圆心到直线的距离,
所以,同理可得,
所以,
令,则,
当时,,
所以,即四边形面积的最大值为28.
21．答案：（1）证明见解析
（2）不是,理由见解析
解析:（1）,要证,
只需证,即证,
令,则,
则在上单调递增,所以,
所以当时,,
从而当时,得证.
（2）因为,所以的导数为,故,
当时,,当且仅当时取等号,又,当时,,所以,
当时,令,则,因为时,,所以,所以在上单调递增,
又,,所以,使,
所以当时,,当时,,
所以当时,,即在区间上单调递减;当时,,即在区间上单调递增,
又,所以当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,又,
所以,当时,,当时,,
所以不是的极值点.
22．答案：（1）
（2）P的最大值为,此时t的值为.
解析：（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序,有种情况.
要摘到那颗最大的麦穗,有以下两种情况：
①最大的麦穗是第3颗,其他的麦穗随意在哪个位置,有种情况.
②最大的麦穗是最后1颗,第二大的麦穗是第1颗或第2颗,其他的麦穗随意在哪个位置,有种情况.
故所求概率为.
（2）记事件A表示最大的麦穗被摘到,事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第j颗.
因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等,所以.
以给定所在位置的序号作为条件,.
当时,最大的麦穗在前k颗麦穗之中,不会被摘到,此时.
当时,最大的麦穗被摘到,当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前k颗麦穗中时,
此时.
由全概率公式知.
令函数,.
令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以.
所以当,时取得最大值,最大值为,此时,