人教版八年级数学上册同步讲义专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法（学生版）

这是一份人教版八年级数学上册同步讲义专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法（学生版），共13页。试卷主要包含了掌握正整数幂的乘法运算性质；，掌握整式的加等内容，欢迎下载使用。
1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方）；
2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；
3、.会进行单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算；
4、掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算。
5、会进行单项式除以单项式的计算，会进行多项式除以单项式的计算。
知识精讲
知识点01 幂运算
知识点
1）同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
拓展： = 1 \* GB3 ① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数； = 2 \* GB3 ②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
= 1 \* GB3 ①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
= 2 \* GB3 ②逆用法则： am+n =am×an
2）幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
3）积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
【知识拓展1】同底数幂的乘法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【即学即练】
1．（2022·浙江·宁波市七年级期中）已知，，则的值为 ___．
2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
【知识拓展2】幂的乘方及其逆运算
例2．（2022·湖南·七年级期中）下列选项中正确的有（ ）个．
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【即学即练】
3．（2022·湖南·株洲七年级期中）已知，，则等于（ ）
A．1B．72C．D．
4．（2022·山东·聊城市七年级阶段练习）计算
(1)已知：＝5，＝3，计算的值．(2)已知：3x+5y＝8，求的值．
【知识拓展3】积的乘方及其逆运算
例3．（2022·四川·眉山八年级阶段练习）
【即学即练】
5.（2022·山东淄博·期末）的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
6.（2022·山西临汾·八年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．1D．
知识点02 整式乘法
知识点
1）单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单项式乘单项式，结果仍为单项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2）单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3）多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
【知识拓展1】整式乘法基本运算
例1．（2022·安徽·八年级阶段练习）先化简，再求值；其中．
【即学即练1】
1．（2022·福建八年级阶段练习）计算：
(1)； (2)
2．（2022·广东·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【知识拓展2】不含某项问题
例2．（2022·福建·晋江八年级阶段练习）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
【即学即练2】
3．（2022·福建八年级期中）如果的展开式中不含项，则a的值是（ ）
A．5B．C．0D．
4．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）若展开后不含 x 的一次项，则m的值是（ ）
A．B．1C．3D．0
【知识拓展3】整式乘法的运用
例3．（2022·上海·七年级专题练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【即学即练3】
5．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）长为a，宽为的长方形，它的面积为____．（结果为最简）
知识点03 整式除法
知识点
1）同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
2）与的应用
零指数幂：=1()； 负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意： eq \\ac(○,1)； eq \\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==； eq \\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3）单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
4）多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
【知识拓展1】同底数幂的除法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列4个算式中，计算错误的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【即学即练1】
1．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）已知： ，，求的值．
2．（2022·江苏·七年级期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．
【知识拓展2】整式的除法
例2．（2022·陕西·七年级期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____．
【即学即练2】
3．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东淄博·期末）若a＝2，则______．
能力拓展
考法01 （）的应用
注：，可能有三种情况： eq \\ac(○,1)=1()； eq \\ac(○,2)=1； eq \\ac(○,3)=1（n为偶数）
【典例1】（2022·绵阳市·八年级期中）当x=____________时，代数式的值为1.
变式1.（2022.成都市锦江区初一期中）已知,则x=
变式2．（2022·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
考法02 运用幂运算比较大小
【典例2】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“16，所以，所以．
依照上述方法解答下列问题：
(1)若，，则x______y（填写“>”，“