2024年江苏省常州市中考真题数学试题+答案

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注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1. 的绝对值是（ ）
A B. C. 2024D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
2. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案．
【详解】解：若二次根式有意义，则，
解得，
在四个选项中符合的是2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
3. 计算的结果是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
4. 下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
【详解】解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
5. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A. 与一定相等B. 与一定不相等
C. 与一定相等D. 与一定不相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
6. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A. 光年B. 光年C. 光年D. 光年
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值．
【详解】解：50亿光年光年；
故选C．
7. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A. 垂线段最短
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
8. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 第所用的时间最长
B. 第的平均速度最大
C. 第和第的平均速度相同
D. 前的平均速度大于最后的平均速度
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意；
第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意；
由于前的的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意；
故选D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
10. 分解因式: =_________．
【答案】
【解析】
【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫分解因式．
【详解】
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可．
详解】解：，
故答案为：．
12. 若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果．
【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O，
∴，
∴关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴点C的坐标是；
故答案为：．
14. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：．
17. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案．
【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，
由题意可知，，
；
根据方差越小越稳定，即前九次波动较大，
，
故答案为：．
18. “绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解方程组和不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：
（1）加减法解方程组即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【小问1详解】
解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
【小问2详解】
解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
【答案】（1）见解析 （2）①②
（3）500个
【解析】
【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体：
（1）根据调查方式的选择，进行说明即可；
（2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式．
【小问2详解】
解：由统计表可知：这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；故①正确；
将数据排序后，第10个和第11个数据均位于，故这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；故②正确；
由统计表的中的数据可知，的数据只有2个，故平均数一定大于400，故③错误；
故答案为：①②；
【小问3详解】
解：（个）．
22. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）直接根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种，
∴甲获胜的概率为．
23. 如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与l的位置关系是________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图像与反比例函数的图像相交于点、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
25. 书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∵与的比是，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是．
26. 对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）图见解析（答案不唯一）
（3）或
【解析】
【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可；
（）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求；
（）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可．
小问1详解】
解：∵是线段的四等分点．，
∴，
∴，
∴线段的平移图形是，；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
由作图可知：，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴即为所求；
【小问3详解】
∵点的坐标分别是、、，
∴，
∴，
∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，
∴，
当在圆外时，
∵，，
∴，
∴，
∴．
当在圆内时，
则：，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键．
27. 将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
（1）如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】（1）菱形 （2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；
（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．
【小问1详解】
解：如图所示，连接
∵都是等边三角形，
∴，
∴四点共圆，
∵点E是的中点，
∴，
∴为过的圆的直径，
又∵，
∴为过的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
【小问2详解】
解：∵都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作，
∴设，则，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，
∵都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）________；
（2）如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
【答案】（1）3 （2）①；②1或或
【解析】
【分析】（1）当时，，即；
（2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或．
【小问1详解】
解：当时，，即；
【小问2详解】
解：①将点A代入
得，，
解得：，
∴解析式为：，
而，
∴对称轴为直线：，
当，且时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当，，当时，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由题意得，，，
∴四边形为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，

∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
即；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，
∵
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点P代入，
得：，
解得：或，
而当时，，故舍，
∴，
综上：点P的横坐标为1或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．完全充放电次数t
充电宝数量/个
2
3
10
5
甲
乙