专题5.6 特殊一元一次方程的解法的七大技巧-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28580" 【题型1 分母化整】 PAGEREF _Tc28580 \h 1
\l "_Tc31369" 【题型2 利用倒数关系去括号】 PAGEREF _Tc31369 \h 3
\l "_Tc21612" 【题型3 整体思想的应用】 PAGEREF _Tc21612 \h 4
\l "_Tc15294" 【题型4 先约分，再去分母】 PAGEREF _Tc15294 \h 6
\l "_Tc14533" 【题型5 先合并再解方程】 PAGEREF _Tc14533 \h 7
\l "_Tc13035" 【题型6 先拆分再合并】 PAGEREF _Tc13035 \h 8
\l "_Tc4667" 【题型7 分组通分】 PAGEREF _Tc4667 \h 10
【题型1 分母化整】
【例1】解方程：x−40.2−x−30.5=1.6
【分析】根据解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1依次计算可得
【详解】去分母，得：5（x﹣4）﹣2（x﹣3）＝1.6，
去括号，得：5x﹣20﹣2x+6＝1.6，
移项，得：5x﹣2x＝1.6+20﹣6，
合并同类项，得：3x＝15.6，
系数化为1，得：x＝5.2．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式1-1】解方程：x+10.25−x−20.5=5．
【分析】先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，解出x的值即可．
【详解】解：x+10.25−x−20.5=5，
去分母得，4（x+1）﹣2（x﹣2）＝5，
去括号得，4x+4﹣2x+4＝5，
移项得，4x﹣2x＝5﹣4﹣4，
合并同类项得，2x＝﹣3，
系数化为1得，x=−32．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
【变式1-2】解方程： 0.3x−0.40.2+2=0.5x−0.20.3．
【答案】x=4
【分析】利用分数的基本性质，先将含有的小数化为整数，再按步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可．
【详解】解：原方程可化为：
3x−42+2=5x−23，
去分母，得：33x−4+12=25x−2，
去括号，得：9x−12+12=10x−4，
移项，得：9x−10x=−4，
合并同类项，得：−x=−4，
系数化为1，得：x=4.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式1-3】解方程4x−1.50.5−0.5x−−x0.1+2.
【答案】x=-137
【详解】试题分析：将方程变形为40x−155−50x−82=12－10x+2，然后通过去分母，移项合并，x前面系数化为1解出x即可．
试题解析：40x−155−50x−82=12－10x+2，
8x－3－(25x－4)＝12－10x＋2，
8x－3－25x＋4＝12－10x＋2，
-7x＝13，
x＝ -137．
点睛：一元一次方程分母出现小数时，可以先将分母化为整数然后再求解．
【题型2 利用倒数关系去括号】
【例2】解方程：3x+22−1=54452x−14−2x+15．
【答案】−928
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】
3x+22−1=54452x−14−2x+15
3x+22−1=2x−14−2x+15，
10（3x+2）−20=5（2x−1）−4（2x+1），
30x+20−20=10x−5−8x−4，
30x−10x+8x=−5−4−20+20，
28x=−9，
x=−928．
【点睛】此题考查了一元一次方程，解题的关键是熟悉一元一次方程的解题步骤．
【变式2-1】解方程：32[23(x4−1)−2]−x=2．
【分析】根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1，求出方程的解即可．
【详解】解：32[23(x4−1)−2]−x=2
去括号得：14x﹣1﹣3﹣x＝2，
合并同类项得：−34x＝6，
系数化为1得：x＝﹣8．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号是解题的关键．
【变式2-2】解方程：2x−73=23321−3x2+1
【答案】x=2
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：2x−73=23321−3x2+1
去分母得：22x−7=32−3x+6，
去括号得：4x−14=6−9x+6，
移项得：4x+9x=6+6+14，
合并得：13x=26，
解得：x=2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
【变式2-3】解方程：79{97[15（x+23+4）+6]+9}＝1．
【分析】去括号、去分母、移项、合并同类项，据此求出方程的解即可．
【详解】解：去括号，可得：15（x+23+4）+6+7＝1，
去分母，可得：x+2+12+195＝15，
移项，可得：x＝15﹣2﹣12﹣195，
合并同类项，可得：x＝﹣194．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【题型3 整体思想的应用】
【例3】解方程16(20x+50)+23(5+2x)−12(4x+10)=0
【分析】先去分母，方程两端同乘各分母的最小公倍数，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【详解】解：原方程去分母得：20x+50+4（5+2x）﹣3（4x+10）＝0，
去括号得：20x+50+20+8x﹣12x﹣30＝0，
合并同类项得：16x+40＝0，
化系数为1得：x=−52，
故答案为−52．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
【变式3-1】解方程：(x−4)−(x−4)−12=3−(x−4)+23
【答案】x=6.2
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可．
【详解】解：(x−4)−(x−4)−12=3−(x−4)+23
去分母得：6x−4−3x−5=18−2x−2 ，
去括号得：6x−24−3x+15=18−2x+4，
移项合并得：5x=31，
解得：x=6.2．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式3-2】解方程：45（x﹣7）＝6−15（x﹣7）．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解】解：45(x−7)=6−15(x−7)．
45(x−7)+15(x−7)=6，
x−7=6
∴原方程的解为x=13．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式3-3】解方程：45(x+7)=1−65(x+7)．
【答案】x=−132
【详解】解：45(x+7)=1−65(x+7)．
45(x+7)+65(x+7)=1，
2(x+7)=1
x+7=12
∴原方程的解为x=−132．
【点睛】本题主要考查解方程，掌握解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．
【题型4 先约分，再去分母】
【例4】解方程：2x−28=4x−612−3．
【答案】x=39
【分析】先去分母，再去括号，然后移项，最后合并同类项后，系数化为1，得出答案．
【详解】2x−28=4x−612−3
解：2x−28=4x−612−3
x−14=2x−36−3
3x−1=22x−3−36
3x−3=4x−6−36
3x−4x=−6−36+3
−x=−39
x=39．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键．
【变式4-1】解方程：3y−14−1=4y+146．
【答案】43
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可求解．
【详解】解：3y−14−1=4y+146
3y−14−1=2y+73
去分母得 33y−1−12=42y+7，
去括号得 9y−3−12=8y+28，
移项得 9y−8y=28+3+12，
合并同类项得 y=43．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题关键．
【变式4-2】解方程：x−1−4x3=33x+2112
【答案】先去分母、去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1，即可得到答案；
【详解】解：
x−1−4x3=33x+2112
x−1−4x3=11x+74
去分母，得：12x−4(1−4x)=3(11x+7)
去括号、移项，得：12x+16x−33x=21+4
合并同类项，得：−5x=25
系数化为1，得：x=−5；
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法进行解题．
【变式4-3】解方程：x−4x+26=2−2x−44．
【答案】x=4
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可．
【详解】解：x−4x+26=2−2x−44
x−2x+13=2−x−22
去分母，得：6x−22x+1=12−3x−2，
去括号，得：6x−4x−2=12−3x+6，
移项，合并，得：5x=20，
系数化1，得：x=4．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【题型5 先合并再解方程】
【例5】解方程：5x12−13=−7x12+53．
【答案】x=2
【详解】解：5x12−13=−7x12+53．，
方程整理得：5x12+7x12=53+13，
解得x=2．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式5-1】解方程：5x16−13=−27x16+83．
【答案】x=32
【详解】解：5x16−13=−27x16．，
方程整理得：5x16+27x16=13+83，
解得x=32．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式5-2】解方程: y4−2314=5y4+514．
【答案】y=−2
【详解】y4−2314=5y4+514
y4−5y4=514+2314，
−y=2，
y=−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式5-3】解方程: y9−238=51y9+98．
【答案】y=−1825．
【详解】y9−238=51y9+98
y9−51y9=98+238，
−50y9=4，
y=−1825．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【题型6 先拆分再合并】
【例6】解方程：1−2y3−4y=1−y+26
【答案】y=−227
【分析】先去分母，再去括号，再移项，再合并同类项，最后系数化1即可．
【详解】解：1−2y3−4y=1−y+26
2−4y−24y=6−y+2
2−28y=4−y
−27y=2
y=−227．
【点睛】本题考查解一元一次方程，能够数量掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
【变式6-1】解方程: 7x−13−5x+12=2−3x+24．
【答案】x=4
【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，按步骤计算即可；
【详解】解：7x−13−5x+12=2−3x+24，
去分母得：4(7x−1)−6(5x+1)=24−3(3x+2)
去括号得：28x−4−30x−6=24−9x−6
移项得：28x−30x+9x=24−6+4+6
合并同类项得：7x=28
系数化为1得， x=4
【变式6-2】解方程：2x−13−3x+16=1．
【答案】x=9
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤即可解答．
【详解】解：去分母，可得：2(2x−1)−(3x+1)=6，
去括号，可得：4x−2−3x−1=6，
移项，可得：4x−3x=6+2+1，
合并同类项，可得：x=9．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解答本题的关键．
【变式6-3】解方程：y−y−12=2−y+35；
【答案】y=97
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：y−y−12=2−y+35
去分母得：10y−5y−1=20−2y+3，
去括号得：10y−5y+5=20−2y−6，
移项得：10y−5y+2y=20−6−5，
合并同类项得：7y=9，
系数化为1度：y=97．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【题型7 分组通分】
【例7】解方程：x+37−x+25=x+16−x+44．
【答案】x=−36211
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x+3)−7(x+2)35=2(x+1)−3(x+4)12．
化简，得−2x+135=−x−1012．
解得x=−36211．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式7-1】解方程：x−24−2x+15=x+13+x−47．
【答案】x=−194263．
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x−2)−4(2x+1)20=7(x+1)+3(x−4)21．
化简，得−3x−1420=10x−521．
解得x=−194263．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式7-2】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得3(x−3)+4(2x+3)12=5(x+5)−6(x−4)30．
化简，得11x+312=−x+4930．
解得x=8357．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式7-3】解方程：x−27−x+14=x+33−x−48．
【答案】x=−34253．
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得4(x−2)−7(x+1)28=8(x+3)−3(x−4)24．
化简，得−3x−1528=5x+3624．
解得x=−34253．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．