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2023-2024学年河北省邢台市信都区邢台市第一中学高一下学期7月期末数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年河北省邢台市信都区邢台市第一中学高一下学期7月期末数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=−10−3ii在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生．该校心理咨询室为了解该校学生的心理健康状况，对该校所有学生按年级采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中高一年级的学生人数为( )
A. 45B. 50C. 55D. 60
3.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinC+bsinB=asinA，则该三角形的形状是( )
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不确定的
4.在▵ABC中，AB+kAC//BC，则k=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
5.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是( )
A. “甲取出球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
6.一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱VA上，且VP=14VA，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则截面图形的周长为( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
7.如图，两座山峰的高度AM=CN=300m，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为π4，N点的仰角为π6，且∠MBN=π4，则两座山峰峰顶之间的距离MN=( )
A. 300mB. 600mC. 300 2mD. 600 2m
8.一个大正方体木块的表面积为96cm2，将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长为1cm的小正方体木块．若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为( )
A. 12B. 14C. 34D. 38
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点A2,5，B−1,7，C4,−2，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是( )
A. −3,14B. −1,0C. 7,−4D. 1,0
10.样本xi，yi的数据如下表：
样本xi，yi的平均数分别记为x和y，样本xi，yi的方差分别记为s12和s22，则( )
A. x=0.06B. y=0.39C. s12=0.0012D. s22=0.0009
11.如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是矩形，A1B1=8，A1D1=6，AB=16，AD=12，AA1=13，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱台的体积为1344
B. 该四棱台的侧面积为72 17+72 10
C. 该四棱台外接球的表面积为676π
D. 若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为3 17−32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2i− 32i+ 3= ．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，B1C1的中点，则直线D1E与直线A1F所成角的余弦值为 ．
14.已知M是▵ABC所在平面内一点，若AM=xAB+yAC，且x+y=14，设▵MBC的面积为S1，▵ABC的面积为S2，则S1S2= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a，b，c满足a=1，b=2，c=3．
(1)若b在a上的投影向量为a，求a和b的夹角；
(2)若a，b，c两两夹角为2π3，且a+kb与b−2kc垂直，求k的值．
16.(本小题15分)
某校高一年级共1000名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分(满分100分)进行统计，按照50,60,60,70，70,80,80,90，90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)试估计本次数学考试分数的中位数(保留一位小数)；
(3)试估计本次数学考试分数不低于80的人数．
17.(本小题15分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1．
(1)证明：B1D1⊥AC1．
(2)求二面角B1−AC−D的余弦值．
18.(本小题17分)
某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为34，25.已知甲(25岁)、乙(35岁)两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
(1)甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
(2)求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
(3)求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
19.(本小题17分)
在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+csinC=2csinB+asinA．
(1)求角A；
(2)已知a=2；
①求▵ABC面积的最大值；
②延长BC至D，使得CD=BC，连接AD，设▵ACD外接圆的圆心为O，求CO⋅AD的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.C
8.D
9.ACD
10.AB
11.ABD
12.17+4 37i
13.25或0.4
14.34或0.75
15.(1)
b在a上的投影向量为bcsa,b⋅aa=a，
因为a=1，b=2，所以2csa,b⋅a=a，即csa,b=12，
所以a,b=π3，
即a和b的夹角为π3；
(2)
由a+kb与b−2kc垂直，所以a+kb⋅b−2kc=0，
整理得a⋅b−2ka⋅c+kb2−2k2b⋅c=0，
又a=1，b=2，c=3，且a，b，c两两夹角为2π3，
则a⋅b=a⋅b⋅cs2π3=−1，a⋅c=a⋅c⋅cs2π3=−32，b⋅c=b⋅c⋅cs2π3=−3，
则−1+3k+4k+6k2=0，解得k=−7± 7312，
综上，k的值为−7+ 7312或−7− 7312．
16.(1)
由频率分布直方图可得10×0.038+0.034+0.018+0.006+a=1，
所以a=0.004；
(2)
因为0.004+0.018×10=0.22<0.5，0.004+0.018+0.038×10=0.6>0.5，
所以本次数学考试分数的中位数在70,80这一组，
设本次数学考试分数的中位数为x，则0.004+0.018×10+0.038x−70=0.5，
解得x≈77.4，
所以估计本次数学考试分数的中位数为77.4；
(3)
由频率分布直方图可得数学分数不低于80的频率为0.034+0.006×10=0.4，
用样本估计总体，可以估计数学分数不低于80的人数为1000×0.4=400，
所以估计本次数学考试分数不低于80的人数为400．
17.(1)
连接A1C1．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．
在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1．
因为A1C1∩AA1=A1，A1C1、AA1⊂平面ACC1A1，
所以B1D1⊥平面ACC1A1．
因为AC1⊂平面ACC1A1，所以B1D1⊥AC1；
(2)
取AC的中点M，连接DM，MB1，则DM⊥AC．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC．
又因为BD⊥AC，BB1∩BD=B，BB1、BD⊂平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，MB1⊂平面BDD1B1，则AC⊥MB1．
又因为DM⊥AC，所以∠DMB1为二面角B1−AC−D的平面角．
连接DB1，设正方体的棱长为4.在▵DMB1中，
MB1= BB12+BM2=2 6，DM=12 CD2+AD2=2 2，
DB1= AB2+BC2+CC12=4 3．
由余弦定理得cs∠DMB1=DM2+MB12−DB122DM⋅MB1=− 33．
故二面角B1−AC−D的余弦值为− 33．
18.(1)
设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件Ai，Bii=1,2,3,4，
则PAi=34，PBi=25．
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为144=1256，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为1−1256=255256．
(2)
设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则PA=PA1+A1A2=PA1+PA1A2=34+14×34=1516，
PB=PB1+B1B2=PB1+PB1B2=25+35×25=1625．
故所求概率为PAB=1516×1625=35．
(3)
甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PD=PA1A2A3=142×34=364．
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PE=PB1B2B3=352×25=18125．
故所求概率为PAE+PDB=1516×18125+364×1625=33200．
19.(1)
根据正弦定理角化边可知，b2+c2=2csinB+aa，
即b2+c2−a2=2acsinB，
csA=b2+c2−a22bc=2acsinB2bc=asinBb，
即bcsA=asinB，即sinBcsA=sinAsinB，
即sinBsinA−csA=0，sinB>0，
所以sinA−csA=0，即tanA=1，A∈0,π，
则A=π4；
(2)
①因为b2+c2−a2=2bccsA，所以b2+c2−4= 2bc≥2bc−4，
解得bc≤4+2 2，当且仅当b=c时，等号成立，
所以▵ABC的面积S=12bcsinA= 24bc≤1+ 2，
即▵ABC面积的最大值为1+ 2．
②设AD的中点为E．
CO⋅AD=CE+EO⋅AD=CE⋅AD+EO⋅AD=CE⋅AD
=12CA+CD⋅AC+CD=12CD2−CA2=12CB2−CA2=12a2−b2=2−12b2．
因为asinA=bsinB=2 2，所以b=2 2sinB≤2 2，
当且仅当B=π2时，等号成立，所以b2≤8．
故CO⋅AD=2−12b2≥−2．
综上，CO⋅AD的最小值为−2．
样本编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
0.06
0.04
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
yi
0.40
0.35
0.41
0. 44
0.34
0.36
0.40
0.42
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=−10−3ii在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生．该校心理咨询室为了解该校学生的心理健康状况，对该校所有学生按年级采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中高一年级的学生人数为( )
A. 45B. 50C. 55D. 60
3.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinC+bsinB=asinA，则该三角形的形状是( )
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不确定的
4.在▵ABC中，AB+kAC//BC，则k=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
5.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是( )
A. “甲取出球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
6.一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱VA上，且VP=14VA，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则截面图形的周长为( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
7.如图，两座山峰的高度AM=CN=300m，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为π4，N点的仰角为π6，且∠MBN=π4，则两座山峰峰顶之间的距离MN=( )
A. 300mB. 600mC. 300 2mD. 600 2m
8.一个大正方体木块的表面积为96cm2，将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长为1cm的小正方体木块．若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为( )
A. 12B. 14C. 34D. 38
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点A2,5，B−1,7，C4,−2，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是( )
A. −3,14B. −1,0C. 7,−4D. 1,0
10.样本xi，yi的数据如下表：
样本xi，yi的平均数分别记为x和y，样本xi，yi的方差分别记为s12和s22，则( )
A. x=0.06B. y=0.39C. s12=0.0012D. s22=0.0009
11.如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是矩形，A1B1=8，A1D1=6，AB=16，AD=12，AA1=13，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱台的体积为1344
B. 该四棱台的侧面积为72 17+72 10
C. 该四棱台外接球的表面积为676π
D. 若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为3 17−32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2i− 32i+ 3= ．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，B1C1的中点，则直线D1E与直线A1F所成角的余弦值为 ．
14.已知M是▵ABC所在平面内一点，若AM=xAB+yAC，且x+y=14，设▵MBC的面积为S1，▵ABC的面积为S2，则S1S2= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a，b，c满足a=1，b=2，c=3．
(1)若b在a上的投影向量为a，求a和b的夹角；
(2)若a，b，c两两夹角为2π3，且a+kb与b−2kc垂直，求k的值．
16.(本小题15分)
某校高一年级共1000名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分(满分100分)进行统计，按照50,60,60,70，70,80,80,90，90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)试估计本次数学考试分数的中位数(保留一位小数)；
(3)试估计本次数学考试分数不低于80的人数．
17.(本小题15分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1．
(1)证明：B1D1⊥AC1．
(2)求二面角B1−AC−D的余弦值．
18.(本小题17分)
某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为34，25.已知甲(25岁)、乙(35岁)两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
(1)甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
(2)求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
(3)求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
19.(本小题17分)
在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+csinC=2csinB+asinA．
(1)求角A；
(2)已知a=2；
①求▵ABC面积的最大值；
②延长BC至D，使得CD=BC，连接AD，设▵ACD外接圆的圆心为O，求CO⋅AD的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.C
8.D
9.ACD
10.AB
11.ABD
12.17+4 37i
13.25或0.4
14.34或0.75
15.(1)
b在a上的投影向量为bcsa,b⋅aa=a，
因为a=1，b=2，所以2csa,b⋅a=a，即csa,b=12，
所以a,b=π3，
即a和b的夹角为π3；
(2)
由a+kb与b−2kc垂直，所以a+kb⋅b−2kc=0，
整理得a⋅b−2ka⋅c+kb2−2k2b⋅c=0，
又a=1，b=2，c=3，且a，b，c两两夹角为2π3，
则a⋅b=a⋅b⋅cs2π3=−1，a⋅c=a⋅c⋅cs2π3=−32，b⋅c=b⋅c⋅cs2π3=−3，
则−1+3k+4k+6k2=0，解得k=−7± 7312，
综上，k的值为−7+ 7312或−7− 7312．
16.(1)
由频率分布直方图可得10×0.038+0.034+0.018+0.006+a=1，
所以a=0.004；
(2)
因为0.004+0.018×10=0.22<0.5，0.004+0.018+0.038×10=0.6>0.5，
所以本次数学考试分数的中位数在70,80这一组，
设本次数学考试分数的中位数为x，则0.004+0.018×10+0.038x−70=0.5，
解得x≈77.4，
所以估计本次数学考试分数的中位数为77.4；
(3)
由频率分布直方图可得数学分数不低于80的频率为0.034+0.006×10=0.4，
用样本估计总体，可以估计数学分数不低于80的人数为1000×0.4=400，
所以估计本次数学考试分数不低于80的人数为400．
17.(1)
连接A1C1．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．
在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1．
因为A1C1∩AA1=A1，A1C1、AA1⊂平面ACC1A1，
所以B1D1⊥平面ACC1A1．
因为AC1⊂平面ACC1A1，所以B1D1⊥AC1；
(2)
取AC的中点M，连接DM，MB1，则DM⊥AC．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC．
又因为BD⊥AC，BB1∩BD=B，BB1、BD⊂平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，MB1⊂平面BDD1B1，则AC⊥MB1．
又因为DM⊥AC，所以∠DMB1为二面角B1−AC−D的平面角．
连接DB1，设正方体的棱长为4.在▵DMB1中，
MB1= BB12+BM2=2 6，DM=12 CD2+AD2=2 2，
DB1= AB2+BC2+CC12=4 3．
由余弦定理得cs∠DMB1=DM2+MB12−DB122DM⋅MB1=− 33．
故二面角B1−AC−D的余弦值为− 33．
18.(1)
设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件Ai，Bii=1,2,3,4，
则PAi=34，PBi=25．
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为144=1256，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为1−1256=255256．
(2)
设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则PA=PA1+A1A2=PA1+PA1A2=34+14×34=1516，
PB=PB1+B1B2=PB1+PB1B2=25+35×25=1625．
故所求概率为PAB=1516×1625=35．
(3)
甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PD=PA1A2A3=142×34=364．
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PE=PB1B2B3=352×25=18125．
故所求概率为PAE+PDB=1516×18125+364×1625=33200．
19.(1)
根据正弦定理角化边可知，b2+c2=2csinB+aa，
即b2+c2−a2=2acsinB，
csA=b2+c2−a22bc=2acsinB2bc=asinBb，
即bcsA=asinB，即sinBcsA=sinAsinB，
即sinBsinA−csA=0，sinB>0，
所以sinA−csA=0，即tanA=1，A∈0,π，
则A=π4；
(2)
①因为b2+c2−a2=2bccsA，所以b2+c2−4= 2bc≥2bc−4，
解得bc≤4+2 2，当且仅当b=c时，等号成立，
所以▵ABC的面积S=12bcsinA= 24bc≤1+ 2，
即▵ABC面积的最大值为1+ 2．
②设AD的中点为E．
CO⋅AD=CE+EO⋅AD=CE⋅AD+EO⋅AD=CE⋅AD
=12CA+CD⋅AC+CD=12CD2−CA2=12CB2−CA2=12a2−b2=2−12b2．
因为asinA=bsinB=2 2，所以b=2 2sinB≤2 2，
当且仅当B=π2时，等号成立，所以b2≤8．
故CO⋅AD=2−12b2≥−2．
综上，CO⋅AD的最小值为−2．
样本编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
0.06
0.04
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
yi
0.40
0.35
0.41
0. 44
0.34
0.36
0.40
0.42
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