2024年四川省自贡市中考数学真题试卷及答案解析

这是一份2024年四川省自贡市中考数学真题试卷及答案解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷选择题（共48分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在0，，，四个数中，最大的数是（）
A. B. 0C. D.
2. 据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界．70000用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（）
AB. C. D.
4. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（）
A. B. C. D.
5. 学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（）
A. 3，4B. 4，4C. 4，5D. 5，5
6. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（）
A. B. C. D.
7. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（）
A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
9. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（）
AB. C. D.
10. 如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
11. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（）
A. B. C. D.
12. 如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（）
A. B. C. D. 5
第Ⅱ卷（非选择题共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫来黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：___________．
14. 计算：________．
15. 凸七边形的内角和是________度．
16. 一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值________．
17. 龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为________（结果保留）．
18. 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________．
三、解答题（共8个题，共78分）
19. 计算：
20. 如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
21. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
22. 在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________；
（2）如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．
求证：是的切线．
23. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
图1 学生体质健康统计表
（1）图1中________，________，________；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
25. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点P．
（1）求抛物线的解析式及P点坐标；
（2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长；
（3）过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M，N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论．
参考答案
第Ⅰ卷选择题（共48分）
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
解：根据实数比较大小的方法，可得：
，
∴在0，，，四个数中，最大的数是，
故选：C．
2. 【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：70000用科学记数法表示为，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解．
解：由作图知，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
故选：A．
4. 【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下面看到的图形，主视图是从正面看到的图形，据此逐项分析，即可作答．
解：A.的俯视图与主视图分别是带圆心的圆和三角形，故该选项是错误的；
B.的俯视图与主视图分别是圆和长方形，故该选项是错误的；
C.的俯视图与主视图都是正方形，故该选项是正确的；
D.的俯视图与主视图分别是长方形和梯形，故该选项是错误的；
故选：C．
5. 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中位数和众数．将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数．
解：将这组数据从小到大排列：3，4，5，5，7．
则这组数据的中位数为5，
5出现次数最多，则众数为5，
故选：D．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解．
解：∵，
∴，，
∵将绕点O逆时针旋转到，
∴，
∴，，
∴点B坐标为，
故选：A．
7. 【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答．
解：是中心对称图形，但不是轴对称图形
故选：B
8. 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9. 【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
解：根据题意得：
，
解得：，
∴的取值范围是，
故选：C．
10. 【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：在中，，，
∴，，
∵点P从点A出发、以的速度沿运动，
∴点P从点A出发到达D点的时间为：，
∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，
∴点Q从点C出发到B点的时间为：，
∵，
∴，
当时，四边形为平行四边形，
∴，
当时，四边形为等腰梯形，
∴，
设同时运动的时间为，
当时，，
∴，
此时，四边形为平行四边形，，
如图：过点分别作的垂线，分别交于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是等腰梯形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时是等腰梯形，，
当时，，
∴，
此时，四边形为平行四边形，，
当时，，
∴，
此时，四边形为平行四边形，，
综上，当或或或时，，共4次，
故选：B．
11.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解．
解：∵等边，于点D，长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴新钢架减少用钢
，
故选：D．
12.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，设，证明和，推出和，由，列式计算求得，在中，求得的长，据此求解即可．
解：如图，交于点，
∵矩形，
∴，
由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，即②，
∵，
由①②得，
解得，则，
在中，，
∵，
∴，即，
故答案为：A．
第Ⅱ卷（非选择题共102分）
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13.【答案】
【解析】
【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可．
解：，
故答案为：．
【点拨】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
14.【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式同分母的减法运算，分母不变，分子直接相减，即可作答．
解：．
故答案为：1．
15.【答案】900
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．
解：七边形的内角和，
故答案为：900．
16.【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数)的值随的增大而增大，得出，写一个满足条件的的值即可，根据的正负性判断函数增减性是解题的关键．
解：∵的值随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴的值可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
17.【答案】
【解析】
【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键．
解：扇面面积扇形的面积扇形的面积
，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形，
设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为，
当时，如图，
则在射线上的长为
则，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，的最大值为；
当时，如图，
则矩形菜园的总长为，
则在射线上的长为
则，
∵，
∴当时，随的增大而减少，
∴当时，的值均小于；
综上，矩形菜地的最大面积是；
故答案为：．
三、解答题（共8个题，共78分）
19.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正切值，再运算零次幂，绝对值，算术平方根，再运算加减，即可作答．
解：
．
20.【答案】（1）见解析（2）是等腰直角三角形．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形．
小问1证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小问2解：是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
21.【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，
由题意得：
，解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
22.【答案】（1）；；1
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案；
（2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线．
小问1解：连接，设半径为，
∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，，；
在四边形中，，
四边形为矩形，
又因为，
四边形为正方形．
则，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
解得，
故答案为：；；1；
小问2证明：连接，，，作于点，
设半径为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∵，
∴是的切线．
【点拨】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
23.【答案】（1）；20；
（2）补全图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）选取的2名学生均为“良好”的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
（1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再分别求得的值；
（2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，利用样本估计总体可求解；
（3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“良好”的结果数，然后根据概率公式求解．
小问1解：样本容量为，
则，
，
，
故答案为：；20；；
小问2解：补全条形统计图，如图：
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
小问3解：设3名“良好”分别用A.B.C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为．
24.【答案】（1），
（2）点P坐标为或；
（3）Q点坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．
（2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答．
（3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．
小问1解：依题意把代入，得出
解得
把代入中，得出
∴
则把和分别代入
得出
解得
∴；
小问2解：记直线与直线的交点为
∵
∴当时，则
∴
∵P是直线上的一个动点，
∴设点，
∵的面积为21，
∴
即
∴
解得或
∴点P坐标为或；
小问3解：由（1）得出
∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，
∴设点Q的坐标为
如图：点在点的右边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得（负值已舍去）
经检验是原方程的解，
∴Q点坐标为
如图：点在点的左边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得，符合题意，，不符合题意，
则，故
综上：Q点坐标为或．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25.【答案】（1）
（2）旗杆高度为；
（3）雕塑高度为．
【解析】
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；
（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．
小问1解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
小问2解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
小问3解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
26.【答案】（1），
（2）4（3）点H在直线上，见详解
【解析】
【分析】（1）待定系数法即可求解二次函数解析式，再进行配方即可求点P坐标；
（2）先由与的正切值相等得到，继而可证明，再由垂径定理得到；
（3）将点代入得直线表达式为，则，而点E为中点，则，可求，联立抛物线与直线表达式，得：，可求，可证明，得到，即可求解．
小问1解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
而，
∴；
小问2解：如图：
当时，，
∴点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是经过点A.B.C的的直径，
∵，经过圆心，
∴；
小问3解：如图：
将点代入，得，
∴，
把点N横坐标，代入得，
∵轴，轴，
∴，点G为中点，
∴，
∴点E为中点，
∴，
∵点P关于E的对称点为Q，
∴，
∴，
联立抛物线与直线表达式，
得：，
整理得：，
∴，
解得：，
即，
∵，，
∴，
∴点N、Q、H三点共线，
∴点H在直线上．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，抛物线与直线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
良好
45
c
优秀
32
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）