广东省大湾区2023-2024学年高一下学期期末联合考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省大湾区2023-2024学年高一下学期期末联合考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数,则z的模为( )
A.2B.C.3D.
2．已知向量与向量平行，则( )
A.1B.0C.D.
3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于( )
A.B.或C.D.
4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
5．如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为( )
A.B.3C.4D.6
6．已知扇形的半径为13，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为C，则( )
A.B.C.D.
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是( )
A.B.C.D.
8．如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，为复数，则( )
A.存在唯一的，使
B.存在唯一的，使
C.存在唯一的，使
D.存在唯一的，使
10．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到，则( )
A.圆柱的侧面积为
B.当时，
C.当时，异面直线与所成的角为
D.面积的最大值为
11．直角中，斜边，P为所在平面内一点，（其中），则( )
A.的取值范围是
B.点P经过的外心
C.点P所在轨迹的长度为2
D.的取值范围是
三、填空题
12．已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________.
13．计算：________.
14．已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，则点P的坐标________.
四、解答题
15．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，E，F分别为线段，的中点，底面，.
（1）作出平面与平面的交线l，并证明；
（2）求点C到平面的距离.
16．如图，是等边三角形，D是边上的动点，记，.
（1）求的最大值；
（2）若，，求的周长.
17．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值
（3）已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离.
18．已知平行四边形中，，，和交于点P.
（1）用，表示向量.
（2）若的面积为，的面积为，求的值.
（3）若，，求的余弦值.
19．如图，三棱台中，，，，点A在平面上的射影在的平分线上.
（1）求证：；
（2）若A到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：由,所以,故选D.
2．答案：A
解析：因为向量与向量平行，所以，解得.
故选：A
3．答案：A
解析：由正弦定理可得
由，，可得，则，故，
又，则
故选：A
4．答案：D
解析：对选项A：若，，则或m，n为异面直线，错误；
对选项B：若，，则n和可以是任何位置关系，错误；
对选项C：若，，则n和m可以是任何位置关系，错误；
对选项D：若，，，则，正确；
故选：D.
5．答案：B
解析：在图（1）中的几何体中，水的体积为，
在图（2）的几何体中，水的体积为：，
因为，可得，解得.
故选：B.
6．答案：B
解析：因为，
故，
故，
故，故.
故选：B
7．答案：B
解析：因为.
将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，所以有，所以，，
所以有，，.
对于A项，令，即，解得，A项错误；
对于B项，令，即，解得，B项正确；
对于C项，令，即，解得，C项错误；
对于D项，令，即，解得，D项错误.
故选：B.
8．答案：B
解析：根据题意，取，的中点分别为M，N，连接，，，，，如下图所示：
易知，且，所以四边形是平行四边形；
即，又平面，平面，
所以平面；
同理可得平面；
，平面，
所以平面平面平行，
即过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面；
显然，，且，；
所以四边形是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形的面积；易知，，所以其面积为.
故选：B
9．答案：BCD
解析：对于A：因为，所以，
又，所以，此时复数有无数多个，故A错误；
对于B：且，所以，故B正确；
对于C：且，所以，故C正确；
对于D：且，所以，故D正确；
故选：BCD
10．答案：BC
解析：对于A，圆柱的侧面积为，A错误；
对于B，因为，所以，又，
所以平面，所以，B正确；
对于C，因为，所以就是异面直线与
所成的角，因为，所以为正三角形，
所以，因为，所以，C正确；
对于D，作，垂足为E，连接，所以平面，所以.
在中，，
，所以，D错误.
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：由，又斜边，则，则，A正确；
若O为中点，则，故，又，
所以O，P，C共线，故P在线段上，轨迹长为1，又O是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，圆锥底面半径，圆锥母线长，
圆锥的表面积.
故答案为：.
13．答案：/
解析：
.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可得，
因为点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，
所以，
设P点坐标为，则，
解得，，
即点P的坐标为，
故答案为：
15．答案：（1）答案见解析；
（2）
解析：（1）在图形中作出交线l
，且E为中点，
且
四边形为平行四边形
，面，面，
面
又面，面面，
（2）设点C到平面的距离为h，，连接，
F为PC中点，G为PD中点，
，，，
平面，
，平面，.
.
16．答案：（1）；
（2）6
解析：（1）由是等边三角形得，，
所以
当时，即D为中点时，原式取最大值；
（2）由，可得，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，
则的周长为.
17．答案：（1），余弦距离等于；
（2）；
（3）
解析：（1），
，故余弦距离等于；
（2）；
故，，则.
（3）因为，，
所以.
因为，所以.
因为，
所以.
因为，则，
所以.
因为，
，所以.
因为，
，
所以.
因为，
所以M、P之间的曼哈顿距离是.
18．答案：（1）；
（2）5；
（3）
解析：（1）因为点P在上，则，
又因为，，可知，解得，
所以.
（2）由（1）可得，则，即，
因为，则，
即，可知，即，
所以.
（3）由，即，
则，
所以，即，又，
所以平行四边形是正方形，如图所示的建系，
不妨设，则，，，，可得，，可得，
因为是向量和的夹角，所以的余弦值是.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O点，得到棱锥，
由题意可知A、B、C分别是三条侧棱、、的中点，
取的中点D，连接，设A在底面的投影为M，连接，
根据题意可知底面，且M在上，
因为面，所以
又，所以，
而，平面，
所以面，
因为面，所以；
（2）过O作底面，结合（1）可知N在上，且，，
在上，，，
结合题意可知：，，则，
在中，，
所以，
设到平面的距离为h，与平面的夹角为，
所以，
解之得：，
所以，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.