湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题及参考答案

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时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，
1. 已知向量，若，则等于（ ）
A. 9B. 3C. -1D. -3
2. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. -2D. 2
4. 已知，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角所对的边分别为，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为
A B.
C. D.
8. 如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数据，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数不变
B. 若，则数据的第75百分位数为13
C. 平均数不变
D. 方差变小
10. 已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值､极小值分别记为.则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 实数的取值范围为
C.
D.
11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（ ）
A. 若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为
B. 若是动点，则的值恒为2
C. 若是动点，则椭圆离心率的取值范围是
D. 若是动点，则的取值范围是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________.
13. 已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为__________.
14. 某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为__________.（以样本估计总体，将频率视为概率）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期国院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表：
（1）求出关于的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值；
（2）该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量，求的分布列和数学期望.
参考公式：；
参考数据：.
16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围.
17. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）求锐二面角余弦值.
18. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设函数.证明：
（i）函数有唯一极值点；
（ii）若函数有唯一零点，则.
19. 给定整数，数列，且，为整数.在中去掉一项，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.
（1）已知数列，写出的值及的特征值；
（2）若，当，其中，且时，证明：；
（3）已知数列的特征值为，求的最小值.
日销售量/件
10
20
30
40
天数
3
6
15
6
月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代
1
2
3
4
5
产值（百亿元）
16
20
27
30
37