人教版七年级数学上册同步讲义专题4.3 角（学生版）（人教版）

这是一份人教版七年级数学上册同步讲义专题4.3 角（学生版）（人教版），共27页。试卷主要包含了 角，角的表示，角的度量，角的性质，角的平分线，余角和补角等内容，欢迎下载使用。

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1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
6.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
考点精讲
考点1：钟面上的角度计算
典例：16．（2022·全国·七年级课时练习）钟表上的时针、分针和秒针都在绕钟表中心做旋转运动.
⑴钟表从2点现在，经过20分钟后，分针和时针分别旋转了多少度？
⑵当时间到3：20时，钟表上时针和分针的夹角是多少度？
方法或规律点拨
本题考查了钟面角，熟练掌握分针与时针每分钟转过的角度是解题的关键.
巩固练习
1．（2021·河南开封·七年级期中）已知在某个时刻，时钟的时针与分针成一直角，则这时可能是（ ）
A．3：30B．6：15C．9：00D．12：45
【点睛】此题主要考查了钟面角，解题关键是找出时钟的时针与分针相差的大格数．
2．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）时钟7：30的分针与时针夹角度数是（ ）
A．55度B．45度C．35度D．60度
3．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图是从图的时钟抽象出来的图形，已知三角形是等边三角形，，当时针正对点时恰好是：，若时针与三角形一边平行时，时针所指的时间不可能是（ ）
A．：B．：C．：D．：
4．（2022·全国·七年级专题练习）小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所成角的度数是（ ）
A．90°B．92.5°C．97.5°D．102.5°
5．（2022·江苏无锡·七年级期末）钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）时间为7点30分时，时针和分针形成的小于的角为___________°
7．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（12小时的时钟）时钟是7点20分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角（小于平角）是_____°．
8．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是_________°．
9．（2022·全国·七年级单元测试）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
10．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是__________度．
11．（2022·山东菏泽·七年级期中）北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻为15：40时，时钟上的时针与分针夹角的度数为______．
12．（2022·山东临沂·七年级期末）某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过_________分钟．
13．（2022·全国·七年级专题练习）（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？
14．（2022·福建泉州·七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
15．（2022·全国·七年级单元测试）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.
（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；
（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；
（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
考点2：方位角及其应用
典例：（2022·河北承德·七年级期末）如图，结论正确的是（ ）
①射线的方向是北偏西50°；②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东15°；④和∠AOB互为补角；
A．1个B．2个C．3个D．4个
方法或规律点拨
此题考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）为基准线，其夹角的度数即为某条射线的方位角．
巩固练习
1．（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．南偏东40°B．北偏东50°C．南偏西40°D．北偏西50°
2．（2022·河北衡水·七年级阶段练习）如图，货船与港口相距海里，我们用有序数对南偏西，海里来描述货船相对港口的位置，那么港口相对货船的位置可描述为（ ）
A．南偏西，海里B．北偏西，海里
C．北偏东，海里D．北偏东，海里
3．（2022·全国·七年级单元测试）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（ ）
A．北偏东B．北偏东
C．北偏东D．北偏东
4．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，OB是北偏西50°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则射线OA的方向是（ ）
A．西偏北50°B．东偏北40°C．北偏东40°D．北偏西40°
5．（2022·黑龙江绥化·期末）小丽家在小华家的南偏西30°的方向上，那么小华家在小丽家的什么方向上？（ ）
A．南偏西60°B．北偏东60°C．北偏东30°D．南偏西30°
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．射线的方向是北偏东40°B．射线的方向是北偏西15°
C．射线的方向是南偏西30°D．射线的方向是东南方向
7．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图,射线OA表示北偏东30°方向,射线OB表示北偏西50°方向,则∠AOB的度数是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
8．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）如图射线OA的方向是北偏东30°，在同一平面内，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东40°B．北偏西40°或东偏南80°
C．南偏东80°D．北偏西40°或南偏东80°
9．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上；同时，它又发现了客轮B；仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的_______方向．
10．（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图
(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．
(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？
考点3：角的运算
典例：（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
方法或规律点拨
本题考查度分秒的计算，，，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）把化为用度表示，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·七年级专题练习）下列换算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期末）用度表示__________．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：108°42'36″＝______°．
5．（2022·山东菏泽·七年级期末）角度换算：＝___°．
6．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）=____度____分____秒；=______度．
7．（2022·山东·泰山外国语学校阶段练习） ____°____′____″；____°．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）把30.6°化成度分为___________．
【答案】##30度36分
9．（2022·山东·高唐县第二实验中学七年级期中）计算________．
10．（2022·全国·七年级专题练习）________°．
11．（2022·河北沧州·七年级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船M位于北偏西的方向，同时轮船N在北偏东16.12°的方向，那么∠MON的大小为________．
12．（2022·河南平顶山·七年级期末）计算：______．（结果用度表示）
13．（2022·河南省直辖县级单位·七年级期末）若，，则________（用“＞”“=”“＜”填空）．
14．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）计算题．
(1)
(2)
考点4：与三角板有关的角度计算
典例：（2022·河南南阳·七年级期末）将一副三角板放在一起．
(1)如图1，已知，求的度数；
(2)如图2，已知，求的度数；
(3)如图3，已知，求的度数．
方法或规律点拨
本题主要考查了角的计算，利用角的和差列出算式是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）用一副三角板不能拼画出的角度是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·八年级专题练习）将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠ACD的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
3．（2022·山东烟台·期中）如图，将一副三角板与的直角顶点O重合在一起，若，为的平分线，则的度数为（ ）
A．72°B．73°C．75°D．76°
4．（2022·河北邢台·七年级期末）如图所示是我们常用的一副直角三角板．用一副三角板不能拼出的角度是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东日照·七年级期末）用一副三角板拼成如图所示的图形，其中A、B、C三点在同一条直线上．则图中∠DBE的大小为（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
6．（2022·山东青岛·期中）如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（ ）
A．36B．45C．60D．72
7．（2022·广西河池·七年级期末）一副三角板摆放在一起的示意图如下，若，则∠2的度数是______．
8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：
①；
②；
③；
④．
其中不正确的是_________．（写出序号）
9．（2021·全国·七年级单元测试）两块三角板按如图所示方式放置，则∠ACD＝__________，∠DBA＝__________．
10．（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分．
(1)当时，求的度数；
(2)若，求的度数．
11．（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；
(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．
12．（2022·河北保定·七年级期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
13．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．
(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______；
(2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，
①若恰好平分，则______；
②若在内部，请直接写出与的数量关系为______；
(3)将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数．
14．（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．
(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；
(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；
(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．
15．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
考点5：与角平分线有关的证明与计算
典例：（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：
(1)∠EOC的大小；
(2)∠AOC的大小．
方法或规律点拨
本题考查角平分线的定义，数形结合正确计算是本题的解题关键．
巩固练习
1．如图，已知，平分，且，则的度数为（ ）
A．126°B．108°C．112°D．106°
2．（2021·云南·文山市薄竹镇乐诗冲中心学校七年级期末）已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠MON=（ ）
A．50°B．20°C．20°或50°D．不能确定
3．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线， 则与大小关系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．无法确定
4．（2022·新疆·乌市八中七年级期中）如图，已知，平分，且，求的度数．
5．（2021·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校期中）如图，OB是的平分线，OD是的平分线，，．求的度数．
6．（2022·新疆·库车市第七中学七年级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．
7．（2021·重庆·巴川初级中学校七年级期末）如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD是多少度？
(2)如果∠AOE=160°，∠COD=25°，那么∠AOB是多少度？
8．（2021·辽宁·朝阳市第一中学七年级期末）如图，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度数．
9．（2022·山东·龙口市培基学校期中）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
10．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．
(1)如果，那么∠COE是多少度？
(2)在（1）的条件下，如果，那么∠BOE是多少度？
11．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）如图，点O是直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数．
12．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．
(1)当时，求的度数；
(2)若．
①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；
②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．
13．（2021·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，，，，分别是，的平分线．
(1)如图1，当在左侧，且时，的度数是_________；
(2)当的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究的大小与的数量关系；
(3)当的度数为时，请直接写出的度数．
14．（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
15．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
16．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
17．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______°
(2)如图②，若，，则______°
(3)如图③，在∠AOB内，若，则______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数．
考点6：与余角（补角）有关的证明与计算
典例：（2022·山西运城·七年级期中）如图（甲），和都是直角．
(1)如果，那么的度数为______度．若越来越小，则如何变化？
(2)找出图（甲）中相等的角．如果，他们还会相等吗？
(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．
方法或规律点拨
本题考查余角与补角，正确观察并分析图形，熟练掌握余角和补角的意义是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2020·安徽安庆·八年级期中）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．∠A是余角B．∠A和∠B是补角
C．∠A的余角是∠BD．如果∠A和∠B互补，则∠A和∠B能拼成直角
3．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
4．（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
5．（2021·贵州毕节·七年级期末）若的补角与的余角相等，则等于（ ）
A．90°B．60°C．180°D．270°
6．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）∠A的补角是125°，则它的余角是（ ）
A．54°B．35°C．25°D．以上均不对
7．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°
8．（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）若一个角的余角为65°．则这个角的补角为___________．
9．（2022·广东·普宁市普师高级中学七年级期中）已知∠α与∠β互补，∠α＝150°，则∠β的余角的度数是_________
【答案】 ##60度
10．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如果一个角的补角是，那么这个角的余角是______．
11．（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知∠α是钝角，∠α与∠β互补，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系式为________
12．（2021·黑龙江·肇源县第五中学七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90º，则∠AOD＝____．
13．（2022·全国·七年级开学考试）如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
14．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，．
(1)若∠1=∠2，则ON，CD是什么位置关系？请说明理由．
(2)若，求∠BOC的度数．
15．（2021·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°
(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：
(2)若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
16．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·陕西渭南·七年级期末）用度、分、秒表示31.21°为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·新疆·乌市八中七年级期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．与是同一个角B．与是同一个角
C．可以用来表示D．图中共有三个角：，，
3．（2021·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级期中）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
4．（2020·山东淄博·期中）如图，公园、学校、图书馆在平面上的标志分别用A，B，C三点表示，学校在公园的正东方向，图书馆在公园的南偏西35°方向上，则平面图上的等于（ ）
A．35°B．55°C．125°D．145°
5．（2022·山东泰安·期末）如图，已知射线OB，OM，ON在内部，OM平分，ON平分.若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·广东·丰顺县东海中学八年级开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．或
C．D．或
二、填空题（每题3分）
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，图中共有_______个小于180°的角，其中最大的角是_____．
9．（2022·河北唐山·七年级期末）已知，，，则、、的大小关系是_______（用“>”连接）．
10．（2022·山西大同·七年级期末）用一副三角板按如图方式放置，恰好与重合，则的大小为____________°
11．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）若的度数为，且与互余，则的度数为____．
12．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含n的代数式表示）
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
（2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？
（3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？
（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
14．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
15．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）已知，，OM，ON分别是和的平分线．
(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在的内部，求的度数；
(2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．
①与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，为直角？
(3)如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系：_____．