福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

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一、单选题
1．已知，则的值是（ ）
A．B．2C．D．
2．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ）
A．20B．25C．30D．35
5．已知函数的部分图像如图所示，则函数的一个单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
7．等差数列，满足
，则（ ）
A．n的最大值是50B．n的最小值是50
C．n的最大值是51D．n的最小值是51
8．对于曲线，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线与曲线有四个交点．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．已知，则下列说法正确的有（ ）
A．奇函数B．的值域是
C．的递增区间是D．的值域是
10．已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．最小值为2B．若，则
C．若，则D．若点P不在x轴上，则
11．已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．若数列为常数列，则
C．若数列为递增数列，则D．当时，
三、填空题
13．函数的定义域是 ．
14．若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程是 ．
15．已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则 ．
四、解答题
16．的内角，，所对的边分别为，，，且的面积.
（1）求；
（2）若、、成等差数列，的面积为，求.
17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
18．在中，角 ，，所对的边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求．
19．双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为），若胜则获得冠军，若胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.
（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件，求的概率；
（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为，解决以下问题：
①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；
②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量，求的分布列.
20．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，且，求.
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）对a∈(0，1)，是否存在实数λ，，使成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
X
1
2
3
4
5
P
m
n
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828