第41讲 直线、平面平行的判定与性质--2025高考数学一轮单元综合复习与测试卷

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1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
考点1 直线与平面平行的判定与性质
[名师点睛]
1．利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．
2．利用面面平行的性质证明直线与平面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．
3．在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
[典例]
例1 如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
证明 法一 如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，
又PM∥AB∥QN，
∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(PE,AE)＝eq \f(QB,BD)＝eq \f(QN,DC)，∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(QN,DC).
又ABDC，∴PMQN，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
法二 如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.
则PM∥平面BCE，
∵PM∥BE，
∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(AM,MB)，又AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(DQ,BQ)，∴eq \f(AM,MB)＝eq \f(DQ,QB)，
∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，
∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，
∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
[举一反三]
如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，
四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
考点2 平面与平面平行的判定与性质
[名师点睛]
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
[典例]
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明 (1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF∥A1G，
∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
[举一反三]
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1GEB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
考点3 平行关系的综合应用
[名师点睛]
三种平行关系的转化
[典例]
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1∥平面AEC；
(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，请说明理由．
(1)证明 如图，连接BD交AC于O，连接EO.
因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，
对角线AC，BD交于O点，
所以O为BD的中点，
又因为E为DD1的中点，
所以在△DBD1中，OE是△DBD1的中位线，
所以OE∥BD1.
又因为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
所以BD1∥平面AEC.
(2)解 当CC1上的点F为中点时，即满足平面AEC∥平面BFD1.
连接BF，D1F，
因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，
所以CFED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，
所以D1F∥EC，
又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，
所以D1F∥平面AEC.
由(1)知BD1∥平面AEC，
又因为BD1∩D1F＝D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，
所以平面AEC∥平面BFD1.
[举一反三]
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明 (1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点.
又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，
因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，
因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因为O是AC的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因为GH⊂平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
2.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0由(1)知EF∥AB，
∴eq \f(CF,CB)＝eq \f(EF,AB)＝eq \f(x,4)，
与(1)同理可得CD∥FG，∴eq \f(FG,CD)＝eq \f(BF,BC)，
则eq \f(FG,6)＝eq \f(BF,BC)＝eq \f(BC－CF,BC)＝1－eq \f(x,4)，
∴FG＝6－eq \f(3,2)x.
∴四边形EFGH的周长
L＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x.
又∵0∴8故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b