[数学][期末]四川省眉山市东坡区部分学校2023-2024学年高一下学期期末联合考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]四川省眉山市东坡区部分学校2023-2024学年高一下学期期末联合考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．）
1. 设平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，解得.
故选：B.
2. 已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设点的坐标为，则，
即，解得，
即.
故选：C.
3. 在中，已知，，，则为（ ）
A. 4B. 5C. 3D. 6
【答案】C
【解析】由余弦定理得：，
整理得：，解得：或（舍去）.
故选：C.
4. 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，.
故选：A.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，则，则，
，
则，由，故.
故选：C.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，，
又因为，所以.
故选：A．
7. 在中，若，，则一定（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 无法确定
【答案】A
【解析】由，根据余弦定理，故，
所以，所以，，所以，
所以，因为，
所以，
即，所以，
因为，所以，
所以，从而，所以三角形为等边三角形.
故选：A.
8. 已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】与的夹角为钝角，，
又与的夹角为，
所以，即，解得，
又与不共线，所以，所以取值范围为.
故选：D.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．若正确选项有两项，则 每选对一个给 3 分，若正确选项有三项，则每选对一项给 2 分.选错不给分.）
9. 得到函数图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】AD
【解析】先平移后伸缩：函数图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得；
先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即，
故AD符合题意.
故选：AD．
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上的最小值为
【答案】ACD
【解析】由函数的图象可得，由，解得，A正确；
再根据五点法可得，又因为，解得，
从而，所以，
即函数为奇函数，B错误；
当时，，所以是最值，C正确；
因为时，，
因为，所以单调递增，
所以当时，D正确.
故选：ACD.
11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为1
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，B正确；
对于，在锐角中，，
即，故，
C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
易知函数单调递增，所以可得，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．）
12. 已知向量满足，且与的夹角为60°，则______.
【答案】
【解析】因为，与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.
【答案】
【解析】由题设可知在中，，由此可得，
由正弦定理可得，解之得，
又因为，所以.
故答案为：.
14. 关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间单调递减；
③在有4个零点；④的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是______．
【答案】①②④
【解析】①函数的定义域为R，又，
∴函数是偶函数，故①正确；
②当时，，在上单调递减，故②正确；
③∵函数是偶函数，∴只需要考虑[0，π]上的零点个数，
此时，在[0，π]上有2个零点，为x＝0和x＝π，
∴在[﹣π，π]有3个零点，为x＝0、x＝π和x＝﹣π，故③错误；
④∵函数是偶函数，∴考虑x≥0的情况即可，
当时，，
∴的最大值为2，故④正确．
故答案为：①②④.
四、解答题（本题共5小题，共计77分．）
15. 已知，，且满足.
（1）求实数的值；
（2）设，求非零向量与的夹角的余弦值．
解：（1），，，.
（2）设，，，所以都不等于0，
设与的夹角为，，
则.
16. 已知函数.
（1）求值；
（2）求函数在区间的最大值和最小值.
解：（1）因，则.
（2）由
，
因，则令，则，
而在上单调递增，在上上单调递减，
故当时，即时，；当时，即时，.
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
解：（1）因为，根据正弦定理，
得，
化简得，因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，解得，
因为为的中线，所以，
所以，
因为，所以，解得.
18. 如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设.
（1）当，时，求张角的正切值；
（2）当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用.
解：（1）设为锐角，则，
设，则，
故.
（2）当时，，
故，
设修建，的总费用为y，
则，
设，则，则，
故，
由于在上单调递增，故，时取得等号，
故的最小值为，
此时，即，
故当时，修建，的总费用最少，最少为.
19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.
（1）求角C；
（2）若，的面积，求的周长l的取值范围；
（3）若，，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）若选①：，
由正弦定理得，又，
所以，又，所以，即，
又，所以；
若选②：因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，又，所以；
若选③：因为，
即，所以由正弦定理得，
所以，又，所以.
（2）因为的面积，所以，
由余弦定理得，即，
所以，因为，所以，又，
所以的周长l的取值范围为.
（3）因为，所以，所以，
又，所以，，
，
又，所以，
记，在中，由正弦定理得：，
所以，
在中，由正弦定理得：，
所以，
所以，所以，
整理化简得，
所以，即.