[数学]2023_2024学年青海海南高一下学期期中数学试卷(第一民族高级中学)(原题版+解析版)

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2023~2024学年青海海南高一下学期期中数学试卷（第一民族高级中学）
1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量
，
，
是（
）
A. 相同的向量 B. 模相等的向量
C. 共线向量
D. 共起点的向量
答案
解析
B
【分析】
根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】
是正
到三个顶点的距离相等
故选：B
的中心，向量
分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
，但向量
，
，
不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是
A. 长方体
B. 圆锥
C. 棱锥
D. 圆台
答案
解析
D
对于 项，如图 ，用平面
截长方体，得到的截面是三角形，故 项正确；
对于 项，如图 ，用平面
截圆锥，得到的截面是三角形，故 项正确；对于 项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱
锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故 项正确；对于 项，圆台的截面不可能为三角形，故 项错误．故选：
.
3. 复平面内表示复数
A. 第一象限
的点位于
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案
解析
C
根据复数的除法运算求解
的点位于第三象限．因此正确答案为：
，所以，复平面内表示该复数的点为
，所以，复平面内表示复数
.
4. 已知
A.
为不共线向量，
，则（
）
三点共线
B.
三点共线
C.
三点共线
D.
三点共线
答案
解析
A
【分析】

运用向量的加法运算，求得
，从而得出结论.
【详解】
因为
，所以
三点共线，
故选：A．
5. 如图，正方形
中，
、
分别是
、
的中点，若
，则
（
）
A. 2
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
利用平面向量基本定理选择
【详解】
和
作为一组基底，表示出
，根据
列出方程组即可求解.
由已知可得
,
由图可知
所以
,所以
，解得
,
，
故选：
.
6. 在
A.
中，内角
所对的边分别为
B.
，若
，则其最大角为（
C.
）
D.
答案
解析
C
【分析】
根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可.
【详解】
设
，则
，
，
，
最大，
，
，
.
故选：C.
7. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形
边形AOBC的面积为（
为等腰梯形，
，则原四
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形
【详解】
水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可.

在直观图中，四边形
为等腰梯形，
，而
，则
，
由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，
，
，如图.
，
所以四边形AOBC的面积为
故选：D.
.
8. 如图，
是底部不可到达的一座建筑物， 为建筑物的最高点，某同学选择地面
，则建筑物 的高度为
作为水平基线，使得
在同一直线上，在
两
，
，
，
点用测角仪器测得 点的仰角分别是
和
，
A.
B.
C.
D.
答案
解析
A
在
中，根据正弦定理可得
中，
，
在
，
故选：
9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（
A. 既有大小，又有方向的量叫做向量
C. 零向量没有方向
）
B. 所有单位向量都相等
D. 平行向量也叫做共线向量
答案
解析
AD
由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A无误；
单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B有误；
零向量有方向，其方向是任意的，C有误；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D无误.
因此正确答案为：AD
10. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（
）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 以上皆不可能
答案
解析
ABC
利用空间中两直线的位置关系求解.
【详解】
解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；
两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；
一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；
故选：ABC.

11. 已知 为虚数单位，复数
，则（
）
A.
与
互为共轭复数
B.
C.
为纯虚数
D.
答案
解析
BD
【分析】
对于A，根据共轭复数的定义分析判断，对于B，分别求出两复数的模进行判断，对于C，直接计算
进行判断，对于D，直接
计算
判断.
【详解】
对于A，因为
对于B，因为
对于C，因为
对于D，因为
故选：BD
的共轭复数为
，所以
与
不互为共轭复数，所以 不正确；
，所以B正确；
，为实数，所以C不正确；
，所以D正确.
，所以
12. 在
A. 若
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（
）
，则
B. 若
则
， C. 若
，则
为直 D.
，
，
只有一解
角三角形
答案
解析
AD
对于A选项，由
对于B选项，由
对于C选项，由
，有
，由正弦定理可得
，故A无误；
，可知 ABC有两解，可知B有误；
，得 ，有
，可得
或
，可知C有误；
对于D选项，若 ABC为锐角三角形或直角三角形，有
；若 ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，有
，
，
，有
，可知D无误．
因此正确答案为：AD．
13. 在复平面内，复数z对应的点为
，则
．
答案
解析
【分析】
由复数的几何意义及复数的运算求解．
【详解】
因为复数z对应的点为
故答案为：
，所以
，所以
．
14. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为
．
答案
解析
【详解】
因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为
，
所以该圆柱的表面积为
．
15. 在
中，
，则
的外接圆半径为
.
答案
解析
【分析】

利用余弦定理求出边BC长，再利用正弦定理计算作答.
【详解】
在
中，由余弦定理得：
的外接圆半径
，
所以
.
故答案为：
16. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在 处观测灯塔 在北偏东
方向，行驶2h后，船到达 处，观测个灯塔 在北偏东
方
向，此时船与灯塔 的距离为
km.
答案
解析
【分析】
利用正弦定理即可求解.
【详解】
由图知知
，
，
由正弦定理有
故答案为：
.
17. 已知 是虚数单位，复数
，
．
(1)当复数 为实数时，求 的值；
(2)当复数 为纯虚数时，求 的值；
答案
解析
(1)
(2)
或
（1） 为实数，
，解得：
或
.
（2） 为纯虚数，
，解得：
.
18. 已知平面向量
满足
，其中
.
，
(1)若
(2)若
，求实数m的值；
，求向量
与 的夹角的大小.
答案
(1)9
(2)
解析
【分析】
（1）根据向量共线的坐标运算列出方程，解之即可求解；
（2）根据向量垂直的坐标运算先求出
，再利用向量坐标的线性运算求出
，分别求出两向量的模，代入向量的夹
角公式即可求解.
【详解】
（1）因为
所以
，又
，
，
解得
；
（2）因为
，

所以
所以
所以
所以
，解得
，
，
，
，
，
所以向量
又由
与 夹角 的余弦值为
，可得
，
.
19. 在
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角C；
（2）若
的面积为
，
求a、b的值．
答案
解析
（1）
；（2）
，
或
，
．
（1）由余弦定理有
因为 ，可得
，
；
（2）通过题意有
由余弦定理得：
，可得
，
，
将
，
代入可得：
，所以
，
可得
所以
，
，
由
故
，解得
或
，
或
，
．
20. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是
，圆柱筒长
.
(1)这种“浮球”的体积是多少
?
(2)要在这样
个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶
克，共需胶多少克？
答案
解析
(1)
(2)
克
【分析】
（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果；
（2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量.
【详解】
（1） 该半球的直径
两个半球的体积之和为
， “浮球”的圆柱筒直径也是
，
，
，
球
又
，
圆柱
该“浮球”的体积是
.
球
圆柱
（2）上下两个半球的表面积
“浮球”的圆柱筒侧面积为
个“浮球”的表面积为
，
球表
，
圆柱侧
，
个“浮球”的表面积的和为
每平方厘米需要涂胶 克， 共需要胶的质量为
，
（克）.

21. 如图，在正方体
中，E，F分别是
上的点，且
.
(1)证明：
(2)设
四点共面；
，证明：A，O，D三点共线.
答案
解析
(1)证明见祥解
(2)证明见祥解
【分析】
（1）连接
形，从而得到
（2）先证
，利用中位线定理得到
，再根据正方体的性质得到
，进而证明四边形
是平行四边
，由此可证
，且
四点共面；
平面ABCD，又平面
平面
平面
，
所以
，进而得到A，O，D三点共线.
【详解】
（1）证明：如图，连接
.
在正方体
中，
，
，所以
，
又
，且
所以四边形
是平行四边形，所以
，
，所以
四点共面；
，
（2）证明：由
同理
，又
平面
，
平面
，
平面ABCD，又平面
平面
，
，即A，O，D三点共线.
22. 在平面四边形
中（
在
的两侧），
；
.
(1)若
(2)若
，求
，求四边形
的面积的最大值.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）在
中用余弦定理求出
，分成
，再由角度之间的关系，在
， 的面积为定值，
中用正弦定理可求出
；
（2）将四边形
【详解】
，
的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值.
（1）在
中，由余弦定理得
，
即
.
因为
又
，
，所以
，
，所以
.
在
中，由正项定理得
，
所以
，
又
，所以
，所以
；

（2）设
在
，所以
中，由余弦定理得
.
.
所以
的面积
，
所以
又
，此时
，
的面积
，
所以四边形
的面积的最大值为