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第09讲 二次函数与幂函数（精讲）【2024题型归纳与方法总结】（新高考）
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这是一份第09讲 二次函数与幂函数（精讲）【2024题型归纳与方法总结】（新高考），共12页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题型目录一览
一、知识点梳理
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为，顶点坐标为.
【常用结论】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
二、题型分类精讲
题型一 幂函数的定义与图像
策略方法 若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
【典例1】已知幂函数满足，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知为幂函数， 且， 则（ ）
A．B．C．D．
3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且D．是偶数，且
二、填空题
8．函数的定义域为_______．
9．设集合，集合，则________．
10．若函数的图像经过点与，则m的值为____________．
11．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
12．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
题型二 幂函数的性质和综合应用
策略方法
(1)紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【题型训练】
一、单选题
1．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
2．幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．和
3．已知、，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
4．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A．B．
C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数为非奇非偶函数
C．过点且与图象相切的直线方程为
D．若，则
7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
8．已知幂函数是偶函数，在上递增的，且满足.请写出一个满足条件的的值，__________.
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
10．已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
四、解答题
11．已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
12．已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
题型三 二次函数单调性问题
策略方法 二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
【典例1】“函数在区间上不单调”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型训练】
一、单选题
1．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．若函数在区间单调递减，则实数的取值范围为 __．
6．若函数满足下列性质：
（1）定义域为，值域为；
（2）图象关于直线对称；
（3）对任意的，且，都有．
写出函数的一个解析式：_______．
7．若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是_____________.
题型四 二次函数最值问题
策略方法 二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．0C．D．2
2．已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在上的最小值为-1，则（ ）
A．2或B．1或C．2D．1
4．已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（ ）
A．0B．1C．D．
二、填空题
6．若函数在区间内存在最小值，则的取值范围是___________．
7．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
8．函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
9．设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
题型五 二次函数恒成立问题
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min．
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f (x)＝ax2＋bx＋c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f m＜0，,f n＜0.))
【典例1】设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.
【题型训练】
一、单选题
1．若函数在上是单调减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“对任意的正数，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
4．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
5．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
6．已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.
7．设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是________.
【附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质和综合应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值问题
⑤二次函数恒成立问题
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
题型目录一览
一、知识点梳理
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为，顶点坐标为.
【常用结论】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
二、题型分类精讲
题型一 幂函数的定义与图像
策略方法 若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
【典例1】已知幂函数满足，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知为幂函数， 且， 则（ ）
A．B．C．D．
3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且D．是偶数，且
二、填空题
8．函数的定义域为_______．
9．设集合，集合，则________．
10．若函数的图像经过点与，则m的值为____________．
11．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
12．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
题型二 幂函数的性质和综合应用
策略方法
(1)紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【题型训练】
一、单选题
1．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
2．幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．和
3．已知、，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
4．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A．B．
C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数为非奇非偶函数
C．过点且与图象相切的直线方程为
D．若，则
7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
8．已知幂函数是偶函数，在上递增的，且满足.请写出一个满足条件的的值，__________.
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
10．已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
四、解答题
11．已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
12．已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
题型三 二次函数单调性问题
策略方法 二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
【典例1】“函数在区间上不单调”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型训练】
一、单选题
1．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．若函数在区间单调递减，则实数的取值范围为 __．
6．若函数满足下列性质：
（1）定义域为，值域为；
（2）图象关于直线对称；
（3）对任意的，且，都有．
写出函数的一个解析式：_______．
7．若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是_____________.
题型四 二次函数最值问题
策略方法 二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．0C．D．2
2．已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在上的最小值为-1，则（ ）
A．2或B．1或C．2D．1
4．已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（ ）
A．0B．1C．D．
二、填空题
6．若函数在区间内存在最小值，则的取值范围是___________．
7．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
8．函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
9．设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
题型五 二次函数恒成立问题
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min．
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f (x)＝ax2＋bx＋c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f m＜0，,f n＜0.))
【典例1】设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.
【题型训练】
一、单选题
1．若函数在上是单调减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“对任意的正数，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
4．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
5．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
6．已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.
7．设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是________.
【附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质和综合应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值问题
⑤二次函数恒成立问题
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
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