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2024年广东省广州市番禺区中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填 (涂)写到答题卡上；
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题(本大题共10 小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3） ；（4）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了万吨钢材，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12D. 点数的和小于13
6. 如图， 在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则a的值可以为（ ）
A. 2B. 3C. D.
7. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B. 正六边形的每一个内角为
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
8. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上， 则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
10. 若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题 (共6小题，每小题3分，满分18分．)
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________．
12. 分解因式：=__________________.
13. 方程的解为______．
14. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝______．
15. 如图， 在中，， 点 O 在边上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是_______(结果保留π ) ．
16. 如图，已知在直角三角形中，点 B的坐标为，将绕点O旋转至的位置，使点落在边上，点落在反比例函数的图象上，则k的值为_______．
三、解答题 (本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17. 解不等式组：
18. 如图， 点线段上， ，， ．
求证：．
19. 如图， 在中， ．
（1）操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）计算∶ 在（）的条件下， 若， ， 求梯形的面积．
20. 已知 ．
（1）化简；
（2）若已知 ，求值．
21. 已知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点．
（1）当点的坐标为时．
求， 值；
分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 的解集；
（2）若将函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，点，恰好关于原点对称，求的值．
22. 《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图所示的垃圾分类扇形统计图．
（1）求图中可回收物所在扇形的圆心角的度数；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为万元．若某镇某月生活垃圾清运总量为吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派名同学参加．甲班经选拔后，决定从小组名男生和名女生中随机抽取名同学在党员教师的带领下参加小区的宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率．
23. 如图，以的一边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．
（1）判断是否是切线，并证明你的结论；
（2）连接，若，，求点到直线的距离．
24. 过点 , 的抛物线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）直线交轴于点，点是抛物线上位于直线下方的一动点，过点作直线的垂线，垂足为．
求最大值；
当 时，求点的坐标．
25. 如图，正方形中，点E在边上(不与端点A，D重合)，点A关于直线的对称点为点F， 连接， 设．
（1）求的大小 (用含α的式子表示)；
（2）过点C作，垂足为G， 连接． 试判断与的位置关系， 并证明所得的结论；
（3）将绕点B顺时针旋转得到， 点E的对应点为点H， 连接． 当 时，判断的形状，并说明理由．
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填 (涂)写到答题卡上；
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题(本大题共10 小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3） ；（4）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了万吨钢材，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12D. 点数的和小于13
6. 如图， 在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则a的值可以为（ ）
A. 2B. 3C. D.
7. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B. 正六边形的每一个内角为
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
8. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上， 则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
10. 若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题 (共6小题，每小题3分，满分18分．)
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________．
12. 分解因式：=__________________.
13. 方程的解为______．
14. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝______．
15. 如图， 在中，， 点 O 在边上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是_______(结果保留π ) ．
16. 如图，已知在直角三角形中，点 B的坐标为，将绕点O旋转至的位置，使点落在边上，点落在反比例函数的图象上，则k的值为_______．
三、解答题 (本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17. 解不等式组：
18. 如图， 点线段上， ，， ．
求证：．
19. 如图， 在中， ．
（1）操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）计算∶ 在（）的条件下， 若， ， 求梯形的面积．
20. 已知 ．
（1）化简；
（2）若已知 ，求值．
21. 已知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点．
（1）当点的坐标为时．
求， 值；
分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 的解集；
（2）若将函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，点，恰好关于原点对称，求的值．
22. 《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图所示的垃圾分类扇形统计图．
（1）求图中可回收物所在扇形的圆心角的度数；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为万元．若某镇某月生活垃圾清运总量为吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派名同学参加．甲班经选拔后，决定从小组名男生和名女生中随机抽取名同学在党员教师的带领下参加小区的宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率．
23. 如图，以的一边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．
（1）判断是否是切线，并证明你的结论；
（2）连接，若，，求点到直线的距离．
24. 过点 , 的抛物线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）直线交轴于点，点是抛物线上位于直线下方的一动点，过点作直线的垂线，垂足为．
求最大值；
当 时，求点的坐标．
25. 如图，正方形中，点E在边上(不与端点A，D重合)，点A关于直线的对称点为点F， 连接， 设．
（1）求的大小 (用含α的式子表示)；
（2）过点C作，垂足为G， 连接． 试判断与的位置关系， 并证明所得的结论；
（3）将绕点B顺时针旋转得到， 点E的对应点为点H， 连接． 当 时，判断的形状，并说明理由．
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